第二章 人人都来掷骰子——有趣的概率问题

2.1 达朗贝尔错在哪里

这是一道有趣的题目，大意是：18世纪法国著名科学家达朗贝尔有一个邻居，邻居家有一个非常可爱的小女孩，达朗贝尔非常喜欢这个小女孩，所以经常跟她聊天。有一天小女孩出了一道她自认为很难的数学题来考这位大科学家。

“抛掷两枚5分的硬币在地上，两个都出现反面的可能性占多少？”

达朗贝尔不假思索地给出了答案：“抛掷两枚5分的硬币，那么出现的情况只有3种可能——可能是两个反面，可能是一正一反，也可能是两个正面，所以两个都是反面的可能性占1/3”。

小女孩在一旁不禁大笑起来，并说道：“大科学家也会犯这么低级的错误啊”。达朗贝尔猛然意识到了自己的错误，脸一下子通红，并感到十分羞愧。你知道达朗贝尔错在哪里吗？

难度：★

解决本题的关键就是要知道硬币被抛出落地后会有多少种可能的状态出现，我们将它记作N，那么出现“两个都是反面”的可能性就是1/N了。

达朗贝尔给出的答案中N等于3，他认为两枚硬币落地后无外乎就是三种状态，即“两个都是反面”“一正一反”和“两个都是正面”，但是这个结论是错误的。从宏观上看达朗贝尔说的似乎没错，但是如果我们把两枚硬币单独来看，结论就不一样了。

假设第一枚5分硬币的正面为A，背面为A′；第二枚5分硬币的正面为B，背面为B′。那么两枚硬币落地后可能出现的状态如图2-1所示。

所以全部的可能性为4种，而两个都出现反面的可能只有一种，即（A′B′），所以概率应当是1/4而非达朗贝尔所说的1/3。

•图2-1 两枚硬币落地后可能出现的状态

我们沿着这个思路继续思考下去，抛出“一正一反”的硬币的概率是多少呢？因为硬币可能出现的状态有4种，而“一正一反”可能有两种组合，所以这个概率为1/2。

导致达朗贝尔犯错的原因就是他错误地计算了两枚硬币任意正反面组合可能出现的状态数。构成“一正一反”这个状态本身有两种组合，即（A，B′）和（A′，B），这是截然不同的两个状态，而达朗贝尔却直觉地当成了一种状态。如果把题目稍加修改：“抛掷两枚硬币，一个5分，一个1分……”，那么达朗贝尔可能就不会犯这么低级的错误了。