3.2　数字

数字，是任何高级语言都不可缺少的东西，而且任何高级语言都支持数字的计算。Python中的数字也是最基本的对象之一，所以它是本教程中研究的第一个对象。

3.2.1　整数

数学中的整数我们都熟悉了，那么，在Python中如何表示整数（integer）呢？

进入到Python 交互模式中，输入以下内容。

在数学中，3是属于“整数”类型中的一个数字。那么，在Python中，3是什么类型中的数字呢？可以用type（3）这种方式来查看（见图3-2-1）。<class 'int'>是type（3）的返回值，表明数字3的类型是int，即integer（整数）。也就是说，在Python中有一种对象类型称为整数（或者“整数型”），用符号表示就是int。数学中学过的整数3就是这种类型中的一个对象。

使用不完全归纳方法，得到这样的结论：数学中的所有整数值在Python中都是整数类型（int）。

注意，读者在阅读其他文献的时候，或许会遇到“长整数型”的说法，即较大的整数。在现在Python版本中已经取消了这种类型，统一命名为“整数型”。

刚才使用的type函数在Python中被称为“内置函数”，本章讨论的是“内置对象”。所谓“内置”，就是当Python环境配置好后，相应的东西本地计算机已经有了。所有“内置”的在Python中都可以直接使用，不需要开发者来定义。比如“内置函数”，开发者只需了解函数的使用方法即可，不需要定义这类函数。

那么，如何了解“内置函数”的使用方法呢？

3.2.2　查看文档

“内置函数”（built-in functions）的所有使用方法都在Python帮助文档中——帮助文档中不仅包含“内置函数”，还包含其他帮助内容。

阅读Python帮助文档的方法有两种。一种是访问官方网站，通过网站查看官方文档（见图3-2-2），进入到https://docs.python.org/3/library/functions.html页面，可以看到Python所有内置函数以及该函数的使用文档（见图3-2-3）。

除了看在线文档，还可以看本地的帮助文档。实现这个操作要用另一个内置函数help。

在Python交互模式下这样输入，然后按Enter键，显示图3-2-4所示的内容（屏幕上显示的部分内容）。

显然，这是一种简单的方法，特别推荐使用。

本节只研究type（object） -> the object's type，其他使用方法暂存。

❖　type：函数名，后面紧跟“（ ）”。

❖　object：表示参数是一个对象。

❖　-> the object's type：表示这个函数的返回值是对象的类型。

当阅读完文档内容，按键盘上的q键，就可以退回到交互模式中。

help函数是研习Python经常用到的一种方式，用来查看联机文档非常方便。请读者习惯使用，并能够耐心阅读文档。

3.2.3　浮点数

对于数字，除了“整数”，还有“小数”，在Python中怎么表示呢？

进入到Python 的交互模式中，按照下面的方式操作。

在Python 中写“小数”与在数学中的表现形式一样，如果查看它的类型，返回值不是“decimal”（小数），而是“float”（翻译为“浮点数”）。其实不仅是Python，很多高级语言都是如此。但是不能把小数都称为“浮点数”，因为还有“定点数”。显然，“浮（动）”和“（固）定”是相反的。关于“定点数”和“浮点数”的详细内容，建议读者自行查阅有关资料进行学习，此处不详述。

至此，我们已经学习了两种内置对象类型：整数和浮点数。注意，在用type函数查看数字所属类型的时候，返回值的完整形式是“<class'int'>”或“<class'float'>”，其中class也有其他含义，第6章将对此阐述。读者姑且知道“int和float既是对象又是对象类型”。

观察上面的操作，能得到什么结论？

❖　观察1：int函数实现了把浮点数转化为整数的作用，并且是截取整数，而不是四舍五入。

❖　观察2：float函数实现了把整数转化为浮点数的作用。

浮点数类型的对象3.0和整数类型的对象3是同一个数吗？上面这种提问，在数学中或许容易回答，但是在Python中就没那么简单了。两个分属于不同类型的对象能一样吗？比如，属于“动物”类型的“张三”（此姓名纯属虚构，如有雷同实属巧合）和属于“植物”类型的“香樟树”肯定不一样。以此类推，“3”和“3.0”应该不是同一个数了。

Python中，两个对象是否为“同一个”有严格的判断标准，就是看它们的内存地址是否相同——每个对象，在计算机内存中都会有相应的地址编号。查看对象内存地址的方式是使用内置函数id。请读者在交互模式中使用help（id）查看此函数帮助文档。

id函数的返回值是参数对象的内存地址。如上面操作所示，两个对象的内存地址不同，则说明它们是不同的对象。

综上所述：int和float除了表示类型和类别，还能够实现对象的类型转化。

当然，对象的类型转化是有条件的，不是任何类型的对象都能够进行转化。

3.2.4　变量

数学中已经熟悉了“变量”这个名词，在Python中同样需要“变量”。Python中的变量（variable）不是孤立存在的，而是依附在对象上的。例如：

在“x=5”中，x是变量，5是整数类型的对象，通过“=”把x和5建立了一种关系。

这里依然是变量x，它又与浮点数类型的对象“6.3”建立了关系。

以上操作过程中，并没有规定变量x必须跟什么类型的对象建立关系，也没有规定变量x是什么类型，而是想要让变量与某个对象建立关系，就使用“=”实现关系的建立。这样的关系被称为“引用”，即可以表述为变量x与对象5（或者对象6.3）建立了“引用关系”。

发挥个人的想象力，形象地理解这种引用关系。把“对象”想象成某个实在的物体，而变量就是一枚标签，这枚标签可以贴到这个对象（物体）上（如x=5），也可以随时取下来贴到另一个对象（物体）上（如同换成了x=6.3）。

这样来看，标签就不需要有什么类型之分了，只要有不同的名字即可。如同上面所完成的操作那样，没有给变量x规定为某种对象类型。这就应了Python中一个重要的观点：对象有类型，变量无类型。

变量没有类型，它也不能被称为对象，所以无法独立存在。

变量必须引用一个对象，才有存在的意义。不然它不被Python认可，就会显示一种名为NameError的错误类型。

当变量引用了对象之后，变量就代表了那个对象。

变量x虽然是对象“6.3”的代表，但是这个代表也有不牢靠的时候。当它代表了其他对象（与其他对象建立了引用关系）时，这里的“6.3”就成为“没有代表”的对象了，会被Python认为是垃圾，并自动回收。

在数学中，通常习惯用x、y之类的单个字符表示变量。但是在高级语言编程中，这样的变量不受欢迎。Python中对变量（严格说是普通变量）命名的基本规则如下：

❖　变量名称由小写字母、数字和下划线组成，且不以数字开头。

❖　不使用保留字（关键字）。

❖　单词之间用单个下划线连接。

❖　使用有意义的单词。

命名规则中提到了“保留字（关键字）”，怎么知道Python有哪些保留字呢？

在交互模式中执行下面的操作：

可以先不用理解操作的意义，重点看得到的返回值，里面所有的单词都是Python的保留字，请在命名变量时，不要使用这些保留字。

【例题3-2-1】　通过操作，确认哪些变量命名合法。

代码示例：

不合法的变量命名会被显示SyntaxError错误。

3.2.5　简单的计算

有了数字，就可以利用这些数字做简单的运算了，如数学中常见的加、减、乘、除四则运算。

注意观察这种写法，在“a=10”与“b=2.5”之间用英文状态下的“；”分割，其效果等价于下面的写法。

下面让变量a和b代表它们各自引用的对象参与运算。

注意，所有的运算符号都是英文状态下输入的，特别是乘号不要写成“×”。

Python中的除法比上面三种运算稍复杂，表示相除的符号是英文状态的“/”。进入Python交互模式后，练习下面的运算：

除了可以使用“/”符号进行除法运算，还可以使用“//”符号得到两个数相除的商。

“商”肯定是一个整数，并且这个整数不是“/”操作之后得到的结果进行四舍五入（2.5四舍五入后结果是3），通俗地说是“取整”。两个数字相除，除了“商”，还有“余数”，在Python中也提供了计算余数的符号。

除了运算符号，内置函数divmod能够同时获得商和余数。

在Python中，数字之间的加、减、乘、除运算与数学中的四则运算的规则是一样的。

除了四则运算，Python也提供了其他简单运算的方式。比如：

虽然Python（也可以说是计算机）擅长计算，但是有时候会遇到看似难以理解的现象。

这几个简单的运算为什么不能得到精确的结果呢？原因在于十进制数和二进制数的转换。计算机用二进制数进行计算，但在上面的例子中输入的是十进制数，所以计算机需要把十进制的数转化为二进制数，再进行计算。但是，在将类似0.1这样的浮点数转化为二进制数时，有时候就出现问题了。

0.1转化为二进制是：0.0001100110011001100110011001100110011001100110011…

0.1转化为二进制数后，不会精确等于十进制数的0.1。同时，计算机存储的位数是有限制的，所以出现了上述现象。

这种问题不仅在Python中会遇到，在所有支持浮点数运算的编程语言中都会遇到，这不是Python的Bug。

明白了这种问题产生的原因后，该怎么解决呢？就Python的浮点数运算而言，大多数计算机每次计算误差不超过1/253。对于大多数任务来说，这已经足够了，但是要谨记，这不是十进制算法，每个浮点数计算可能带来一个新的舍入错误。

一般情况下，只要简单地将最终显示的结果“四舍五入”到所期望的十进制位数，就会得到满意的最终结果。

实现“四舍五入”可以使用内置函数round，如图3-2-5所示。在Python交互模式下，可以通过help（round）来获取完整的函数帮助文档内容。

但是，round（）函数也不能幸免于十进制和二进制转化的问题。

这类问题的彻底解决还有赖于其他工具。请见3.2.7节的相关内容。

在数学上，经常用科学计数法表示一些比较大的数字，如12000写作1.2×104。在Python中也可以使用科学计数法，只不过写法有区别。

1.2e4即表示1.2×104。

【例题3-2-2】　鸡兔同笼，头35个，脚94只，问鸡、兔各多少？

代码示例

3.2.6　math标准库

在数值运算中，除了前面的简单运算，还有如计算对数、正弦、余弦等初等函数的各种运算。但是在Python的内置函数中没有这些函数。

因为这些初等函数也是常用的，所以Python提供了标准库来满足需要。Python标准库是随Python附带安装的，包含很多常用的模块（关于“模块”，请见第7章），此处要使用的math就是标准库中的一个模块。

这里显示出了math模块提供的所有函数。可以使用help函数查看联机帮助文档。

例如，计算数学表达式sin+lg5e2，并且结果保留2位小数。

应用math模块，再结合前面已学和基本的初等数学知识，就能够完成大多数初等数学的运算了。尽管如此，运算中还存在一些问题尚待解决。比如：

还有，前面提到的十进制和二进制转化引起的计算结果不精确问题。所以，必须需要其他工具。

3.2.7　解决“异常”

前面使用标准库中的math模块解决了初等数学的函数问题，为了满足运算的其他要求，Python标准库中还有其他计算相关的模块。比如，decimal实现了十进制数精确运算。

类似“10/3”的计算可以使用标准库中的fractions模块，实现基于有理数的运算。

上述计算结果虽然不是浮点数和整数类型，但是依然能够参与数学运算。

注意，下面的方式是不支持的。

关于计算，Python中能够使用的工具也不仅限于本书介绍的这些，还有诸如NumPy、SciPy等科学计算的专门工具。

【例题3-2-3】　假设两个人，一个人的质量是70kg，另一个人的质量是50kg，当两人相距0.5米的时候，它们之间的引力大小是多少？（G=6.67×10-11m3kg-1s-2）

代码示例

计算表明，这两个人之间的引力大小是9.3×10-7N，仅相当于大约0.095毫克的物体的重力。

本来，数学中的数字没有最大值，但是因为计算机本身的结构问题，在编程语言中的数字不是无限大的。

3.2.8　溢出

正如读者已知，计算机在计算的时候要把十进制的数值转化为二进制的。比如：

在有的语言中，整数有位数的限制，如C语言中26位的短整型、32位的长整型等。在这种情况下，如果计算结果超出了给定位数表示的数值范围，就出现了“整数溢出”的现象。而Python中没有位数的限制，或者说Python中的整数是任意精度，所以可以表示任意大的整数了（仅受制于内存）。

请读者自己调试，显示变量a所引用的数字，它是一个3011位的整数。

但是，如果遇到了浮点数参与运算，则要小心“浮点数溢出”了。

【例题3-2-4】　“夜黑佯谬”，又称为“奥尔伯斯佯谬”，是由德国天文学家奥尔伯斯于1823年提出的，其主要结论是“晚上应该是光亮的而不是黑暗的”。因为计算表明，不论白天和晚上，地球上任何一点得到的来自宇宙中恒星的亮度都是无穷大。不过，这个结论并不符合观察的事实，我们看到的夜空是黑暗的，所以奥尔伯斯宣布这是一个需要解决的佯谬。（更详细的内容请阅读http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-921097.html）

这里涉及了“无穷大”，在数学中用符号∞表示，在Python中如何表示？

代码示例

3.2.9　运算优先级

从小学数学开始，就研究运算优先级的问题，如四则运算中的“先乘除，后加减”说明乘法、除法的优先级要高于加减法。同一级别的运算按照“从左到右”的顺序进行计算。

表3-2-1列出了Python 中的各种运算的优先级顺序。

表3-2-1按照优先级从低到高的顺序列出了Python中的常用运算符。虽然有很多还不知道是怎么回事，不过此处先列出来，等以后用到的时候可以回来查看。当然，不需要记忆，因为与数学中的规则完全一样。在复杂的表达式中，使用括号能够让表达式的可读性更强。

在程序中，可读性是非常重要的。

3.2.10　一个简单的程序

在2.2.5节中已经写过了一个简单的程序（文件hello.py）。至今已经学习过一些数值计算了，就可以把程序写得比hello.py复杂一些了。

【例题3-2-5】　已知两个力，F1=20N，F2=10N，这两个力的方向夹角是60°，计算两个力的合力大小和方向。

解题思路

用中学物理知识解决这个问题，即将两个力放到一个直角坐标系中，利用正交分解法进行计算。

代码示例

这段程序的开始部分用三对单引号（或者用三对双引号）包裹着一些文字，这些内容是对本程序文件的说明（简称“程序文档”），在执行这个程序文件的时候，计算机忽略它。程序文档之后的各行语句才是计算机要执行的内容。

因为每行语句的含义都是前述各节知识所讲授过的，所以不再赘述。建议读者在每行的空白处写下对该行代码的注释，说明其作用。这就是所谓的“阅读代码”。“阅读代码”是提升个人编程水平的一种重要方式。

文件保存之后，用下面的方式运行此程序。

如此这般，这个程序就运行起来了。诚然，这里还是非常简单的程序，毕竟只学习了一种类型的对象。要想编写复杂的程序，还要继续学习更多的知识。