2.11 格涅坚科的约会问题
甲乙两人相约在早上7：00～8：00 之间见面，先到者要等待10分钟，如果10分钟内对方不来，则约会自动取消。已知甲乙两人一定都会在7：00～8：00之间的某一个时刻到达约会地点，请问两人碰面的概率是多少。
难度：★★★★
本题是一道经典的概率问题，原题出自苏联著名数学家格涅坚科所著的《概率论教程》。这个题目看似简单，但是如果思路不正确就很难得到正确的答案。下面我们来看一下本题一个非常巧妙的解法。
首先如果只考虑一个人在早上7：00～8：00之间到达约会地点的情形，那么他到达约会地点的时间应当随机分布在一段长度为60个单位的一维数轴上，如图2-13所示。
•图2-13 一个人到达约会地点的时间分布
我们用数轴的原点0表示7：00这个时刻，数轴上的每一个单位表示1分钟，那么数轴上的60对应的时间就是8：00这个时刻。再用落在这个长度为60的线段上的点对应的时间表示这个人到达约会地点的时间，很显然这个点会随机分布在这个长度为60个单位的线段上。
如果考虑两个人的情况，再用上面这个一维数轴来描述两个人到达约会地点的时间就显得吃力了。我们不妨将这个问题扩展到二维空间，再加上一个数轴，横轴x表示甲到达约会地点的时间；纵轴 y表示乙到达约会地点的时间。如图2-14所示。
因为图2-14中限定了甲、乙两人约会的时间范围为7：00～8：00，所以图中这个60×60的正方形区域内的每一个点都对应一个甲、乙两人分别到达约会地点的时间。
•图2-14 两个人到达约会地点的时间分布
例如，图2-14中的点A（x，y）=（10，50）表示“甲到达约会地点的时间为7：10，乙到达约会地点的时间为7：50。显然如果甲、乙两人在这个点上到达约会地点，他俩是无法碰面的，因为这两个时间点的间隔超过了10分钟。
另外，超出这个正方形包围的区域的点则不在本题讨论的范围内，例如图2-14中点B（x，y）=（65，50）表示“甲到达约会地点的时间是8：05，乙到达约会地点的时间是7：50”，这个点显然没有意义，因为题目约定甲、乙两人都会在7：00～8：00之间到达。
另外需注意，正方形中的某个点（ x，y）仅表示甲、乙两人分别到达约会地点的时间，一个点对应一对时间，仅此而已，它并不能说明两人是否真的碰面，因为有些点对应的时间是可以碰面的，而有些点对应的时间则无法碰面（例如图2-14中的点A）。本题正是要研究这个问题。
那么如何来描述“先到者要等待后到者10分钟，如果10分钟内对方不来，则约会自动取消”呢？我们可以换一个思路来理解这句话，其实这句话要表达的意思就是“如果两个人到达的时间间隔在10分钟以内则两人即可会面，否则两人无法会面”。我们仍用上面这个坐标系来描述这个问题。上述坐标系用x表示甲到达约会地点的时间，用y表示乙到达约会地点的时间，所以很显然，如果点（ x，y）落入
≤10的范围内，则两人即可会面，否则两人无法会面。对应在坐标系中就是y=x-10和y=x+10这两条直线之间锁定的区域表示甲、乙两人到达约会地点的时间间隔小于10分钟。
如图2-15所示，阴影区域表示
≤10，同时x≤60并且y≤60，它的含义就是“甲、乙两人在7：00～8：00之间到达约会地点，并且两人到达的时间间隔不超过10分钟”。也就是说，甲、乙两人到达约会地点的时间为（ x，y），如果点（ x，y）落入图中的阴影区域中，则两人将会会面，否则两人将无法会面。
•图2-15 甲乙两人到达约会地点时间间隔小于10分钟
那么现在的问题就变为点（ x，y）落入这个阴影区域的概率是多少呢？这其实是一个几何概率问题。已知点（ x，y）是随机分布在图中正方形区域的，所以它落入阴影区域的概率就是阴影区域部分的面积与整个正方形的面积之比。这里有一个大前提就是点（ x，y）落入正方形区域中的概率是100%，这是题目的已知条件。
如图2-15所示， S正方形OABC=60×60=3600， S六边形OEFBGH=S正方形OABC-2S三角形AEF=1100，因此甲乙两人碰面的概率为1100/3600=11/36。
知识延拓——几何概率与蒲丰投针问题
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或者体积等因素成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。在几何概率模型中，试验中所有可能出现的基本事件有无穷多个，并且每个基本事件出现的可能性相等。
根据上面几何概率模型的定义，可以得到几何概率模型中概率的计算公式，也就是事件A发生的概率为
我们通过一个简单的射击问题看一下几何概率模型在现实生活中的应用。在军队的射击比赛中，参赛者需要对一系列同心圆组成的靶子进行射击，只有射中靶心才能计分。假设靶子的半径为10厘米，靶心的半径为1厘米，如果参赛者射中靶子上任一位置都是等概率的，那么不脱靶的情况下，射中靶心的概率是多少？
根据几何概率模型的概率公式可以知道，要想计算射中靶心的概率，首先需要计算靶子的面积和靶心的面积，然后通过两者面积的比值得到射中靶心的概率。
第一次用几何形式表达概率问题的例子是著名的蒲丰投针实验。法国科学家蒲丰在18世纪提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法。
在实验过程中，蒲丰首先在一张白纸上画出许多间距为a的平行线，然后用一根长度为l（ l＜a）的针随即向画有平行线的纸上投掷n次，将针与平行线相交的次数记为m，并计算出针与平行线相交的概率。
蒲丰证明了针与平行线相交的概率与圆周率存在一定的数学关系，并推算出这个概率公式为
这个公式就是基于几何概率模型推演出来的，由于推导过程较复杂，且内容涉及微积分的相关知识，所以这里就不做详细说明了，有兴趣进一步了解蒲丰投针实验及其概率公式的读者可以参考相关的专业书籍。
回到上一题，格涅坚科的约会问题就是利用几何概率模型求解出来的。这里用边长为60的正方形区域中的点表示甲、乙两人随机到达约会地点的时间对，且这个正方形区域中包含了全部的时间对，而阴影部分区域中的点则表示甲、乙两人可以碰面的时间对，所以两者的比值即为甲、乙两人碰面的概率。