第三节 地基承载力

一、地基承载力的概念

地基承载力的表达，不同的行业有所不同，尽管表达方式有所不同，但其内涵基本上是一致的。关于地基承载力，首先有必要叙述两个基本概念：

（1）地基承载力是指地基土单位面积上所能承受荷载的能力；地基承载力问题属于地基的强度和稳定性问题。

（2）地基允许承载力是指同时满足地基强度、稳定性和变形要求时的承载力；它是一个变量，是和建筑物允许变形值密切联系在一起的。

（一）地基承载力的实质

1.地基承载力取决于地基土的抗剪强度

地基承载力取决于地基土的抗剪强度，在外荷载作用下，地基土体中将产生剪应力τ，当土中某点的剪应力达到土的抗剪强度τ_f时，该点就处于极限平衡状态。随着外荷载增大，当地基土中τ＞τ_f时，土体将发生剪切破坏；随着荷载的继续增大，地基中剪切破坏的区域逐渐扩大；当破坏区扩展到极大范围，并且出现贯穿到地表面的滑动面时，整个地基即失稳破坏；土就沿着剪应力作用方向产生相对滑动，该点便发生剪切破坏。当地基中达到强度破坏的点越来越多，即地基中的塑性变形区范围不断扩大，最后形成一个连续的滑动面，这时建筑物的地基或土坡就会失去整体稳定而发生土体滑动破坏。

工程实践和室内试验都证实了土是由于受剪而产生破坏，剪切破坏是土体强度破坏的重要特点，土的强度问题实质上就是土的抗剪强度问题，因此，地基承载力的实质是地基土抗剪强度的宏观表现。土的抗剪强度是指土体抵抗剪切破坏的极限能力，是土的重要力学性质之一。工程中的地基承载力、挡土墙土压力、土坡稳定等问题都与土的抗剪强度直接相关。

2.地基承载力相关问题

a.地基承载力存在的误区

在工程勘察设计中，当只从地基强度提出地基承载力时，往往有人认为地基承载力是一个定值。例如，某些勘察报告中所提供的地基承载力，没有针对具体建筑，使人错误地认为地基承载力是一个定值。

在枢纽工程中，有多座建筑物时，如果用一个地基承载力是不合适的，不同位置和不同形式的水工建筑，其地基承载力是不相同的。

上海市为软土地基，过去，工程中通常有“老八吨”之说，即地基承载力为8t/m²；似乎地基承载力是一个定值，认识上存在误区。

b.地基承载力不是一个定值

由图2.3-1所示的荷载—沉降关系曲线可知，在保证有一定安全储备的前提下，地基承载力是允许沉降量［s］的函数。［s］越大，［R］就越大。由此可见，地基承载力是由沉降控制，地基承载力是同时满足地基强度和变形要求这两个条件时的承载力。它是一个变量，是和建筑物允许变形值密切联系在一起的。

地基上作用荷载与沉降的关系是：①当荷载增加时，随着地基沉降的相应增长，地基承载力同时逐渐加大；②当荷载不变时，地基受到长期压密作用，沉降量趋于稳定，地基承载力也在逐渐加大。

由此可见，天然地基承载力不是一个定值，是随着加载和时间而变化，尤其是软土地基承载力更是如此，允许沉降量越大，地基承载力就越大。例如，某水闸地基，在地基稳定的情况下，当沉降量为5mm时，R=100kPa；当沉降量为10mm时，R=130kPa。

c.以变形控制确定地基承载力

建筑地基规范指出“由载荷试验测定的地基土压力变形曲线线性变形段内规定的变形所对应的压力值，其最大值为比例界限值。”也就是说，地基承载力不是一个定值，不同的“规定的变形”［s］对应的［R］是不同的（图2.3-1），而其最大值即比例界限值应是基底下地基土即将发生塑性破坏的临界值。

在利用变形控制地基承载力做基础设计时，首先计算基础的沉降是否满足建筑物使用的要求，在沉降满足要求的前提下，再验算基础的强度是否满足上部建筑物的荷载要求。如果按照强度控制地基承载力进行设计，对于软土地基，最后的设计结果往往是强度远远富裕了，沉降才满足要求；同样对于土质比较好的地基，最后的设计结果往往是强度满足要求了，基础的沉降比建筑物的要求小很多。

d.地基与结构物的极限状态设计分析

从表面来看，地基的极限状态设计与结构物的极限状态设计完全相同，指先满足承载力极限状态，保证地基的稳定；其次满足正常使用极限状态，符合变形的要求。但地基承载力的含义与材料强度计算值的内涵完全不一样。

首先，地基土体的承载能力［R］值不是土的强度，其值不仅与土的性质有关，而且与荷载的分布范围以及作用的深度等因素有关；其次，［R］值在很大程度上仍然是反映建筑物对变形的限制。变形验算的实质是控制地基内不要出现过大的塑性区，以免变形迅速发展，导致地基失稳。由此可见，地基的极限状态分析实际上是以验算变形为核心的分析，这方面与结构的极限分析有所不同。

（二）地基承载力的确定方法

1.地基允许承载力的确定方法

a.常用方法

水工建筑地基允许承载力的确定，常用以下4种方法：

（1）根据塑性开展区深度确定地基承载力。

（2）根据地基承载力的理论公式计算。

（3）根据原位试验确定。

（4）根据规范确定地基承载力。

应当指出，上述这些方法各有长短、互为补充，必要时可以按多种方法综合确定。设计时宜按建筑物安全等级以及地基岩土条件，结合当地经验适当选择。如果掌握了这些方法，在实践中又能充分调查并合理利用当地已有的经验，往往只需通过不多的勘察工作，就能比较正确地确定地基承载力。

b.综合考虑因素

地基承载力的确定，应根据建筑物的重要性、设计等级，采用一种方法，或采用几种方法综合确定。同时，确定地基承载力时，尚应结合当地工程经验按下列方法综合考虑：

（1）对1级水工建筑物，应采用公式计算及原位测试试验方法综合确定。

（2）对2、3级水工建筑物，应采用公式计算确定。

（3）对4、5级水工建筑物，有勘察资料时，可采用公式计算确定；无勘察资料时，可根据邻近建筑物（50m以内）的经验确定。

实际工程设计中，对于大、中型工程，应采用两种不同的方法来计算地基承载力，如果两种方法计算值相差较大，则还应采用第3种计算方法。多种方法计算时，可采用地基承载力的算术平均值。

目前，地基承载力的表达形式各行业均有所不同，因此，地基承载力的确定方法也同样有所不同。在水利工程中，水工建筑物天然地基的允许承载力，可以大于临塑荷载，因为在地基中出现范围不大的塑性区，并不危及水工建筑物的安全，所以，一般按塑性开展区深度确定地基允许承载力。而在建筑行业中，常采用从载荷试验或其他原位测试、试验值等方法确定的地基承载力特征值，并经深度修正后计算地基承载力。

2.确定地基承载力应考虑的因素

地基承载力不仅决定于地基土的性质，还受到以下影响因素的制约：

a.基础的埋深、宽度、形状

在用极限荷载理论公式计算地基承载力时是按条形基础考虑的，对于非条形基础应考虑形状不同对地基承载力的影响。

b.荷载倾斜与偏心的影响

在用理论公式计算地基承载力时，均是按中心受荷考虑的。但荷载的倾斜和偏心对地基承载力是有影响的。

c.覆盖层抗剪强度的影响

基底以上覆盖层抗剪强度越高，地基承载力显然越高，因而基坑开挖的大小和施工回填质量的好坏对地基承载力有影响。承载力公式中未考虑基底以上覆盖层抗剪强度，以保证承载力计算更安全。

d.地下水位的影响

地下水位以上，地基土受地下水的浮托作用，土的天然重度减小为浮重度；同时土的含水率增高，则地基承载力会降低。

e.下卧层的影响

确定地基持力层的承载力应对下卧层的影响作具体的分析和验算。

此外，还有基底倾斜和地面倾斜的影响、地基土压缩性和试验底板与实际基础尺寸比例的影响、相邻基础的影响、加荷速率的影响以及地基与上部结构共同作用的影响等。在确定地基承载力时，应根据建筑物的重要性及结构特点，对上述影响因素作具体分析。

（三）地基承载力不同的表达

工程设计中，对于地基承载力的表达，不同的行业有所不同。水利行业有关规范采用的都是地基允许承载力［R］；建筑行业有关规范采用的都是地基承载力特征值f_a；公路桥梁设计中采用的是地基允许承载力［σ］。

1.地基允许承载力

地基允许承载力是指地基稳定并且有足够安全度的承载能力，它相当于地基极限承载力除以一个安全系数，此即定值法确定的地基承载力。

地基允许承载力应同时满足地基强度、稳定性和变形要求时的承载力；它是一个变量，是和建筑物允许变形值密切联系在一起的。

地基允许承载力，是需要同时满足两个条件时的地基承载力。第一个条件是地基要有一定的强度，而且应有必要的安全储备；地基允许承载力［R］为极限荷载p_u除以安全系数K，即［R］=p_u/K。第二个条件是地基沉降不应大于相应的允许值［s］。

2.地基承载力特征值

地基承载力特征值是指地基稳定且具有保证可靠度的承载能力，它作为随机变量是建立在概率理论基础上的，用分项系数表达的极限状态设计法确定的地基承载力。用以表示正常使用极限状态计算时采用的地基承载力和单桩承载力的值，其含义即为在发挥正常使用功能时所允许采用的抗力设计值。

地基允许承载力和地基承载力特征值，两者相同点是在保证地基稳定的条件下，要求建筑物基础沉降的计算值不超过允许值。不同点有两点：一是确定地基承载力的方法不同，前者是采用定值法确定的地基承载力，后者是采用极限状态设计法确定的地基承载力；二是地基承载力所要求的基础底面的压力值不同。前者基底压力为设计值，后者为相应于荷载效应标准组合时，基础底面处的平均压力值。

因为采用的计算方法不同，两者在数值上不具有可比性。因此，在水工建筑物设计中，不能将地基允许承载力等同于地基承载力特征值。

（四）地基破坏的特征

1.地基破坏的3种形式

地基土差异很大，施加荷载的条件又不尽相同，因而地基破坏的形式也不同。工程经验和试验都表明，地基破坏有整体剪切破坏、局部剪切破坏和冲剪破坏等几种形式，如图2.3-2所示。

2.地基变形的3个阶段

从土力学可知，地基的变形破坏一般经历了压缩变形阶段、局部剪切破坏阶段和整体隆起阶段，如图2.3-3所示。从荷载—沉降曲线可以看出，地基整体剪切破坏时，极限荷载明显可见，而局部剪切破坏和冲剪破坏则不易明确地定出。因此，汉森、太沙基等众多学者，都是以地基整体剪切破坏为模型，研究并建立了地基极限承载力计算公式。而对于其他两种地基的破坏形式，目前还没有理论计算公式。因此，以下着重论述地基的整体剪切破坏。

二、按塑性变形区深度确定地基允许承载力

天然地基的允许承载力，是天然地基所能承受建筑物基础作用在地基单位面积上允许的最大压力。在这个压力下，地基的强度和变形都满足设计要求，建筑物安全和正常使用不会受到不利的影响。

土质地基的允许承载力通常可用两类不同的计算方法确定。一类是从地基变形的角度，根据地基塑性变形区的开展范围确定地基允许承载力，先找出外荷载与地基中塑性变形区（或称极限平衡区）发展范围（用深度表示）之间的关系，然后按照经验，通过控制塑性区的允许发展范围，来达到确定地基承载力的目的。根据工程经验，当塑性变形区最大深度z_max等于1/3或1/4的基础宽度B时，地基仍是安全的，为此常取此塑性变形区深度对应的荷载（也称为临界荷载）为地基允许承载力。另一类是从地基的整体剪切破坏角度，采用地基发生剪切破坏时的极限荷载除以一定的安全系数确定地基允许承载力，目前常用的方法有汉森公式、魏西克公式和太沙基公式等，水利行业常用的是汉森公式。

（一）塑性变形区

1.地基土的塑性变形

在荷载作用下，地基要产生变形。随着荷载的增大，地基变形逐渐增大，初始阶段地基尚处在弹性平衡状态，具有安全承载能力。当荷载增大到地基中开始出现某点，或小区域内各点某一截面上的剪应力达到土的抗剪强度时，该点或小区域内各点就剪切破坏而处在极限平衡状态，土中应力将发生重分布。这种小范围的剪切破坏区，称为塑性区。地基小范围的极限平衡状态大都可以恢复到弹性平衡状态，地基尚能趋于稳定，仍具有安全的承载能力。但此时地基变形稍大，尚须验算变形的计算值不超过允许值。当荷载继续增大，地基出现较大范围的塑性区时，将形成地基承载力不足而失去稳定，此时地基达到极限承载能力。地基承载力是地基土抗剪强度的一种宏观表现，影响地基土抗剪强度的因素对地基承载力同样产生类似影响。

当土体中任意一点在某一平面上的剪应力达到土的抗剪强度时，就发生剪切破坏，该点即处于极限平衡状态。土体中一点的剪切破坏条件，即为土的极限平衡条件。而土的极限平衡状态，就是地基土塑性变形的开始。土的极限平衡条件为

2.塑性变形区的确定

从以上分析可知，土体中某一区域内各点都达到极限平衡状态，这一区域为极限平衡区，或称为塑性区。塑性变形区在工程设计中也称为应力泡图，应力泡为等压线，如图2.3-4所示，塑性变形区的等值线为塑性区边界方程。

a.塑性变形区的边界方程

如图2.3-5所示，按弹性理论可以导出地表以下任一深度的M点处，产生的最大主应力和最小主应力计算式为

式中 β₀——任意点M到均布荷载两端点的夹角，rad。

当地基中任一点达到极限平衡状态时，该点的最大、最小主应力应满足极限平衡条件。根据极限平衡条件，可得塑性区的边界方程为

式（2.3-6）为塑性区的边界方程，表示塑性区边界上任意一点M的深度z与夹角β₀之间的关系。

塑性区的边界线方程式给出了塑性区边界线上任一点坐标z与视角β₀的关系。如果已知基础的埋深d、荷载p以及土的γ、c、φ值，则根据式（2.3-6）可绘出塑性区的边界线，如图2.3-6所示。

通过计算与作图可知，随着p的增大（q₅&gt；q₄&gt；q₃&gt；q₂&gt；q₁），塑性区首先在基础两侧边缘出现，然后逐渐按图2.3-6中各线1、2、3、4、…顺序扩大。塑性区扩大的同时，其最大深度z_max也随之增加，z_max为某塑性区边界线最低点至基础底面的垂直距离，因此z_max可以用来作为反映塑性区范围大小的一个尺度。

b.p—s曲线上的塑性变形区

以上分析表明，塑性变形区也就是基础下的地基土中局部已发生剪切破坏的区域。如前所述，地基变形中的第二阶段为局部塑性变形阶段，相应于图2.3-7中p—s曲线上的ab段。在此阶段中，变形的速率随荷载的增加而增大，p—s关系线是下弯的曲线。其原因是在地基的局部区域内，发生了剪切破坏。因此，在p—s关系线上，ab段的区域为塑性变形区。随着荷载的增加，地基中塑性变形区的范围逐渐向整体剪切破坏扩展。所以这一阶段是地基由稳定状态向不稳定状态发展的过渡性阶段。

当地基处于塑性变形阶段时，邻近基础边缘的地基土先出现塑性区，随着荷载增大，地基土塑性区逐渐扩大。当荷载处于极限荷载p_u与临塑荷载p_cr之间，即p_cr&lt；p&lt；p_u，荷载越大，塑性变形区范围越大，当作用荷载增加至极限荷载时，塑性区发展至互相连通，地基丧失承载能力，基础急剧下沉，两侧地面向上隆起。

c.塑性变形区的构成

利用塑性变形区的边界方程绘制塑性变形区的边界线，该边界线表明了塑性变形区的范围，区域内各点都达到极限平衡状态，这一区域为极限平衡区或称为塑性区。而塑性区内的一条条曲线是表示在荷载作用下，地基土的力学指标等值线。下面以土的抗剪强度指标为例，阐述塑性变形区的构成。

由土的极限平衡条件公式（2.3-1），可得

土的极限平衡状态，就是地基土塑性变形的开始。要维持某一点土体不超过极限平衡，必须满足上述方程式。而土的极限平衡条件公式中的φ，就是维持该点极限平衡的临界内摩擦角，以φ_k表示，由式（2.3-1）可得

式中 c、φ——土体实际具有的黏聚力和内摩擦角。

由此可以求出地基土中各点的φ_k值，如某点φ_k&gt；φ，则该点已超过极限平衡，土体已发生剪切破坏。因此，地基土中不发生剪切破坏的条件为

为了方便绘制临界内摩擦角φ_k的等值线，土的极限平衡条件可写为

以上以地基土的抗剪强度指标阐述了塑性变形区的实质。同理，塑性变形区既可以是满足极限平衡条件时所需的地基土最小黏聚力c_k的等值线图，也可以是剪应力τ_xz的等值线图，如图2.3-8所示，此时，塑性变形区则是由众多条τ_xz等值线组成，越靠近区域核内应力越大，当剪应力τ_xz大于地基土的抗剪强度时，该点已超过极限平衡，将产生破坏的各点用曲线包围起来，也就是τ_xz等值线所包的范围即为塑性变形区。

从图2.3-8可以看出，在均布荷载的作用下，地基内的塑性变形区都是从基础边缘开始，逐渐向基础中部深处发展；当从基础两边缘开始的塑性变形区发展到在地基中部深处交汇时，地基将会失稳。

以上阐述表明，塑性变形区也就是局部已发生剪切破坏的区域，如果塑性变形区范围很小，地基土体尚可由自身调整应力，不致发生危险；当塑性变形区的范围控制在一定限度，且范围不大，其影响为工程所允许，并不影响建筑物的安全。而且能适当提高地基承载力，节省工程投资。这方面内容，将在临界荷载中讨论。如果塑性变形区的范围很大，则土体将向基础两侧挤出。

（二）临塑荷载与临界荷载

1.临塑荷载

a.临塑荷载基本概念

地基的临塑荷载是指在外荷作用下，地基中刚开始产生塑性变形时基底单位面积上所承受的荷载。也就是p—s曲线上第一个转折点a点对应的荷载，即地基从压密变形阶段转为塑性变形阶段的界限荷载，以p_cr表示，如图2.3-7所示。

b.临塑荷载计算

地基中开始出现塑性变形区的荷载为临塑荷载p_cr，因此可以用塑性区的最大深度z_max=0来表达，即某塑性区边界线最低点至基础底面的垂直距离，可以用来作为反映塑性变形区范围大小的一个尺度。由此，可求临塑荷载的计算公式。

塑性变形区的最大深度z_max可由z对β₀的偏导等于零得出，即

当z_max=0时，也即地基中即将发生塑性变形区时，相对应的基底压力，即得临塑荷载p_cr的计算公式为

化简后可得

式中 N_q、N_c——承载力系数，可根据内摩擦角由表2.3-1中查得。

从式（2.3-13）可知，临塑荷载p_cr由两部分组成，第一项为地基土黏聚力c的作用，第二项为基础两侧超载q或基础埋深d的影响，这两部分都是内摩擦角φ的函数；可以看出，p_cr随φ、c、q的增大而增大。

2.临界荷载

a.临界荷载计算

上述表明，地基在临塑荷载p_cr的作用下，地基尚处于压密状态，基础边缘下的地基土刚开始产生塑性变形。如果以p_cr作为地基承载力，则偏于保守。

当地基中的塑性变形区最大深度z_max=b/3或z_max=b/4时，与此相对应的基底面压力，称为临界荷载，分别以p_1/3或p_1/4表示。

当z_max=b/3、z_max=b/4时，临界荷载的计算式为

式中 γ_b——基底面以下土的容重，kN/m³；地下水位以下取浮容重；

γ_d——基底面以上土的容重，kN/m³；地下水位以下取浮容重；

b——基底面宽度，m；

d——基底埋置深度，m；

c——地基土的黏聚力，kPa；

N_1/4、N_1/3、N_q、N_c——承载力系数，可根据内摩擦角在表2.3-1中查得。

b.适用条件分析

临界荷载计算公式的应用，需要注意以下几点。

（1）基础形式。上述临界荷载计算公式，是按条形基础均布荷载推导的。若对于矩形基础或圆形基础，也可应用上述公式计算，虽有一定的误差，但结果偏于安全。水工建筑物基础多为大底板，由于大底板具有对基底应力的扩散作用与约束作用，应用上述公式计算，其结果偏于安全。

（2）塑性变形区最大深度的确定。工业与民用建筑常以塑性区最大深度不大于基础宽度的1/4，《建筑地基基础设计规范》（GB 50007—2011）采用此方法计算地基承载力特征值。

水工建筑物设计，对于1、2级建筑物（大型）地基塑性区最大深度应不大于基础宽度的1/4，3～5级建筑物地基塑性区最大深度应不大于基础宽度的1/3。

（3）基础宽度的规定。工业与民用建筑《建筑地基基础设计规范》（GB 5007—2011）要求，计算地基承载力时，当基础宽度小于3m时按3m取值，大于6m时按6m取值。

水利行业有关规范对基础宽度的取值未做规定，但从对塑性变形区的分析可知，基础宽度的大小直接影响塑性变形区范围在横向上的距离，为了防止塑性区的贯通，基础宽度应不宜过小。其次，在竖向荷载作用下，地基中将产生塑性变形区，作用荷载越大，塑性变形区的范围也越大。水工建筑物基底平均压应力一般在80～200kPa内，根据以往工程设计经验，当基础宽度小于3m时，宜按3m取值，以防止塑性区的贯通，使地基发生较大的变形或失去稳定；同时，还必须验算变形。当基础宽度不小于6m时，应按6～10m计算，地基土质中等坚实以上取大值，松软地基土质取小值，以免地基承载力提高过大。

（4）荷载偏心距的影响。《建筑地基基础设计规范》（GB 5007—2011）规定，当偏心距e≤0.033倍基础底面宽度时，根据土的抗剪强度指标确定地基承载力特征值可按塑性变形区最大深度确定，并应满足变形要求。

（5）计算土自重应力时，假定K₀=1，这与土的一般情况是不相符的，但这样可使公式简化。

（6）在计算界限荷载时土中已出现塑性区，但仍按弹性力学计算土中应力，这在理论上是相互矛盾的，但当塑性区不大时引起的误差在工程上还是允许的。

（7）p_cr与基础宽度无关，p_1/4、p_1/3与b有关，而且p_cr、p_1/3、p_1/4都随埋深d的增加而加大。

（8）对饱和软土，在不排水条件下，φ=0，N_r=0，N_q=1.0，N_c=3.14，可得饱和软黏土的承载力设计值为f=3.14c_u+γ₀d，c_u为土的不排水抗剪强度，kPa。

（三）工程应用

1.以临界荷载作为地基的允许承载力

从前面分析可知，工程中如果以临塑荷载p_cr作为地基承载力，往往偏于保守。因为在临塑荷载作用下，地基尚处于压密状态，基础边缘下刚开始出现塑性区。工程实践表明，基础下地基中发生少量局部剪切破坏的区域，只要其范围控制在一定限度，且范围不大，其影响为工程所允许，并不影响建筑物的安全。而且能适当提高地基承载力，节省工程投资。因此，工程设计中，以临界荷载作为地基允许承载力时，先找出外荷载与地基中塑性变形区（或称极限平衡区）发展范围（用深度表示）之间的关系，然后按照经验，通过控制塑性区的允许发展范围，来确定地基承载力。

如果限制地基塑性变形区的最大开展深度不超过某一允许值，在均布竖向荷载作用下，由临界荷载的计算公式可得地基允许承载力为

式中

z_max的取值是根据工程设计经验确定的，z_max的取值越大，基础两端的允许塑性变形区范围在横向上越靠近，则基础底面的剪切破坏区域越容易贯通，建筑物的稳定性也就越难保证。因此，z_max的取值不宜过大。但是z_max的取值过小，则不能发挥地基的潜在能力，而偏于保守。

水工建筑物地基设计中，大型工程的地基取z_max=b/4，中、小型工程的地基取z_max=b/3。不同行业对z_max的取值有所不同，建筑地基基础设计中取z_max=b/4。也有按中心荷载作用于基础时取z_max=b/4，偏心荷载作用于基础时z_max=b/3确定地基允许承载力。

对于软土，可取临塑荷载p_cr作为地基允许承载力。

【例2.3-1】某泵站配电房采用框架结构独立基础，基础底面尺寸为3.0m×2.4m，承受偏心荷载，基础埋深1.0m。地基土表层为素填土，天然容重γ₁=17.8kN/m³，层厚h₁=0.80m；第二层为粉土，γ₂=18.8kN/m³，内摩擦角φ₂=21°，黏聚力c₂=12kPa，层厚h₂=7.40m；第三层为粉质黏土，γ₃=19.2kN/m³，φ₃=18°，c₃=24kPa，层厚h₂=4.80m；计算地基的临界荷载。

【解】配电房非大型工程，可取z_max=b/3，采用式（2.3-14）计算。

地基持力层为第二层土，由φ₂=21°，查表2.3-1，内插得N_1/3=0.75；N_q=3.25；N_c=5.8；

γ_b=γ₂=18.8kN/m³，b=2.40m

γ_d为基础埋深d=1.0m范围土的加权平均容重，即

c=c₂=12kPa

将上列数据代入式（2.3-14）得

p_1/3=N_1/3γ_bb+N_qγ_dd+N_cc

=0.75×18.8×2.4+3.25×18.0×1.0+5.8×12=162（kPa）

2.以塑性变形区的控制点验算地基稳定

以临界荷载p_1/3或p_1/4作为地基允许承载力，其作用荷载应为竖向荷载。而对于水工建筑物，通常作用既有竖向荷载，同时也有水平荷载作用。因此，不能简单地用临界荷载作为地基允许承载力。

在竖向荷载和水平荷载共同作用下，地基中的应力，应将竖向荷载和水平荷载分别进行计算叠加。根据地基塑性变形区的开展范围验算地基整体稳定，设计中，只要有地基土的抗剪强度指标即可进行计算，计算方法简单，是多年来水工建筑物设计中常用的计算方法，实践证明是安全可靠的。但在计算地基应力时，应将作用在基础底面及其两侧的荷载简化为竖向均布、竖向三角形分布、水平向均布和竖向半无限均布等情况分别进行计算叠加。

水工建筑物（如水闸）土质地基的允许塑性变形区开展深度，即塑性变形区最大深度一般在基础下游边缘下垂线ab附近，如图2.3-9所示。

塑性变形区和地基允许承载力没有直接关系，塑性变形区的范围实质上是力学指标的等值线，地基设计中无需进行塑性变形区的计算。因为地基中塑性变形区的计算烦琐，以及在计算中有不少假定和简化，所以设计中已经很少按实际荷载的分布情况计算地基中的塑性变形区，而是计算在均匀分布的荷载作用下，用塑性变形区控制点的力学指标来验算地基稳定性。

为方便用塑性变形区控制点的力学指标验算地基稳定性，这里首先介绍在竖向荷载和水平荷载的共同作用下，地基土中控制点的应力计算。

a.σ_x、σ_z、τ_xz与σ₁、σ₃、τ的关系

（a）荷载作用下地基中的主应力；（b）微小单元体的应力状态

为了计算塑性变形区控制点的力学指标，首先要计算地基土中任一点的应力。由土力学可知，对于平面应力问题，土体中任一点的应力状态可以由3个独立的应力分量σ_x、σ_z、τ_xz或最大、最小主应力σ₁、σ₃完全确定。如图2.3-10所示，在土体中任一微元体M，正应力以压应力为正，剪应力当其作用面外法线方向与坐标轴一致时，方向与坐标轴方向相反者为正。

由图2.3-11（a）可以推得单元体上的最大、最小主应力为

第一主平面与σ_x作用面的夹角为

土中一点的应力状态还可以用莫尔应力圆描述，如图2.3-11（b）所示，则任意斜截面mn与大主应力作用面的夹角为α，其上的正应力σ和剪应力τ为

b.附加应力σ_x、σ_z、τ_xz的计算

水工建筑物地基，当按塑性变形区的控制深度验算地基稳定时，首先要计算地基在竖向荷载和水平荷载作用下，计算点的垂直正应力σ_z、水平正应力σ_x和相应于σ_z、σ_x的剪应力τ_xz。竖向荷载和水平荷载可分为均布荷载、三角形荷载和水平均布荷载，分别计算σ_z、σ_x和τ_xz，然后按照应力叠加原理，计算地基中任意点的附加应力。一般以基础边缘垂线下深度为1/3或1/4基础宽度处，作为塑性变形区的控制点，基础边缘下控制点地基土的附加应力σ_x、σ_z、τ_xz，可按表2.3-2计算。

【例2.3-2】某水闸为条形基础，基础宽度b=15m，在竖向荷载和水平荷载作用下，基底压力为p_max=120kPa，p_min=80kPa，水平基底压力为40kPa，如图2.3-12所示。基础埋深较小，可不计埋深的影响。试计算基础边缘垂线下，深度为1/3基础宽度处的附加应力。

【解】（1）作用荷载。将梯形分布的竖向基底压力分解为两部分，即均布竖向压力p_v=80kPa、三角形分布竖向压力p_s=40kPa；水平基底压力为p_h=40kPa。

（2）该基础为条形基础，可按平面问题计算；且基底最大压力的边缘下垂线附近，塑性变形区开展深度最大，为控制计算点。

（3）查表2.3-2分别计算附加应力。

竖向均布压力p_v=80kPa时：

k_z=0.493，σ_z=0.493×80=39.44（kPa）

k_x=0.304，σ_x=0.304×80=24.32（kPa）

k_xz=-0.287，τ_xz=-0.287×80=-22.96（kPa）

三角形分布竖向压力p_s=40kPa时：

k_z=0.399，σ_z=0.399×40=15.96（kPa）

k_x=0.155，σ_x=0.155×40=6.20（kPa）

k_xz=-0.186，τ_xz=-0.186×40=-7.44（kPa）

水平基底压力为40kPa时：

k_z=0.287，σ_z=0.287×40=11.48（kPa）

k_x=0.452，σ_x=0.452×40=18.08（kPa）

k_xz=-0.304，τ_xz=-0.304×40=-12.16（kPa）

（4）总附加应力计算。

应用叠加原理，基础下边缘垂线下，深度为b/3=5.0m处的附加应力为

σ_z=39.44+15.96+11.48=66.88（kPa）

σ_x=24.32+6.20+18.08=48.60（kPa）

τ_xz=-22.96-7.44-12.16=-42.56（kPa）

c.以塑性变形区控制点的强度指标验算地基稳定

地基计算时无需进行塑性变形区的计算，因为塑性变形区的计算烦琐，以及在计算中有不少假定和简化，所以设计中已经很少按实际荷载的分布情况计算地基中的塑性变形区，而是计算在均匀分布的荷载作用下，塑性变形区最大控制开展深度处的力学指标，以此来验算地基稳定。

水工建筑物地基，一般以基础边缘垂线下深度为1/3或1/4基础宽度处，作为塑性变形区的控制点，当塑性变形区控制点处的验算指标小于地基土的相应强度值时，地基则处于稳定状态，地基的承载力即可满足设计要求。

塑性变形区图，又称地基应力泡图。对于大型工程和重点工程，或较复杂的地基条件，须绘制塑性变形区的范围图，以检验基础上、下游两边缘下的塑性变形区是否贯通。塑性变形区的范围，实质上是力学指标的等值线，是附加应力的分布图。所以，一般情况下，只需按变形区的控制深度，验算基础边缘下控制点的强度指标即可。需要指出的是，塑性变形区控制深度的计算方法，对于成层土，可将控制深度范围内各土层土的重力密度和抗剪指标值加权平均，取用加权平均值。以塑性变形区控制点的强度指标验算地基稳定，主要有以下几种方法：

（1）按c_k法验算土质地基整体稳定。c_k法是根据地基塑性变形区的开展范围验算地基整体稳定，是将塑性变形区控制点处，计算点的黏聚力c_k值与计算点土体的抗剪强度c值比较，以此判别控制点的应力状态。经多点计算后可绘出塑性变形区的范围，c_k值的计算式为

式中 c_k——满足极限平衡条件时所需的地基土最小黏聚力，kPa；

φ——地基土的内摩擦角，（°）；计算时，直剪试验宜采用小值平均值；三轴试验，对于成层土，取其加权平均值；

σ_z——地基内计算点在计算荷载作用下的垂直正应力，kPa；

σ_x——地基内计算点在计算荷载作用下的水平正应力，kPa；

τ_xz——地基内计算点在计算荷载作用下相应于σ_x、σ_z的剪应力，kPa。

计算点的应力状态可按下列条件进行判别：

1）当c_k&lt；c时，计算点处于稳定状态。

2）当c_k=c时，计算点处于塑性变形状态。

3）当c_k&gt；c时，计算点处于被剪切破坏。

（2）破裂面上的剪应力法。破裂面上的剪应力法，是将塑性变形区控制点处破裂面上的计算值τ_k与该点地基土的抗剪强度τ_f值进行比较，以此判断该点的稳定状态。经多点计算后可绘出塑性变形区的范围，τ_k值的计算公式为

式中 α_f——破裂角；破裂面与大主应力作用的夹角为；破裂面与小主应力作用的夹角为。

因为

所以破裂面上地基土的抗剪强度为

式中 c——地基土的黏聚力，kPa；计算时，宜采用小值平均值；对于成层土，取其加权平均值。

计算点的应力状态可按下列条件进行判别：

1）当τ_k&lt；τ_f时，计算点处于稳定状态。

2）当τ_k=τ_f时，计算点处于塑性变形状态。

3）当τ_k&gt；τ_f时，计算点处于被剪切破坏。

（3）应力倾角法。应力倾角法是将塑性变形区计算点的应力倾角φ_k值与该点土体的抗剪强度φ值比较，以此判断控制点的应力状态。经多点计算后可绘出塑性变形区的范围，对于黏性土，如图2.3-13所示，莫尔应力圆的切线与水平轴的夹角φ_k称为应力倾角。由图示几何关系可得

计算点的应力状态可按下列条件进行判别：

1）当φ_k&lt；φ时，计算点处于稳定状态。

2）当φ_k=φ时，计算点处于塑性变形状态。

3）当φ_k&gt；φ时，计算点处于被剪切破坏。

应力倾角法与c_k法类似，φ_k相当于满足极限平衡条件时所需地基土的最小内摩擦角。式（2.3-25）也可通过土体极限平衡条件推导求得。

（4）主应力法。主应力法是将塑性变形区控制点处计算点的主应力值σ_1f（或σ_3f）值与实际的主应力σ₁（或σ₃）值进行比较，以此判断控制点的稳定状态。

从式（2.3-26）可以看出，当控制点的第三主应力σ₃不变时，对应的σ₁为极限平衡状态时的最大值，记为σ_1f，即

控制点的应力状态可按下列条件进行判别：

1）当σ₁&lt；σ_1f时，计算点处于稳定状态。

2）当σ₁=σ_1f时，计算点处于塑性变形状态。

3）当σ₁&gt；σ_1f时，计算点处于被剪切破坏。

同理，当控制点的第一主应力σ₁不变时，对应的σ₃为极限平衡状态时的最大值，记为σ_3f，有

控制点的应力状态可按下列条件进行判别：

1）当σ₃&lt；σ_3f时，计算点处于稳定状态。

2）当σ₃=σ_3f时，计算点处于塑性变形状态。

3）当σ₃&gt；σ_3f时，计算点处于被剪切破坏。

综合上述4种方法可知，塑性变形区控制点地基土的极限平衡条件，实质上是指在荷载作用下，土体处于极限平衡状态时，土的应力状态和土的抗剪强度指标之间的关系式。因此，按塑性变形区的强度指标验算地基稳定，判别控制点的应力状态可以有不同的方法，其判别结果应是一致的，在实际应用中只需要用一种方法即可。

【例2.3-3】已知某水工建筑物在竖向荷载和水平荷载作用下，基础边缘下塑性变形区的控制点b/3深度处，地基土的应力σ_z=300kPa，σ_x=220kPa，τ_xz=30kPa。地基土的抗剪强度c=5.0kPa，φ=20°，试按塑性变形区控制点的力学指标验算地基稳定。

【解】据题意，可按塑性变形区控制点的力学指标验算地基稳定。

（1）按c_k法验算土质地基整体稳定。

判别：因为c_k=-41.41kPa＜c=5.0kPa，所以控制点处于稳定状态。

（2）破裂面上的剪应力法。

1）破裂角

2）破裂面上的剪应力为

3）破裂面上的抗剪强度为

4）判别：因为τ_k=46.98kPa＜τ_f=93.41kPa，所以控制点处于稳定状态。

（3）应力倾角法。

判别：因为φ_k=10.5°&lt；φ=20°，所以控制点处于稳定状态。

（4）主应力法。

1）大、小主应力计算

2）当控制点σ₃不变时

3）判别：因为σ₁=310kPa&lt；σ_1f=442.6kPa，所以控制点处于稳定状态。

三、按极限承载力确定地基允许承载力

地基极限承载力（又称为极限荷载），是地基所能承受的基底压力的极限值，以p_u表示，是使地基发生剪切破坏的荷载。目前，求解极限承载力的方法有以下两大类：

1.按极限（塑性）平衡理论求解

根据静力平衡和极限平衡条件建立微分方程，根据边界条件求出地基达到极限平衡时各点的应力的精确解。这一方法由于求解时在数学上遇到很大的困难，仅能对某些边界条件比较简单的情况求得其解析解。水闸、泵站等水工建筑物地基计算中，采用的按限制塑性区开展深度的方法计算地基允许承载力和c_k法，就是按照极限平衡理论推导的。

2.按假定滑动面方法求解

该方法是先假定滑动面的形状，然后以滑动面所包围的土体作为隔离体，根据滑动土体的静力平衡条件求解极限荷载。按这种方法得到的极限荷载公式比较简单，使用方便，目前在设计中应用较多。

计算极限承载力的公式很多，这些公式都是在不同的假设与简化的情况下推导出来的。地基破坏的形式是推导极限承载力公式的根据，假定是否接近实际，直接影响公式的可靠性。因导致地基破坏的因素复杂，就土的强度和变形而言，名义上讲的剪切破坏，实际上剪切和变形是伴随着的，这些都使推导出的公式带有较大的局限性。目前的计算公式均是按整体剪切破坏模式推导，即极限承载力是地基形成连续滑动面时的基底压力，其中有的公式根据经验进行修正，也可用于其他破坏模式的计算。

目前极限承载力公式主要适用于整体剪切破坏的地基，对于局部剪切破坏及冲剪破坏的情况，按整体破坏公式计算后，再作出某种折减。工程设计中，先求出地基的极限承载力除以安全系数作为地基允许承载力。地基的极限承载力计算，有多种极限承载力计算公式，如太沙基公式、汉森公式、魏西克公式和斯肯普顿公式，这些公式的共同点都是假定滑动面法，并根据塑性体的静力平衡条件分别计算，是黏聚力c、超荷载q和填土容重γ等所构成的承载力总和。由于各种计算方法对基础底面的粗糙程度和滑动面大小、形状等作了不同的假定，致使承载力值有明显的差别。

地基极限承载力的计算公式很多，限于篇幅不能一一罗列，根据水工建筑物的受力特点，在水利行业应用较多的极限承载力计算公式主要有汉森公式。汉森公式与魏西克公式的形式完全一致，只是系数的取值有所不同而已。这类公式比较全面地反映了影响地基承载力的各种因素，在国外应用颇广。汉森公式是水利行业有关设计规范中推荐采用的极限承载力计算公式，在设计中一般作为工程校核，其结果较令人满意，与水利行业有关规范中的允许承载力计算基本吻合。以下主要介绍汉森公式。

（一）汉森公式

1.适用条件

（1）适用于倾斜荷载作用。汉森公式是极限承载力计算公式中的一种，不仅适用于只有竖向荷载作用的情况，而且对既有竖向荷载作用又有水平向荷载作用的情况也适用。

（2）基础形状。该公式主要特点是考虑了基础形状、埋置深度和作用荷载倾斜率的影响。

（3）基础埋深。适用基础埋深d&lt；b基础底宽的情况，并考虑了基础埋深与基础宽度之比值的影响，但未考虑对基础尺寸的限制。

（4）安全系数。采用该公式计算地基持力层的允许承载力时，一般取用安全系数为2.0～3.0，根据工程的重要性、地基持力层条件和过去使用经验等因素确定。一般对于重要的大型工程或软土地基上的建筑物，安全系数可取用大值；对于中型工程或较坚实地基上的建筑物，安全系数可取用小值。

（5）极限承载力计算公式是按条形竖直均布荷载推导的。

2.计算模型和计算公式

a.计算模型

（1）中心荷载作用。汉森公式的基本形式与太沙基公式类似，其计算模型一致。在竖向均布荷载作用下，计算模型如图2.3-14所示。

（2）偏心、倾斜荷载作用。在实际工程中，理想中心荷载作用的情况是不多的，在许多时候荷载是偏心的，甚至是倾斜的，这时情况相对复杂一些，基础可能会整体剪切破坏，也可能水平滑动破坏，其理论破坏模式如图2.3-15所示。与中心荷载作用下不同的是，有水平荷载作用时地基的整体剪切破坏沿水平荷载作用方向一侧发生滑动，弹性区的边界面也不对称，滑动方向一侧为平面，另一侧为圆弧，其圆心即为基础转动中心，如图2.3-15（a）所示。随着荷载偏心距的增大，滑动面明显缩小，如图2.3-15（b）所示。汉森在太沙基理论基础上假定基底光滑，考虑荷载倾斜、偏心、基础形状、地面倾斜、基底倾斜等的影响，对承载力计算公式的理论滑动图式提出了修正公式。

b.基本假定

（1）基础为条形浅基础。

（2）基础两侧埋置深度d范围内的土体被视为边荷载q=γd，而不考虑这部分土的剪切阻力。

（3）基础底面是粗糙的。

（4）在极限荷载作用下，地基中的滑动面可分为3个区，如图2.3-14所示。Ⅰ区为弹性压密区，应力状态与朗肯主动区应力状态相同，可称为主动朗肯区，是一个三角形弹性楔体，楔体侧面与基底面的夹角为ψ，在地基破坏时随基础一同下沉；Ⅱ区为径向剪切区，边界bc、bc′近似为对数螺旋线；Ⅲ区为朗肯被动区，边界cd、c′d′为直线，基底完全光滑时它们与水平面成（45°-φ/2）角，基底完全粗糙时ψ=φ，基底不完全光滑时ψ介于φ～（45°+φ/2）之间。

c.汉森公式

汉森对太沙基承载力公式进行了数项修正，汉森极限承载力公式为

式中 N_r、N_q、N_c——地基承载力系数；可按式（2.3-29）计算，即

p_u——地基极限承载力，kPa；

γ——土的容重，水下用浮容重，kN/m³；

B——基础底宽，m；

d——基础埋深，m；

γ_m——基础底面以上土的加权平均容重，kN/m³；

S_r、S_q、S_c——相应于基础形状修正的修正系数；

d_r、d_q、d_c——相应于考虑埋深范围内土强度的深度修正系数；

i_r、i_q、i_c——相应于荷载倾斜的修正系数；

g_r、g_q、g_c——相应于地面倾斜的修正系数；

b_r、b_q、b_c——相应于基础底面倾斜的修正系数。

汉森承载力公式中上述各系数的计算公式，为便于使用，特列于表2.3-3中。

3.几点说明

偏心、倾斜荷载作用和成层土地基，在使用汉森极限承载力公式和采用限制塑性开展区深度的计算方法时，地基计算中经常要用到。为方便地基计算，根据有关土力学知识，特作以下说明：

a.倾斜荷载作用

当基础承受倾斜荷载作用时，如图2.3-16所示。在应用汉森公式进行荷载倾斜修正时，为了保证基底不因水平力过大而产生水平滑动，应首先满足

式中 P_h——作用在基底上的水平分力；

P_v——作用在基底上的垂直分力；

c_a——基底与土之间的黏聚力，可取用土的不排水剪强度c_u；

δ——基底与土之间的摩擦角；一般钢筋混凝土底板与黏土间，取δ=20°；与淤泥质黏土间取δ=15°；一般δ为固结快剪φ值的85%～90%。

式（2.3-30）也可以表述为汉森公式只适用于φ&gt；δ，即τ_k≤c+P_vtanφ。也就是说，在外荷作用下，土体中的剪应力τ_k小于土的抗剪强度τ_f时，则不发生剪切破坏。因此只要满足水平向抗滑稳定性要求，δ始终小于φ值，则汉森公式完全可以使用。

b.偏心荷载作用

汉森公式是按中心荷载作用推导的，只适用竖向基底压力为均匀分布情况。当基础受到偏心荷载作用时，应先将其折换成有效的基底面积，然后按中心荷载情况下的极限承载力公式进行计算。

（1）条形基础。如果是条形基础，其荷载的偏心距为e，则用有效宽度B_e=B-2e来代替原来的宽度B，如图2.3-17（a）所示。

（2）矩形基础。如果是矩形基础，并且在两个方向上都有偏心，宽度方向偏心距为e_B，长度方向偏心距为e_L，则用有效面积A_e=B_eL_e来代替原来的面积A，其中有效宽度B_e=B-2e_B，有效长度L_e=L-2e_L，如图2.3-17（b）所示。

c.成层土地基时

对于成层土所组成的地基，如图2.3-18所示。当各土层土的抗剪强度相差不大的情况下，汉森建议按式（2.3-31）近似确定持力层的最大深度z_max。

式中 λ——系数，根据土层平均内摩擦角和荷载的倾角从表2.3-4中查取；

B——基础的原宽度。

汉森公式中的重力密度和抗剪指标值，都是将整个地基视为均质土取用的。实际工程中常见的多是成层土，可将z_max范围内各土层土的重力密度和抗剪指标值加权平均，取用加权平均值，即

式中 γ_i、c_i、φ_i——第i土层的容重、黏聚力和内摩擦角；

h_i——第i土层的厚度。

【例2.3-4】有一轻型水工挡土墙，筏形基础，底宽4.0m，埋置在中砂层下2.0m深处，其上作用着倾斜的中心荷载，竖直分力P_v=900kN/m，水平分力P_h=150kN/m。中砂层内摩擦角φ为32°，湿容重γ为18.5kN/m³，浮容重γ′为9.5kN/m³。距基底2.0m处有一黏土层，其固结不排水剪的强度指标c为18kPa，φ为22°，浮容重γ′为9.7kN/m³。地下水位与基底齐平，试计算地基极限承载力。

【解】根据题意，该挡土墙为条形基础，作用荷载为倾斜荷载，可按汉森极限承载力公式计算。

（1）假定φ，确定持力层深度。

该地基为成层土，根据tanβ=P_h/P_v=150/900=0.17，并假定土层的平均内摩擦角φ=21°～35°之间，由表2.3-4查得λ=1.2。由式（2.3-31）得持力层深度：

z_max=λB=1.2×4=4.8（m）

（2）计算容重和强度指标。

由式（2.3-32），按持力层4.8m深，求得土层的平均指标为

比较（1）中假定和（2）中计算的结果可知，求得的平均内摩擦角在假定的范围之内。根据φ=26°查表2.3-5得承载力系数N_r=9.53、N_q=11.85、N_c=22.25。

（3）求荷载倾斜系数。

由表2.3-3内的荷载倾斜系数计算式得

（4）求深度修正系数。

（5）求地基极限承载力。

由式（2.3-28）得

（二）安全系数的选择

极限荷载是地基开始滑动破坏的荷载，是地基即将丧失稳定性时的承载力。工程设计时，当然不能直接采用极限荷载作为地基允许承载力，必须要有一定的安全系数K。将极限荷载p_u除以安全系数K可得地基允许承载力［R］，即［R］=p_u/K。这样地基稳定有足够的安全度，并且变形控制在建筑物的允许范围内时的承载力。地基的允许承载力不仅取决于地基的性质、基础宽度、基础埋深，而且取决于建筑物的允许沉降量。

安全系数的选择是一个十分复杂的问题，它与地质条件、地基勘察详细程度、抗剪强度试验方法及指标选用、建筑物种类及特征、设计荷载组合情况、建筑物的破坏所带来的危害性等许多因素有关。因此迄今为止还没有一个公认的、统一的标准可供使用。实践中，应根据具体问题分析的原则，综合考虑上述各种因素来加以确定。

对于水工建筑物，通常按工程规模和设计级别确定安全系数，一般大型工程或软土地基取K=3.0，中、小型工程取K=2.0。

各行业对安全系数的取值有所不同。一般地基，对太沙基公式而言，K=2～3；对于魏锡克、汉森公式，K=2～4；对于斯肯普特公式，K=1.1～1.5。

另外，安全系数还和勘察情况有关，对经过详细勘察的公寓及办公楼，K=2；对未经过详细勘察的，K=4；对经过详细勘察的公共建筑，K=2.5。为了保证地基不发生剪切破坏而失稳，作用在建筑物基底压力p必须小于地基的承载力。同时，如果基础设计是由沉降控制，必须采用高的安全系数。

对于同时有竖向荷载和水平荷载作用时，规范规定有两种方法进行地基计算，一是按c_k法验算地基稳定，二是汉森公式计算允许承载力。因为地基计算都是以承载力为主要控制指标，如基底压力验算、控制不均匀沉降的应力比等，都和地基承载力有关，所以地基计算中，应计算地基允许承载力，如果采用c_k法验算地基稳定，则不能控制地基不均匀沉降。在c_k指标满足要求的情况下，因最大应力必须要满足承载能力极限状态的设计要求，即p_max≤1.2［R］，所以还需要计算地基允许承载力。因此，只采用c_k法验算地基稳定，则无法了解地基不均匀沉降情况。

（三）工程应用

临界荷载和极限荷载（也称极限承载力），在工程应用中，经过技术处理后都可以作为地基允许承载力。但两者的处理方法不同，前者是直接采用控制塑性变形区的深度，后者是求得极限承载力后再除以安全系数。

（1）临界荷载是以控制塑性变形区开展深度，确定地基允许承载力。一般以地基中的塑性变形区最大深度z_max=b/3或z_max=b/4时，与此相对应的基底面压力，分别以p_1/3或p_1/4表示，作为地基允许承载力。

（2）极限荷载是在外荷作用下，地基土产生的应力达到极限平衡时的荷载，是地基所能承受的基底压力的极限值，以p_u表示。通常地基极限承载力除以安全系数K（K=2～3）后作为地基允许承载力。

四、按规范确定地基承载力

按规范的规定确定地基承载力的计算公式，各行业规范有所不同，但大体上有以下3种方法：

（1）根据塑性开展区深度确定地基承载力。

（2）根据地基承载力的理论公式计算。

（3）根据原位试验确定。

（一）按水利行业规范确定地基承载力

水工建筑主要是依据土的强度确定地基承载力，在《水闸设计规范》（SL 265）、《泵站设计规范》（GB 50265）和《水工挡土墙设计规范》（SL 379）中提出了两种方法，即按塑性开展区深度确定地基允许承载力、汉森公式计算地基允许承载力。

1.按塑性开展区深度确定地基允许承载力

泵站、水闸等规范提出，在竖向对称荷载作用下，可按限制塑性区开展深度的方法计算土质地基允许承载力。该方法在本章第三节已作了介绍，在此不再赘述，只列出公式，以便使用。

如果限制地基塑性变形区的最大开展深度不超过某一允许值，则允许承载力可按式（2.3-33）计算，即

式中 d——基础埋深，m；

γ——地基土的容重，kN/m³，地下水位以下取浮容重；

z_max——地基塑性变形区的最大深度，m；可由式（2.3-31）计算。

地基塑性变形区的最大深度，对于大型工程取B/4，中、小型工程取B/3。经对式（2.3-33）的简化，在竖向对称荷载作用下，土质地基允许承载力为

式中［R］——按限制塑性变形区开展深度计算的土质地基允许承载力，kPa；

B——基础底面宽度，m；

d——基底埋置深度，m；

c——地基土的黏聚力，kPa；

γ_B——基础底面以下土的容重，kN/m³，地下水位以下取浮容重；

γ_D——基础底面以上土的容重，kN/m³，地下水位以下取浮容重；

N_B、N_D、N_C——承载力系数，N_B由塑性变形区最大深度z_max=b/3或z_max=b/4，为N_1/3、N_1/4，可分别按式（2.3-35）计算或查表2.3-1。

式（2.3-33）与临界荷载的计算式（2.3-14）和式（2.3-15）完全一致，其承载力系数也是相同的。

应当指出，按式（2.3-34）计算地基的允许承载力，只适用于均布的垂直荷载情况。水工建筑物底板的压力分布一般是不均匀的，而且还有水平荷载。但是由于设计水工建筑物时，限制了基底压力的不均匀系数η，因此，采用式（2.3-34）计算地基允许承载力是可以的，但是，地基塑性变形区的最大深度，对于大型工程或不对称荷载作用下宜取b/4。此外，对地基承载力最不利的荷载组合情况是在工程刚完建时，这时地基反力最大且没有水平荷载，地基反力也较均匀，故可以用式（2.3-34）进行计算。

2.汉森公式计算地基允许承载力

根据水工建筑物的受力特点，在水利行业应用较多的极限承载力计算公式为汉森公式，将汉森公式计算所得的极限荷载p_u除以安全系数K，即得地基允许承载力［R］，即

式中［R］——地基允许承载力，kPa；

K——安全系数，对于固结快剪试验的抗剪强度指标时，K值可取用2.0～3.0，（对于重要的大型工程或软土地基上的工程，K值可取大值；对于中型工程或较坚硬实地基上的工程，K值可取小值）；

B——基础底面宽度，m；

q——基础底面以上的有效侧向荷载，kPa；

N_r、N_q、N_c——承载力系数，可查表2.3-5；

S_r、S_q、S_c——形状系数，对于矩形基础S_r=1-0.4×B/L，S_q=S_c=1+0.2×B/L；

对于条形基础，S_r=S_q=S_c=1；

L——基础底面长度，m；

d_q、d_c——深度系数，d_q=d_c=1+0.35×B/L；

i_r、i_q、i_c——倾斜系数，可查表2.3-6；当荷载倾斜率tanδ=0时，i_r=i_q=i_c=1；

δ——荷载倾斜角（°）。

（二）按《建筑地基基础设计规范》确定地基承载力

1.按规范公式确定地基承载力

a.规范中的地基承载力计算公式

《建筑地基基础设计规范》（GB 50007）指出，地基承载力特征值可由载荷试验或其他原位测试、公式计算，并结合工程实践经验等方法综合确定。当基础宽度大于3m或埋置深度大于0.5m时，从载荷试验或其他原位测试、经验值等方法确定的地基承载力特征值，尚应按式（2.3-37）修正，即

式中 f_a——修正后的地基承载力特征值，kPa；

f_ak——地基承载力特征值，kPa；

η_b、η_d——基础宽度和埋深的地基承载力修正系数，按基底下土的类别查表2.3-7；

γ——基础底面以下土的容重，kN/m³，地下水位以下取有效容重；

b——基础底面宽度，m，当宽度小于3m按3m计，大于6m按6m计；

γ_m——基础底面以上土的加权平均容重，kN/m³，地下水位以下取有效容重；

d——基础埋置深度，m，基础埋置深度d，一般自室外地面标高算起。

在填方整平地区，可自填土地面标高算起，但填土在上部结构施工后完成时，应从天然地面标高算起。对于地下室，如采用箱形基础或筏基时，基础埋置深度自室外地面标高算起；当采用独立基础或条形基础时，应从室内地下室地面标高算起。

从表2.3-7可以看出，持力层土的工程性质越好，承载力修正系数越大。对于软弱土层不考虑宽度修正，宽度修正系数η_b为0，而深度修正系数η_d为1或接近于1。这表明，对于软弱土层，加大基础宽度和埋深对提高地基承载力都没有太大的作用。

b.几点说明

（1）f_a为修正后的地基承载力特征值，相当于水利行业的地基允许承载力。

（2）f_ak为未经修正的地基承载力特征值，该值的含义如下：

1）中心受压条形浅基础宽度不大于3m，埋深不大于0.5m。

2）一般均质地基。

3）已经包含了地基强度和变形两项因素。

（3）f_ak的确定途径和方法。

1）浅层载荷试验直接确定。

2）利用地基土的特征指标间接确定。

3）经验方法。利用已经成功的相似工程和地基条件，借用前者使用的承载力参数；这种方法在有条件的情况下是科学而稳妥的，但其经济性方面存在不确定性。

（4）当计算所得地基承载力特征值f_a&lt；1.1f_ak时，可按f_a=1.1f_ak直接确定地基承载力设计值。

2.根据土的抗剪强度确定地基承载力

a.计算公式及应用条件

《建筑地基基础设计规范》（GB 50007）指出，当荷载偏心距e≤0.033倍基础底面宽度（即e≤0.033b，b是弯矩作用平面内的基础底面尺寸）时，根据土的抗剪强度指标确定地基承载力特征值可按式（2.3-38）计算，并应满足变形要求，即

式中 f_a——由土的抗剪强度指标确定的地基承载力特征值，kPa；

M_b、M_d、M_c——承载力系数，可以根据土的内摩擦角标准值φ_k从表2.3-8中查出；

b——基础底面宽度，m，b&gt；6m时按6m计；对于砂土b&lt；3m按3m计；

c_k——黏聚力标准值，kPa。

b.几点说明

（1）式（2.3-38）仅适用于e≤0.033b的情况，这是因为用该公式确定承载力相应的理论模式是基底压力呈均匀分布。

（2）式（2.3-38）实际上是采用了临界荷载p_1/4计算公式，只是又依据荷载试验及工程经验对φ≥22°的系数进行修正，改换为M_b值。所以该式实质上是以地基塑性区发展深度达到b/4作为正常使用极限状态，它可保证在地基稳定上具有足够安全度，在变形上也是允许的。

（3）按式（2.3-38）确定地基承载力时，只保证地基强度有足够的安全度，未能保证满足变形要求，故还应进行地基变形验算。

（4）式（2.3-38）一般只适用于浅基础，即d/b≤1，当d/b=3～4时，应按深基础考虑；上述公式只适用于均质地基，对成层地基，可近似采用地基各层的抗剪强度指标加权平均值代入公式计算。

3.在水利工程中的应用

a.用于竖向荷载为主的水工建筑物

按上述《建筑地基基础设计规范》（GB 50007）计算地基承载力，在水利工程中，大多用于管理楼、配电房等附属建筑物的设计；也可用于以竖向荷载为主的中、小型水工建筑物地基承载力计算，如堤后式泵房、穿堤涵洞等。建筑行业根据土的抗剪强度指标确定地基承载力，和水利行业按临界荷载p_1/4计算公式确定地基承载力是相同的，即式（2.3-34）和式（2.3-38）是等价的。

b.用于具有水平荷载的中、小型水工建筑物

中、小型水工建筑物，当承受水平荷载不大时，可采用式（2.3-37）或式（2.3-38）计算地基承载力。但地基承载力特征值f_a，一般应乘以0.8的系数，即以0.8f_a作为地基允许承载力［R］。

c.应用时的几点说明

中、小型水利工程设计，应用建筑行业上述规范计算地基承载力时，应注意以下几点：

（1）要注意式（2.3-37）、式（2.3-38）的适用条件，前者是基础宽度大于3m或埋置深度大于0.5m；后者是偏心距e≤0.033倍基础底面宽度。

（2）工程地质勘察所提供的参数要与之匹配，以满足计算要求。

（3）要注意规范的配套使用，即地基承载力验算也要配套采用同一规范。

（三）按《公路桥涵地基与基础设计规范》确定地基承载力

1.按规范公式确定地基承载力

按《公路桥涵地基与基础设计规范》（JTJ 024）确定地基允许承载力，其步骤如下：

a.确定土的分类名称

上述规范将土分为6类，即黏性土、砂类土、碎卵石类土、黄土、冻土及岩石。

b.确定土的状态

上述规范规定：黏性土的天然状态是按液性指数分为坚硬状态、半坚硬状态、硬塑状态、软塑状态和极软状态；砂类土根据相对密度分为稍松、中等密实、密实状态；碎卵石类土则按密实度分为密实、中等密实和松散。

c.确定土的允许承载力

当基础最小边宽度b≤2m、埋深h≤3m时，各类地基土允许承载力［σ₀］，可直接从上述规范中查取。

d.地基允许承载力的修正

基础宽度或埋深不大于4m时，上述一般地基土（除冻土和岩石外）的允许承载力可按式（2.3-39）修正，即

式中［σ₀］——当基础宽度b≤2m，埋置深h≤3m时地基土的允许承载力，kPa；

b——基础宽度或直径，m，如b＞10m时，仍按10m计算；

h——基础埋深，m；

γ₁——基底下持力层土的天然容重，kN/m³，水位以下用浮容重；

γ₂——基底以上土的加权平均容重，kN/m³；

K₁、K₂——修正系数，查《公路桥涵地基与基础设计规范》（JTJ 024）。

应当指出，由于我国地域广阔，土质情况比较复杂，在制定规范时收集的资料其代表性也有很大的局限性。因此，有些地区的土类、特殊土类或性质比较复杂的土类，在规范中均未列入，或所给的数值与实际情况差异较大，这时应采用多种方法综合分析确定。

2.在水利工程中的应用

按《公路桥涵地基与基础设计规范》（JTJ 024）确定地基承载力，在水利工程设计中，一般只用于水利工程中的桥涵地基与基础设计。因各类地基土允许承载力［σ₀］不易确定，因此，对于水利工程中桥涵地基与基础设计，往往还需采用汉森公式计算。

五、基础尺寸及埋深对承载力的影响

基础尺寸及埋深对承载力的影响以及基础埋深计算，是各种承载力计算公式中都需要确定的参数。因此，在前面已介绍承载力各种计算方法之后，以下对此进行集中论述。

（一）基础尺寸对地基承载力的影响分析

1.基础尺寸对承载力的影响分析

地基承载力不仅决定于土的性质，而且与基础的尺寸和形状有关。由极限承载力公式可知，基础的宽度越大，承载力越高。但是一些研究指出，当基础的宽度达到某一数值以后，承载力不再随着宽度的增加而增加，这与公式计算结果不吻合；与由沉降控制的承载力也不一致。因此，设计中不能无限制地采用加大基础宽度的办法来提高承载力。另外，为了防止承载力提高过大，特别是对宽度修正系数很大的土类，采用极限承载力公式时，也应该对基础宽度作出限制。

迄今，极限承载力理论都是建立在假设土为刚塑体，极限承载力计算公式都是建立在整体剪切破坏模式的基础上的，而研究表明，不管地基土质如何，大尺寸基础趋于刺入式破坏，也就是冲剪破坏，与极限承载力计算公式的整体剪切破坏模式不吻合。因此，水工大尺寸基础的地基承载力计算，不能简单地直接采用极限承载力计算公式，而应对基础的宽度加以限制，以免承载力提高过大。

2.大尺寸基础承载力计算

水工建筑物基础尺寸较大，基础宽度长达数十米。而地基承载力通常都是按照条形基础提出的，或者是根据载荷试验值经过深宽修正计算的。因此，在这种情况下，对地基承载力计算和沉降分析，用传统的经典理论和方法已难以计算。

太沙基、汉森等极限承载力计算公式以及临界荷载公式，对于求解大基础的水工建筑物地基承载力，都存在承载力超大问题。不同学者提出的极限承载力计算公式，都是由3部分组成，可以用一个通式表达，即

式中 N_c、N_q、N_r——地基承载力系数，是与地基土的摩擦角有关的系数，其中N_r没有统一解。

例如，假设地基土为黏性土，φ=34°，γ=9kN/m³，b=30m；不同学者的N_r一般在15～50之间，按现行水利行业规范为N_r=34.54，在不计深度和黏聚力的贡献，仅计第一项极限承载力就已高达4662.9kPa，安全系数取3，则地基允许承载力［R］=1554.3kPa。而一般的黏性土不可能有如此高的承载力，土质地基可能最大的承载力是500kPa。显而易见，按极限承载力计算公式计算的承载力提高过大，超过地基土的实际承载能力，会给工程带来不安全。

按限制塑性区开展深度的方法计算土质地基允许承载力，也同样存在承载力超大问题。如持力层为φ=32°的中砂层，在其他条件不变的情况下，只改变基础宽度，当B=6m时，地基极限承载力为R_1/4=312.5kPa；B=20m时，R_1/4=493.9kPa，比B=6m的允许承载力提高了58%；而φ=32°密实的砂土，不可能有如此高的承载力。

由以上分析可以看出，地基承载力计算时应对基础宽度作出限制，以免承载力提高过大，超过地基土的实际承载能力，给工程带来不安全。宽度的最大限制值不能过大，但同时也不能过小，过小地基承载力未能发挥，偏于安全，工程不经济。合理的上限值，应是基础宽度达到一定数值后，承载力不再随着宽度的增加而增加，此时的宽度值即为最大宽度限制值。同时基础宽度越大，沉降也越大，承载力应以沉降为控制因素，因此，在确定宽度的最大限值时，还应考虑到沉降的允许值。

结合近年来水工设计，工程实践表明，基础宽度小于3m时，按3m考虑，是为了防止塑性变形区连通；水工基础宽度较大时，为了防止承载力提高过大，宜将宽度最大值限制在10m以内，大于10m时，按10m计。在确定基础宽度时，在竖向荷载和水平荷载共同作用时，顺水流向的长度为基础宽度，这样与基底应力计算一致；当只有竖向荷载作用时，基础短边为基础宽度。

（二）基础埋深对承载力的影响分析

1.超载作用分析

本节所述的各种承载力计算公式中，都有基础埋深对承载力的修正项，其原理是基础两侧的超载对承载力的贡献。基底平面以上基础两侧超载（或埋深），对地基承载力的提高起作用是在一定范围内的，由图2.3-19可见，滑动面上部ad及a′d′范围内的超载会对地基承载力有所帮助。

2.超载有效范围的确定

地基承载力的深度修正，主要是由于基底水平面以上基础两侧的超载引起的，所以只有合理地判断出超载的范围及深度，才能正确地进行地基承载力深度修正。

超载有效范围的确定，也就是图2.3-19中ad及a′d′的长度计算；先按基底下土内摩擦角φ分别为15°和30°求出ad段及a′d′段的长度，再按对数螺线方程求出ac及a′c′的长度，aa′段长度=B（基础宽度），计算数据见表2.3-9。由此可见，土内摩擦角φ为15°～30°时，基础两侧的有效超载范围为2～4B。同时要注意，各种极限承载力计算公式，均是以超载为连续均布荷载并作用在整个滑动体表面为前提。

由于浅基础的埋置深度d与基础底面宽度B相比（d／B）较小，所以就土力学计算而言，浅基础也与深基础不同。例如，在确定浅基础的地基承载力时，一般不考虑基础底面高程以上基础旁侧土体抗剪强度的有利影响，这是由于旁侧回填土强度较低，易受外界影响而变异的缘故；此外，在计算基础沉降时，可采用基底附加压力来近似考虑埋置深度的影响。

（三）基础埋置深度的计算

1.深度修正的实质和要点

由上述可知，进行地基承载力的深度修正，就是为了考虑基础两侧基底以上的超载q对基础两侧滑动土体向上滑动的抵抗作用。这个超载可以直观地理解为作用在滑动土体表面的压重，如图2.3-20所示。超载q可以是土自重q=γd，也可以是相邻建筑产生的连续均布压力。

根据地基破坏机理，以及各种地基承载力计算公式建立的前提，可以得出地基承载力深度修正的几个要素：

（1）地基承载力的深度修正，其实都是超载的压重作用。无论是用土的天然埋深，还是将相邻建筑等其他连续均匀压重折算为土厚进行地基承载力的深度修正，其实质都是基础两侧超载对抗滑动土体向上运动的体现。

（2）对超载连续、均匀性和满足一定分布宽度的要求。地基承载力计算公式的建立是以超载q为连续均布荷载，并作用在整个滑动体表面为前提的。超载的分布宽度满足大于2～4B（B为基础宽度）的要求时，即可进行地基承载力的深度修正。如果是天然土层形成的超载，这个荷载基本上是连续均布的。相邻建筑等压重不一定能形成连续均布的超载，具体应分析后确定。

2.基础埋深计算

地基承载力深度修正，主要是由于基底水平面以上基础两侧的超载引起的，在基础两侧超载有效范围内，只有合理确定埋置深度，才能正确地进行地基承载力深度修正。

a.一般基础埋深计算

当基础两边的埋深，在有效的范围内不一致时，从地基破坏模式来看，基础两边的压重不一样时，破坏的滑裂面自然在压重轻的一边先发生。因此，基础两侧超载不等时，取小值偏于安全。具体有以下两种情况：

（1）基础两侧一边埋深大一边埋深小，如图2.3-21（a）所示。地基破坏的滑动面会先到达浅的一边，所以用于深度修正的基础埋深应取埋深小的计算。

（2）基础一侧在2～4B范围内有两种埋深，d₁&gt；d₂，如图2.3-21（b）所示，例如，水闸下游有消力池时，闸基承载力计算。为偏于安全考虑，用于深度修正的埋深可取d₂进行计算。

b.上、下游设齿墙的基础埋深计算

当水工基础底板上、下游端设置齿墙时，如图2.3-22所示，由于两齿墙对其间的土体取得了很好的嵌固作用，不同程度地改善了地基的承载能力，同时，地基的稳定性也有较大幅度的提高。因此，可从齿墙底算至基础顶面，作为基础的埋置深度。

c.四周埋深不等

当建筑四周的超载相差不多，且其长宽相差较大时，破坏一般不会沿着长边发生，此时取短边（B方向）进行考虑是可以的。但当结构的长宽比较接近时，取四周埋深（折算埋深）的最小值进行深度修正是较安全的。

地基的破坏一般都发生在最薄弱部位，因此应取基础四周埋深（或折算埋深）的最小值进行深度修正。

d.上、下游护底的折算深度

当基础两侧（上、下游）为混凝土、块石等材料护底（如铺盖、护坦等）时，用于承载力深度修正的基础埋置深度，可将护底折算为埋深，即护底的所有竖向荷载标准值F（kN/m²）与土的重度γ（kN/m³）之比，即护底折算深度d=F/γ（m），再取小值进行深度修正。

e.水平荷载作用

当水平荷载作用较大时，地基的整体剪切破坏沿水平荷载作用方向一侧发生滑动；当两侧埋深相差不大时，则宜以水平荷载作用方向一侧基础埋深计。

六、地基抗震承载力

水工建筑物不仅属于生命线工程，而且是次生灾害源。因此，必须对工程抗震设计非常重视，水利工程抗震安全具有十分特殊的重要性。水利工程一旦发生严重震害，不仅危及工程本身安全，还会产生连锁反应，引发次生水灾，而且次生灾害造成的损失往往超过地震本身造成的损失。

1.一般规定

为保证在各种计算情况下，地基不致发生剪切破坏而失去稳定性，因此，在各种计算情况下，要求平均基底应力不大于地基允许承载力，即

式中 p——基底平均应力，kPa；。

当偏心荷载作用时，除符合式（2.3-40）的要求外，尚应满足基底最大应力不大于地基允许承载力的1.2倍，即

如果不能满足式（2.3-40）和式（2.3-41）的要求，地基就会因发生剪切破坏而失去稳定性。

2.抗震承载力验算

水利行业有关规范目前尚未明确地基抗震承载力验算，设计中可参照国家标准《建筑抗震设计规范》（GB 50011—2010）。

天然地基基础抗震验算时，应采用地震作用效应标准组合，且地基抗震承载力应取地基承载力特征值乘以地基抗震承载力调整系数计算。地基抗震承载力调整系数，主要考虑在动荷载作用下，动强度有所高；特殊荷载，安全系数可降低。

地基抗震承载力应按式（2.3-42）计算，即

式中 f_aE——调整后的地基抗震承载力；

ζ_a——地基抗震承载力调整系数，ζ_a=1.0～1.5（软～硬），按表2.3-10采用；

f_a——深宽修正后的地基承载力特征值，应按现行国家标准《建筑地基基础设计规范》（GB 50007）采用。

基底压力计算如下：

将地震作用等效为惯性力，按静荷载分析计算——拟静力法。

验算天然地基地震作用下的竖向承载力时，按地震作用效应标准组合的基础底面平均压力和边缘最大压力应符合下列各式要求，即

式中 p_E——地震作用效应标准组合的基础底面平均压力；

p_Emax——地震作用效应标准组合的基础边缘的最大压力。

水工建筑地基与基础设计时，式（2.3-43）中f_aE等价于［R］。但值得指出的是，对于可以不进行地基抗震承载力验算的水工建筑，尚需满足抗震构造措施的要求；不进行抗震强度验算，并不意味着不需要采取有关的抗震构造措施。

3.抗震调整系数分析

地基承载力的抗震验算式，是在静力验算式的基础上增加了承载力抗震调整系数ζ_a，这只是反映了地基土在动静组合荷载作用下的承载力与静荷载作用下的承载力的差别。土的动强度问题十分复杂，理论上还没有很好解决。现在ζ_a系数的确定，一方面考虑到了土体在动静组合荷载与静荷载作用下不同的破坏机理；另一方面还是对已经经受过地震考验的建筑物的地基，采用“校准法”反算的结果。