芝诺悖论

早在布鲁诺被烧死的大约2 000年前，有一位勇敢的哲学家就开始思考无穷问题了。芝诺提出了一系列关于空间、时间和运动的悖论，无穷在其中扮演着重要而复杂的角色。这些难题预示了微积分的核心思想，至今仍备受关注。伯特兰·罗素认为，它们无比巧妙和深奥。

我们并不确定芝诺试图用他的悖论证明些什么，因为他什么记录都没有留下。芝诺悖论是通过柏拉图和亚里士多德的著作流传至今的，而这两位哲学家的主要目的是推翻它们。根据他们的讲述，芝诺试图证明改变是不可能发生的。在芝诺看来，尽管感官告诉我们这不是事实，但它实际上欺骗了我们；改变是一种错觉。

在芝诺悖论中，有三个尤其知名和有影响力。第一个是二分法悖论，它与墙之谜类似，但更加令人沮丧。该悖论认为你根本无法移动，因为在你走一步之前，你需要先走1/2步；在你走1/2步之前，你需要先走1/4步，以此类推。所以，你非但走不到墙根处，甚至没办法出发。

这是一个绝妙的悖论。谁能想到，走一步竟然需要完成无穷多项子任务呢？更糟糕的是，我们找不到要完成的第一项任务。第一项任务不可能是走1/2步，因为在那之前你必须先走1/4步，而在你走1/4步之前你必须先走1/8步，以此类推。如果你认为自己在做早餐前有很多事情要做，就可以想象成你必须完成无穷多项任务之后才能到达厨房。

第二个是阿喀琉斯与乌龟悖论。它认为，在跑步比赛中，如果跑得慢的乌龟的起跑点更靠前，那么跑得快的阿喀琉斯就追不上乌龟（图1–12）。

图1-12

原因在于，当阿喀琉斯到达乌龟的起跑点时，乌龟会沿着跑道向前移动一点儿；当阿喀琉斯到达那个新位置时，乌龟又会往前爬一点儿。然而，我们却认为跑得快的选手能赶超跑得慢的选手，这要么是因为感官在欺骗我们，要么是因为我们关于运动、空间和时间的推断有误。

在这两个悖论中，芝诺似乎驳斥了“空间和时间从根本上说是连续的”（这意味着它们可以被无休止地分割）这一观点。他巧妙地利用了反证法（有人说这是他发明的），律师和逻辑学家把这种修辞策略称为“归谬法”。芝诺先假设空间和时间是连续的，然后从这个假设中推导出一个悖论，进而推断出连续性假设一定是错误的。而微积分正是建立在这个假设的基础之上，所以这场斗争至关重要。通过指出他的推理过程中的错误，微积分对芝诺的观点进行了反驳。

以下是微积分应对阿喀琉斯与乌龟悖论的方法。假设乌龟的起跑点在阿喀琉斯前方10米处，但阿喀琉斯的跑步速度是乌龟的10倍（比如他的速度是每秒10米，而乌龟的速度是每秒1米）。然后，阿喀琉斯花1秒的时间追平了起跑时乌龟领先他10米的优势。与此同时，乌龟会向前移动1米。阿喀琉斯需要再花0.1秒来追平这个差距，到那时乌龟会再向前移动0.1米。继续这个推理过程，我们将会看到阿喀琉斯连续追赶乌龟所花的时间加起来是一个无穷级数：

1+0.1+0.01+0.001+…=1.111…秒

把这个时间量换算成一个等值分数——10/9秒，它就是阿喀琉斯赶超乌龟需要花的时间。虽然芝诺对于阿喀琉斯要完成无穷多项任务的判断是对的，但这两者之间并不存在什么矛盾之处。就像计算结果表明的那样，阿喀琉斯可以在有限的时间内完成所有任务。

这个推理思路可以作为微积分的论证过程。就像我们在前文中讨论为什么0.333…=1/3的做法一样，我们只是对一个无穷级数求和并计算出一个极限。但凡涉及无穷小数，我们就是在做微积分运算（尽管大多数人都会贬低它是中学算术）。

顺便说一下，微积分并不是解决这个问题的唯一方法，我们还可以运用代数方法。为了解题，我们需要先确定在比赛开始后的任意时刻t秒，每个参赛者在跑道上的位置。由于阿喀琉斯的速度是每秒10米，而且距离等于速度乘以时间，所以他跑过的距离是10t。对乌龟来说，它在起跑时领先阿喀琉斯10米，而且它的速度是每秒1米，所以它与阿喀琉斯的起跑点之间的距离是10+t。要用代数方法求解阿喀琉斯和乌龟同时到达同一位置所需的时间，就必须让这两个表达式相等，由此得到的方程是：

10t=10+t

为了求解这个方程，我们先在等式两边同时减去t，得到9t=10。然后，等式两边同时除以9，得到t=10/9秒，这与我们用无穷小数换算得出的结果相同。

所以从微积分的角度看，阿喀琉斯与乌龟问题中确实不存在悖论。如果空间和时间是连续的，那么一切都将迎刃而解。