芝诺悖论走向数字化

第三个是飞矢不动悖论，芝诺用它来驳斥另一种可能性，即空间和时间从根本上说是离散的，这意味着它们由不可分割的微小单元（类似于空间像素和时间像素）组成。这个悖论的内容是：如果空间和时间是离散的，飞矢就未曾移动，因为在每一个瞬间（一个时间像素），飞矢都在某个确定的位置（一组特定的空间像素）上。由此可以推断，在任何给定的瞬间，飞矢都是静止不动的。它也不会在两个瞬间之间移动，因为根据假设，两个瞬间之间是没有时间的。所以，飞矢从未移动。

在我看来，这是芝诺悖论中最微妙和最有意思的一个。哲学家仍然在争论它所描述的状态，不过我认为芝诺似乎说对了2/3。在一个空间和时间离散化的世界里，飞矢的行为确实如芝诺所言。当时间以离散化的方式嘀嗒前行时，飞矢会在一个接一个地方突然出现。他还说对了一点，那就是感官告诉我们现实世界并非如此，至少不是我们通常感知到的那样。

而芝诺的错误在于，他认为在这样的世界里运动是不可能发生的。根据在数字设备上观看电影和视频的经验，我们就能知道这一点。我们的手机、数字录像设备和电脑屏幕将所有图像切分成离散的像素，但和芝诺的主张相反，即使在这些离散化的场景下，运动也可以完美地发生。只要所有图像都被切分得足够细致，我们就无法分辨出光滑的运动与其数字表示之间的不同。如果观看飞矢的高分辨率视频，我们看到的实际上是一支像素化的箭在一帧接一帧的离散画面中出现。但由于我们的感知能力有限，它看上去就像一条光滑的轨迹。有时候，我们的感官真的会欺骗我们。

当然，如果切分得太粗糙，我们就能分辨出连续与离散之间的区别，而且常常会发现它有些烦人。想想老式的指针式时钟和现代的数字/机械时钟有什么不同。在指针式时钟上，秒针会以匀速运动的方式扫过表盘，让人感觉时间在流动。而在数字时钟上，秒针会一下一下地向前跳动，并发出“嘭嘭嘭”的声音，让人感觉时间在跳动。

无穷可以在这两种截然不同的时间观念之间架起一座桥梁。想象一下，如果数字时钟每秒钟一次的“嘭”声被几万亿次小的“嘀嗒”声代替，那么我们将无法分辨出数字时钟和真正的指针式时钟之间的区别。电影和视频也是这样，只要画面闪现得足够快，比如每秒30帧，就会给人一种无缝流动的感觉。如果每秒闪过无穷多帧，就真可谓天衣无缝了。

再想想我们录制和回放音乐的情景。我的小女儿在她15岁生日时收到了一台老式的维克多牌唱机，可以用它来听艾拉·费兹杰拉的黑胶唱片。这是一种典型的模拟体验：从唱机中传出的所有歌曲的音调和拟声唱法，都跟艾拉演唱它们的时候一样流畅；不管是在轻柔的部分、高亢的部分还是两者之间的过渡部分，她的音量都是连续不断的，从低音到高音的爬升也很优美。然而，当你在数字设备上听她的歌曲时，音乐的方方面面都被切分成微小而离散的音级，并被转化成由0和1组成的字符串。尽管两者在概念上差别巨大，但我们的耳朵却分辨不出来。

因此在日常生活中，离散与连续之间的鸿沟往往是可弥合的，至少可以取得良好的逼近效果。在很多实际应用中，只要我们把事物切分得足够细致，离散就可以替代连续。在微积分的理想世界里，我们还可以更上一层楼。任何连续的事物都可以被精确地（而不只是近似地）切分成无穷多个无穷小的部分，这就是无穷原则。在极限和无穷的帮助下，离散和连续融为了一体。