1.1　实数及其运算

1.1.1　实数的概念和有理数的运算法则

1．实数的概念

（1）自然数：0,1,2,3,4,⋯称为自然数。

（2）有理数：整数和分数统称有理数，即正整数、负整数、分数和零统称有理数。

（3）无理数：无限不循环小数称为无理数，如、3、π等。

（4）实数：有理数和无理数的集合统称实数，即

（5）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

（6）相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。

（7）绝对值：正数与零的绝对值是其本身，负数的绝对值等于它的相反数，记作，即

（8）区间：介于a和b两数之间的所有实数的全体（a≤b）称为区间。若包括端点在内的，称为闭区间；不包括端点在内的，称为开区间；只包括一个端点在内的，称为半开半闭区间。区间的表示：闭区间为[a,b]，开区间为（a,b），半开半闭区间为[a,b）或（a,b]。

2．有理数的运算法则和定律

（1）加（减）法运算法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③相反数的和为零；④一个数与零相加，仍得这个数；⑤两数相减，减去一个数，等于加上它的相反数，即a-b=a+(-b)。

（2）乘法运算法则：①几个实数相乘，有一个因数是零，则积等于零；②如果没有零因数，则负因数的个数为偶数时积取正号，负因数的个数为奇数时积取负号，并把各因数的绝对值相乘。

（3）除法运算法则：①0不能做除数；②若除数不为0，则除以一个数等于乘上这个数的倒数，其符号与乘法相同，即b≠0，则a÷ b=a×1/b；③0除以任何一个不为0的数，都为0。

（4）乘方：相同因数相乘称为乘方，其积称为幂。乘方是乘法的特例。负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数。

（5）开方：求一个实数方根的运算称为开方，结果为方根。开方是乘方的逆运算。在实数中，负数没有偶次方根，所以开方运算的结果不一定仍是实数。

（6）交换律、结合律及分配律：

①交换律：a+b=b+a，a×b=b×a；

②结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)；

③分配律：(a+b)×c=a×c+b×c。

（7）乘方的运算定律：

aman=a(m + n)；

(am)n=am×n；

(a×b)m=am×bm；

am÷an=a(m-n)。

（8）有理数的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，则先算括号内的。同级运算中，从左到右按顺序算。

（9）近似数与有效数字：

①近似数。近似地表示某一个量的值的数称为近似数。一个近似数四舍五入到哪一位，这个近似数就精确到哪一位。

②有效数字。由四舍五入得到的近似数，精确到某一位，那么，从左面第一个不是零的数字起，到这一位数字止，所有的数都称为这个数的有效数字。

【例1】计算下列各式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（4）原式=×1=0.06

【例2】用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似值。

（1）0.32049（精确到千分位）；

（2）3.49499（精确到0.01）；

（3）4539（保留一位有效数字）；

（4）0.003195（保留两位有效数字）。

解：（1）0.32049≈0.320

（2）3.49499≈3.49

（3）4539≈5×

（4）0.003195≈3.2×

【1.1.1练习题】

1．计算：

（1）

（2）

（3）

2．下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位，各有几位有效数字？

（1）0.00430　（2）250万

（3）0.0043　（4）3.10×104