3.3 坐标变换

在对交流电动机数学模型进行化简的过程中，需要引入不同的坐标系，并将某些物理量在不同坐标系之间进行变换，这就是坐标变换。常用的坐标系如图3-5所示。图3-5a是一个由ABC三个坐标轴构成的三相静止坐标系，它就是图3-1中的三相ABC定子坐标系（3s坐标系），每个坐标轴上有一个等效绕组。图3-5b是一个静止的两相平面直角坐标系（2s坐标系），其中α轴与图3-5a中的A轴线重合，β轴超前α轴90°，同样两个坐标轴（α与β）上分别各有一个绕组。图3-5c给出的是一个以速度ω旋转的平面直角坐标系（2r坐标系），两个坐标轴（d与q，其中q轴超前d轴90°）上也分别各有一个绕组。

可以设想：如果电动机的定子三相绕组可以采用图3-5c中的绕组等效，并且dq坐标系与转子坐标系（图3-1a中的dq坐标系）重合的话，那么dq轴上新的定子绕组与转子就相对静止，它们之间的互感也就不会与转子位置θ有关系了，电感矩阵将会得到极大地简化。下面分析三种坐标系中的绕组如何等效，同时分析不同坐标系绕组中的物理量（电压、电流等）之间如何进行等效变换。

图3-5 不同坐标系及绕组的示意图

a）3s坐标系 b）2s坐标系 c）2r坐标系

电动机内的气隙磁场是进行电磁能量传递的媒介，定、转子间能量的传递正是通过气隙磁场进行的。不同类型的绕组进行变换时，需要保证它们产生的总磁动势不变。只有遵守这一原则，才能保证电动机能量转换关系不变。

图3-5a中三相对称定子绕组的每相匝数均为N₃，那么三相绕组产生的磁动势空间矢量在静止坐标系中采用复数可以表示为

上式中f^2s_3s的下角标3s表示该磁动势由3s坐标系绕组产生，上角标2s表示描述该磁动势的坐标系，这里即是两相静止αβ坐标系。本书变量中上角标的含义与此相同。

图3-5b中两相静止绕组的每相绕组匝数为N₂，两相绕组产生的磁动势空间矢量为

图3-5c中两相旋转绕组的每相绕组匝数为N₂，两相绕组产生的磁动势空间矢量为

令ABC绕组、αβ绕组产生的磁动势相等，即

可以推导出下式：

上式中，通常取N₃/N₂=2/3，这样推导的三相电流与两相电流的幅值是相等的。采用其他的变换系数也是可行的，不过各物理量之间进行坐标变换时较容易弄错，在第4章的末尾将会对此通过MATLAB仿真进一步对比说明。此时根据式3-47推出3s坐标系中ABC绕组的电流与2s坐标系中αβ绕组的电流之间的变换矩阵分别为式3-48和式3-49。

可以进行验算，C_3s→2s·C_2s→3s是一个二维单位矩阵；C_2s→3s·C_3s→2s的结果虽然不是三维单位矩阵，但是对于三相三线系统中的一组变量（电压、电流、磁链等），若满足三相变量之和等于0，其坐标变换结果与三维单位矩阵是等效的。物理量在经过两次变换后均能够保持不变——这样的变换才是正确的。

根据αβ绕组与dq绕组产生的磁动势相等，有

f^2s_2s=f^2s_2r （3-50）

可以推导出下式

根据上式推导出的2s坐标系中αβ绕组的电流与2r坐标系中dq绕组的电流之间的变换矩阵为

上述的变换关系表明，如果不同坐标系中绕组的电流满足上述变换公式，那么它们产生的磁动势是等效的，遵循了该原则的绕组变换才是有意义的。