第1章　绪论

1.1　概述

自然界中存在大量光滑的、连续不断变化的现象，这些现象都可以用微积分的方法来解决，除此之外自然界中还有许多由于控制因素、环境条件等的渐变引发状态突然变化的不连续现象，这种不连续性使得系统的行为空间变成不可微的，如地震、桥梁的坍塌、水的突然沸腾、火山爆发等，都是由开始的渐变、量变最终发展为突变、质变的过程，这种突变现象用微积分是无法描述的，然而，突变理论的出现使得上述问题得到了解决。突变理论的研究正是试图用数学方程的思想描述这种过程，简单地说，突变理论研究的主要内容就是一些事物从性状的一种形态突然跳跃到根本不同的另一种形式的不连续变化，即从一种稳定组态跃迁到另一种稳定组态的突然变化的瞬时过程现象及规律。

很早以前人们就利用数学方法研究突变现象：最早研究突变现象的是欧拉（Euler）关于梁的屈曲理论，突变理论的数学渊源可以追溯到19世纪末，法国杰出数学家庞加莱（Poincare）指出了在解常微分方程时有3个要素，这3个要素分别为动态稳定性、结构稳定性和临界点集。但是由于庞加莱的思想过于先进，超越了那个时代，人们理解不了。1901—1903年，荷兰植物学家雨果·德弗里斯（Hugo De Vries）撰写出版了《突变论》一书，集中阐述了他的生物突变论思想，并证明达尔文强调的那种微小变异不是形成新物种的真正基础，物种起源主要是通过跳跃式的变异——“突变”来完成的。1930年出现了莫斯（Morse）引理，对突变理论的数学基础有着重要的贡献，莫斯引理逐渐成为突变理论的理论基础。在1955年，著名数学家惠特尼（Whitney）发表了一篇论文，论文题目是《曲面到平面的映射》，论文介绍了有关光滑映射的奇异性现象，奠定了新的数学理论基础并提出了折叠和尖点两种奇异性，对突变理论的发展起到了很大的推动力，奠定了初等突变理论的基石。后来，托姆（Thom）为了讨论系统结构的稳定性，引入横截性概念来研究特殊的梯度系统，结果证明结构稳定系统是稠的，之后他又用这个概念对梯度系统进行分类，逐渐形成了现在的突变理论。1972年法国数学家托姆在《结构稳定性和形态发生学》一书中明确地阐明了突变理论，宣告了突变理论的诞生。

突变理论是托姆于20世纪70年代所创立的新兴的数学学科，被誉为“微积分以后数学上的一次革命”。突变理论通过对稳定性结构的研究，认为自然界或人类社会中任意一种状态，都能将之分为稳定态和非稳定态。在受到微小的偶然因素影响下，若能保持固有状态的称为稳定态；而一旦受到微小干扰就迅速偏离原来状态的则称之为非稳定态。稳定态与非稳定态互相交错。采用突变理论的数学工具可以描述系统状态的飞跃，给出系统处于稳定态的参数区域，参数变化时，系统状态也随着变化，当参数通过某些特定位置时，状态就会发生突变。从某一个稳定态（平衡态）到另一个稳定态的转化，是以突变形式发生的。突变理论作为研究系统演化的有力数学工具，能较好地解说和预测自然界与社会上的突然现象，并提出了一系列的数学模型，用以解释自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程，描述各种现象为何从性状的一种形式突然地跳跃到根本不同的另一种形式，如岩石的破裂、桥梁的断裂、细胞的分裂、胚胎的变异、市场的破坏以及社会结构的激变，在数学、物理学、化学、生物学、工程技术、社会科学等方面有着广阔的应用前景。

按照突变理论，自然界和社会现象中的大量的不连续事件可以由某些特定的几何形状来表示，用形象的数学模型来描述连续性行动突然中断导致质变的过程。例如，用大拇指和中指夹持一段有弹性的钢丝，使其向上弯曲，然后再用力压钢丝使其变形，当达到一定程度时，钢丝会突然向下弯曲，并失去弹性。这就是生活中常见的一种突变现象，它有两个稳定状态：上弯和下弯，状态由两个参数决定，一个是手指夹持的力（水平方向），一个是钢丝的压力（垂直方向），该现象可用尖点突变模型来描述。尖点突变是几种质态之间能够进行可逆转的模型。自然界还有些过程是不可逆的，如死亡是一种突变，活人可以变成死人，反过来却不行。这一类过程可以用折叠突变、燕尾突变等势函数最高奇次的模型来描述。故而，突变理论是用形象而精确的数学模型来描述质量互变过程，并提出了一条新的判别突变、飞跃的原则：在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。如拆一堵墙，如果从上面开始一块块地把砖头拆下来，整个过程就是结构稳定的渐变过程；如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度，就会破坏墙的结构稳定性，墙就会“哗啦”一声倒塌下来。这种结构不稳定性就是突变、飞跃过程。又如社会变革，从封建社会过渡到资本主义社会，法国大革命采用暴力来实现，而日本的明治维新就是采用一系列改革，以渐变方式来实现。对于这种结构的稳定与不稳定现象，突变理论用势函数的“洼存在”表示稳定，用“洼取消”表示不稳定，并有自己的一套运算方法。例如，一个小球在洼底部时是稳定的，如果把它放在突起顶端时则是不稳定的，小球就会从顶端处不稳定地滚下去，往新洼地过渡，事物就发生突变；当小球在新洼地底部时，又开始新的稳定，所以势函数的“洼存在”与“洼消失”是判断事物的稳定性与不稳定性、渐变与突变的依据。

现代科学日新月异，新鲜事物层出不穷，人们称突变理论是鲜花盛开的科学百花园中的一枝奇葩，它与比利时布鲁塞尔自由大学著名化学家普里高津（Prigogine）教授的“耗散结构理论”和德国斯图加特大学理论物理学家哈肯（Haken）教授的“协同论”构成今天的所谓“新三论”。相信随着对突变理论研究工作的不断深入和应用范围的日益扩大，它将会成为数学中名副其实的新兴分支。