3.4 dq转子坐标系的PMSM动态数学模型

3.2节中分析的PMSM动态数学模型是建立在三相静止坐标系的，其中的电感矩阵非常复杂，这是因为三相定子绕组之间的耦合情况与转子的位置密切相关。采用坐标变换可以将该数学模型变换到任意一个两相坐标系中，这样，耦合情况有可能会得到简化。如果选取的两相坐标系是将d轴始终定位在转子磁极轴线上的转子坐标系的话，电感矩阵将会简化为常数，数学模型得到极大简化。

3.4.1 dq坐标系PMSM动态数学模型推导

根据3.3节的推导，可以利用下述的变换矩阵将ABC坐标系中三相静止定子绕组的电流变量变换到dq转子坐标系中两相旋转绕组中的电流变量：

采用上述坐标变换原理，可以把交流电动机不同的绕组变换为同一个坐标系（dq坐标系）中的绕组。电动机的电压、磁链等物理量的变换矩阵与上述的电流变换矩阵相同。这样就可以将上一节中复杂的数学模型进行化简，得到下面的永磁同步电动机的数学模型。

1.定子电压方程

u_d=R₁i_d+pψ_d-ωψ_q

u_q=R₁i_q+pψ_q+ωψd （3-55）

式中 ω——转子旋转电角速度；

p——微分算子。该式可以描述为式3-56的矢量形式。

u^2r₁=R₁·i^2r₁+pψ^2r₁+jωψ^2r₁ （3-56）

以电压为例，如下式所示，矢量由其实部与虚部共同构成。

u^2r₁=u_d+ju_q （3-57）

2.定子磁链方程

ψ_d=ψ_f+L_di_d

ψ_q=L_qiq （3-58）

由于PMSM转子永磁体产生的是正弦分布磁场，所以当该磁场变换到转子坐标系以后仅与定子绕组中的d绕组匝链（即上式中的ψ_f项——一相定子绕组中永磁磁链的幅值），而与q绕组没有匝链（BLDCM则不同）。式3-58也可以表述为式3-59的矩阵形式和式3-60的矢量形式。

ψ^2r₁=[L]^2r·i^2r₁+ψ^2r_f （3-59）

ψ^2r₁=（L_di_d+jL_qi_q）+（ψ_f+j0） （3-60）

3.电磁转矩方程

T_e=1.5n_p（ψ_di_q-ψ_qi_d） （3-61）

4.运动平衡方程

3.4.2 基于MATLAB的PMSM数学模型化简

1.三相ABC坐标系中对称电流变换到dq坐标系电流

在MATLAB命令窗口中键入如下命令：

其中st为转子位置电角度，bt为定子A相电流的电角度，对idq进行简化。

simple（idq）

最后在MATLAB中可以得到如下简化形式：

ans=

ima*cos（bt-st）

ima*sin（bt-st）

将此变换结果采用下式描述。

i_d=i_macos （β-θ）

i_q=i_masin（β-θ） （3-62）

从上式中可以看出，恒定的电流矢量变换到转子dq坐标系（速度恒定）后还是一个恒定的旋转电流矢量，其幅值没有变化，只不过在原来的相角中减去dq坐标系的相角。如果电流矢量旋转速度与dq坐标系旋转速度相等，那么式中的相角差（即bt-st）是一个恒定值。此时，电流矢量在dq坐标系中变成了一个恒定的静止的电流矢量，它的两个分量均保持不变。如果可以控制相角差，那么电流的两个分量也就可以控制了。不过这两个电流分量的物理含义需要进一步深入理解。

2.永磁体匝链到定子绕组的永磁磁链变换到dq坐标系

MATLAB中命令如下：

注意，永磁磁链的相位角和转子位置是同一个角，简化fdq后，结果如下所示：

simple（fdq）

ans=

ff

0

简化的最终结果如上式所示。可以看出匝链到定子绕组的正弦波永磁磁场在转子dq坐标系中的描述非常简单。它仅在d轴上有分量，且为一相定子绕组永磁磁链的幅值，q轴上分量为0。上述结果可以用下式描述

3.三相ABC坐标系PMSM数学模型中的电感矩阵变换到dq坐标系

在dq坐标系中，式3-2的矩阵描述为

（ψ₁（θ，i））^2r=（ψ₁₁（θ，i））^2r+（ψ₁₂（θ））^2r （3-64）

前面刚刚推导出下式：

下面着重对定子电流产生的定子绕组磁链部分进行变换，目标是下式中的电感矩阵（L）^2r。

（ψ₁₁（θ，i））^2r=（L）^2r·（i₁）^2r （3-66）

根据前述方法，对式3-26的两侧同时进行坐标变换，如下式所示。

显然，目标电感矩阵（L）^2r应该按下式进行计算：

（L）^2r=C_2s→2r·C_3s→2s·（L）^3s·C_2s→3s·C_2r→2s （3-68）

式3-68中的电感矩阵（L）^3s即是式3-26中的电感矩阵。在MATLAB中键入如下命令逐步进行分析：

然后继续进行简化，如下：

simple（l2r）

MATLAB中简化的最终结果如下：

参考式3-14、3-22，该结果描述为

L_d=L_s0+M_s0-3/2L_s2=L₁+3/2L_AAd

L_q=L_s0+M_s0+3/2L_s2=L₁+3/2LAAq （3-69）

所以前面分析的目标矩阵（L）^2r就可以表示为

4.三相ABC坐标系与dq坐标系中电磁转矩公式对比

由于转矩公式非常复杂，这里仅针对三相对称正弦定子电流下的电动机转矩公式对比，前面已经给出了化简后的转矩公式，见式3-42。dq坐标系中转矩分析如下：

对比一下，可以发现公式3-61与公式3-42完全吻合，转矩公式变换前后保持了一致。当然，式3-61形式上更为简单一点，使用频率较多。

必须强调的是：公式3-61与3-71中的永磁磁链指的是一相定子绕组中永磁磁链的幅值，公式中的dq轴电流在三相坐标系与两相坐标系的变换中采用了式3-48与3-49，即这里的电流指的是定子绕组相电流的幅值。当然，也可以采用其他的变换，但是如果上述变量和变换矩阵的使用不统一，那么建立的模型就是错误的，是自相矛盾的，也就无法用来对电动机进行正确的分析。

3.4.3 PMSM等效电路图

图3-6与图3-7分别给出了PMSM在d轴与q轴上的动态等效电路，电压方程与磁链方程都体现在电路中。

图3-6 PMSM的d轴动态等效电路

图3-6的d轴等效电路中定子侧有旋转电动势（为转子电角速度与q轴磁链乘积），另外转子侧有励磁电流，气隙磁场由永磁体与定子d轴电枢反应磁场共同构成。

图3-7的q轴等效电路中定子侧有旋转电动势（为转子电角速度与d轴磁链乘积），q轴气隙磁场为q轴定子电枢反应磁场。

当电动机运行于稳态时，dq轴的电流、磁链与电压均是恒定的直流量，公式3-55、3-56中的磁链微分项为0。所以稳态下，图3-6与图3-7中虚线两端都处于等电位上。

图3-7 PMSM的q轴动态等效电路