第一部分 逻辑的元素，演绎方法

（I）论变项的用法

每一种科学理论都是许多语句组成的系统。这些语句都是被断定为真的，可以叫做定律或断定了的命题，或者，就简单地叫做命题。在数学中，这些语句都按照一些原则（在第VI章中将详细讨论这些原则）一个接着一个地排成确定的序列。在数学中，这些语句的正确性都要建立起来。建立语句的正确性，就叫做证明。被证明过的语句，就是我们所谓定理。

在数学的定理与证明中出现的语词和符号，可以分为常项与变项。

例如在算术中，我们常碰到这样的语词，如“数”，“零”（“0”），“一”（“1”），“加”（“+”），…。 ^[1] 这些语词都是常项。它们都有确定的意义，而且在运用它们的过程中，它们的意义一直不变。

在算术中，我们习惯于将单个的英文的小写字母“a”，“b”，“c”，…，“x”，“y”，“z”用作变项。同常项相反，变项本身都是没有意义的。对于下面的问题：

例如：

我们是可以给以肯定的或否定的回答的。我们所给的答案可以对，也可以错。但是，无论如何，这些问题是有意义的。但是，相反的，下面关于x的问题：

便是一无意义的问题，我们也不能给一有意义的回答。

在有些初等数学的教科书中，特别是较老的初等数学的教科书中，我们有时碰到一些表述，好像我们可以给这些变项以独立的意义似的。因此，就有人说：“x”，“y”，…这些符号，也指示某些数或量：“x”，“y”，…虽然不是指示“常数”（“constant numbers”）（常数是由常项如“0”，“1”所指示的），但是它们却指示那些所谓“变数”（“variable numbers”）或“变量”（“variable quantities”）。这种说法是出于一种极大的误解。“变数”x不可能有任何确定的性质。例如，它不是正数，也不是负数，也不等于零。或者说，x的性质是随着情形不同而变化的；有时它可以是正数，但有时又可以是负数，有时又可以等于零。这样一种东西，在我们的现实世界中根本是找不着的。这样的东西如果存在于现实世界，那将会是违背我们思想的根本规律的。因此，将符号区分为常项与变项，并不表示在数方面也可以区分为常数与变数。

由于变项本身是没有意义的，所以，像

这样的一句话，也就不是语句，虽然它们具有语句的文法形式。它们并没有表示一个确定的断定。因之，我们既不能肯定它们，也不能否定它们。我们用一个表示一个确定的数的常项来代换

中的“x”，只有这时，我们才能得到一个语句。例如我们用符号“1”去代换“x”，结果得到一真语句；若用“ ”去代换“x”，结果得到一假语句。这样的一个表达式，在这个表达式中包含有变项，同时如果用常项去代换这些变项，这个表达式便变成了一个语句——这样的一个表达式，我们将它叫做一个语句函项。这里顺便提到一下，数学家是不很喜欢用“语句函项”这个名词的，因为他们把“函项”这词用作另一个意义。他们较多地将“条件”（condition）这一语词，用成我们所说的“函项”的意义。完全由数学符号（而不由日常语言中的语词）所构成的语句函项与语句，例如，

数学家常常叫它做公式。在不会引起误解的地方，我们有时将“语句函项”简单地就叫做“语句”。

在一个语句函项中的变项的作用，可以很恰当地比做填空白题目中的那些括弧所形成的空白。正如只有当空白被我们填上以后，题目才得到一个确定的内容一样，一个语句函项只有当变项都被常项所代换以后，才变成一个语句。在一个语句函项中，用常项去代换变项——相同的变项用相同的常项去代换——其结果可以得出一个其语句；在这种情形下，我们就说，常项所表示的事物满足这个特定的语句函项。例如1，2与 这几个数满足下面这个语句函项：

但是，3，4与 这些数就不满足这个语句函项。

除了语句函项，还有别的包含变项的表达式值得我们注意，那就是指示函项或摹状函项。一个指示函项或摹状函项是这样的表达式，如果将它所包含的变项换为常项，那么，它就变成一个指示词或摹状词，例如表达式：

便是一个指示函项，因为，如果用一个任意的数值常项（即是说，表示一个数的常项，如“2”）去代换变项“x”，我们便得一指示词（或摹状词），此指示词表示一个数（如5）。

在算术中所见的指示函项中，包括了所有的所谓代数式，这些代数式是由变项、数值常项与四种基本算术运算的符号所构成的，例如：

但是，另一方面，代数方程式，即是用“=”将两个代数式联起来而成的公式，却是语句函项。在数学中，关于方程式有一套习用的术语。在方程式中出现的变项，叫做未知数。那些能满足这方程式的数，叫做这方程式的根。例如，在方程式：

中，变项“x”是未知数，而数2，3是这方程式的根。

关于用于算术中的变项“x”，“y”，…，我们说它们代表那些表示数的指示词，或者说，数是这些变项的值。这话的大意是说：如果用表示数的常项（而不是用表示数的运算的表达式，或表示数与数之间的关系的表达式，或在算术范围之外的几何图形、动、植物等表达式）去代换一个包含“x”，“y”…这些符号的语句函项中的这些符号，那么，这个语句函项就变成语句。同样的，用于几何中的变项，是代表那些表示点与几何图形的指示词。在算术中，我们所碰见的指示函项，也可以说是代表关于数的指示词。有时，我们直接地说：“x”，“y”…这些符号，或由这些符号所构成的指示函项，是表示数或是数的指示词。但是，这只是一种省略的说法。

除了用常项去代换变项以外，还有一个方法，可以使我们由一个语句函项得到一个语句。让我们来研究下列公式：

这是一个包含两个变项“x”，“y”的语句函项，任何两个任意数都可以满足这个方程式。如果我们用任何两个数值常项去代换“x”、“y”，我们总是得到一个真的公式。我们用下面这句简单的话表示上面所说的情形：

这已经不是一个语句函项，而是一个语句了，而且还是一个真语句了；它是算术中最基本的定律之一，即所谓加法的交换律。数学中的那些最重要的定理都同样是这样表示的，即一切所谓全称语句，或所谓具有普遍性质的语句，这些语句断定某个范畴中的任意事物（例如，在算术这个范畴中，任意的数）都具有一种如此如此的性质。我们必须注意的是：在表示全称语句时，“对于任何事物（或数）x，y…”这样的短语常被省略掉，而是需要我们在思想中加进去的。例如，算术的加法交换律，便只表示为下面的简单形式：

这种省略的形式，已成了大家的习惯用法，我们在以后的讨论中，一般地也要采取这种用法。

让我们研究下面这个语句函项：

并不是任何两个数都能满足这个公式。例如，假设我们用“3”代换“x”，用“4”代换“y”，我们便得到

这是一个假语句。因此，如果有人说：

那么，虽然他说了一个假语句，然而却无疑是一个有意义的语句。但是，另一方面，也有许多对的数满足上面这个语句函项。例如，如果以“4”与“2”分别掉换“x”与“y”，便得到

这个真的公式。

上述这种情形——某些两个数能满足x>y+1这个公式——，可以简单地表示如下：

或者用一更常采用的形式：

上面这些表达式都是真语句，它们就是存在语句或具有存在性质的语句的例子。这种语句表示具有某某种性质的事物（如数）的存在。

应用上述方法，我们可以从任何语句函项得出语句，但是，所得出的语句是真或是假，却要根据这语句函项的内容来决定。现在用下面的例子作进一步的说明：

这个公式是任何数都不能满足的。因而，不论我们在它前面加上“对于任一数x”，或加上“有一数x”，结果所得出的语句，总是假的。

和全称语句与存在语句相对，我们将不包含任何变项的语句，例如，

叫做单称语句。我们将语句分为三类——全称语句、存在语句与单称语句——这个分类并不已经穷尽一切可能，因为有很多语句不能分属于上面三类中的任何一类。例如，像这样的语句：

这样的语句，我们叫它做条件的存在语句（以区别于前面所讲的存在语句。前面所讲的存在语句，也可以叫做绝对的存在语句）。这样的语句断定有具有某性质的数的存在，但是却根据于一个条件，即：有别的数（x，y）的存在。

下列这些短语：

与

都叫做量词。前者叫做全称量词，后者叫做存在量词。量词也可以了解为运算子。但是，有些作为运算子的表达式，却不是量词。在前一节我们已经试图说明两种量词的意义。为了表明它们的重要意义，应当着重指出：只有明显地或隐含地应用运算子，才能使一个包含有变项的表达式变为一个语句，那就是说，变为一个断定的命题。在数学定理的表述中，如果没有相应的运算子，变项的应用是不可能的。

在日常语言中，虽然可以用变项，但是，我们却不习惯于用变项。由于同一的理由，在日常语言中也不用量词。然而在日常语言中，也有一些语词，这些语词在一般用法上与量词有很密切的联系，例如，“每一”、“所有”、“某一”、“某些”。如果我们注意到：

或

这两个日常语言中的语句分别地与下面这两个用量词的语句：

与

具有差不多相同的意义，那么，日常语言中的“每一”、“所有”…这些语词与量词之间的联系，就很容易看出了。

为了简便起见，量词常用一些符号来代替。

我们用

来代替

我们用

来代替

按照这规定，例如，前一节末我们所举的那个条件的存在语句，就可以用下面的形式来表示：

（用“ ”代替“对于任何数x，y”，用“ ”代替“有一数z”，并将在量词后的语句函项放在括弧内。）

如果我们在一个包含变项“x”，“y”，“z”…的语句函项前面，加上一个或几个运算子，而这一个或几个运算子，又包含了所有这些变项，那么，这个语句函项便自动地变成了一个语句。但是，如果在这一个或几个运算子中，没有包含所有的变项，那么，这个语句函项，还仍然是一个语句函项，而没有变成一个语句。例如，将下面

以及等等这样的短语中的任一个短语加在

的前面，那么，就得到一个语句了。但是，如果我们在x=y+z前面仅仅加上：

那么，我们还并不能得到一语句；而我们所得出的那个表达式，即：

无疑是一个语句函项，因为如果我们用两个常项去替换上面公式中的x、y，而z仍维持原样不动，或者，在上面公式前面加上>

那么，上面那个公式就变成了一个语句。

由此，我们知道，在一个语句函项中所可能出现的变项，可以分别成两种。第一种变项——可以叫做自由变项或真变项——它在这个语句函项中的出现是肯定这个表达式是一个语句函项而不是一个语句的决定性因素。为了要使这个语句函项变成语句，就必须将这些自由变项换为常项，或在这个语句函项前面，加上包含这些自由变项的运算子。其余的变项，叫做约束变项或假变项，约束变项在一个语句函项转变为一个语句中是不变的。例如，在上面（II）那个语句函项中，“x”“y”是自由变项；“z”出现两次，是一个约束变项。又例如，上面的（I）却是一个语句，它包含的变项，都是约束变项。

^*在某一语句函项中出现的变项，究竟是自由变项还是约束变项，这完全决定于这个语句函项的结构，即是说，完全决定于运算子的出现与出现的位置。这点由一个具体例子来看，最容易明白。让我们来研究下面这个语句函项：

在这个函项前面，有一个包含变项“x”的全称量词，因此，在这个函项中出现了三次的“x”，在它出现的任何位置上，都是一个约束变项。第一次出现的“x”是在全称量词内，而成为量词的组成部分。第二、第三次出现的“x”，都是被量项约束着。“z”的情形也相类似。因为，虽然（III）的第一个量词中没有包含“z”这个变项，然而，我们可以找出一个语句函项，这个语句函项是（III）的一个组成部分，同时，前面又有一个包含“z”的存在量词。即是；

（IV）是（III）的一个部分，而“z”在（III）出现时，都出现在（IV）这个部分中。因为这个道理，我们说，“z”在（III）中的任何地方，都是作为一个约束变项出现。“z”在（III）中第一次出现，是在存在量词中，是存在量词的一个部分；“z”第二次出现，是被存在量词约束着。

在（III）中还出现一个变项“y”，而（III）中却没有包含“y”的量词，因而，“y”在（III）中是作为一个自由变项出现两次。

量词能约束变项（这就是说，量词能将在它后面的语句函项中的自由变项变成约束变项），构成量词的一个最本质的性质。我们知道，有许多别的表达式也有与量词同样的性质。它们中的某一些，我们将在§20与§22中讲到；其它一些，例如积分符号，在高等数学中起着重要的作用。“运算子”是一个一般的名词，用来表示一切具有这类性质的表达式。^*

由§3里我们已知道，变项在表示数学定理方面是起着重要的作用。然而，并不因此就可得出：不用变项在原则上便不可能表示数学定理。但是，在实际的数学工作中，不用变项，就很难做到。因为，如果不用变项，就是比较简单的语句，都得用一个复杂而难懂的形式。我们用下面这个算术定理来作说明：

这个数学定理，如果不用变项，便只得这样说：

从思维经济的观点来看，在数学的证明方面，变项更是重要。读者如果尝试一下，将本书以后所讲到的任何证明中的变项去掉，他便会相信我的话了。还必须指出，在本书下文中所可能遇到的证明，比高等数学各个领域中的一般证明，要简单得多。要想作出高等数学中的证明而不借助于变项，将会遭遇非常大的困难。还应当指出：由于变项的引用，我们才发展了一种如方程式方法这样非常有效的解决数学问题的方法。可以毫不夸大地说，变项的发明，是数学史上的一个转捩点。由于用变项，人类获得了一个工具，这个工具，为数学科学的巨大发展与其逻辑基础的巩固铺平了道路。 ^[2]

1．在下列表达式中，哪些是语句函项？哪些是指示函项？

2．从几何学的范围内，举出几个语句函项与指示函项的例子。

3．算术中只包含一个变项（但这个变项在一特定语句函项中可以出现于几个不同的地方）的语句函项，可以分成三类：（i）任何数都满足它的函项，（ii）任何数都不满足它的函项，（iii）有些数满足它，但其他的数却不满足它的函项。指出下面的语句函项属于哪一类：

4．从算术范围内，举出关于全称定理、绝对的存在定理与条件的存在定理的例子。

5．在语句函项

前面，加上包含“x”与“y”的量词，便可以由此得出各种语句，如：

一共有六个可能情形，请一一表示出来，并指出它们中间哪些是真的。

6．像第5题一样，在语句函项

与

前面，加上各种量词，并指出哪些是真的（假定后一语句函项中的“x”与“y”代表人名）。

7．写出一个与下列语句有相同意义的日常语句，并且不包含量词或变项：

8．用量词与变项作出一个语句，这个语句与下一语句有相同的意义：

9．在下列各表达式中，分别哪些是自由变项，哪些是约束变项：

再用§4里的符号代换上面表达式中的量词。

^*10．如果将在9题（e）那个语句函项中两次出现的“z”换为“y”，我们便得到一个表达式，在这个表达式中的某个地位，“y”是作为自由变项出现，在另一个地位，“y”又作为约束变项出现。请指出“y”在哪个地位是自由变项，在哪个地位又是约束变项，理由为何？

（在一表达式中，同一个变项在有些地位上是约束变项，在另一些地位上又是自由变项，运算起来便感觉困难；有些逻辑家有见于此，便避免用这样的表达式，并且不将这种表达式看作语句函项。）

^*11．试作一个比较普遍的说明：在什么条件下，一个变项在一给出的语句函项中的某一地位作为自由变项或约束变项而出现。

12．指出哪些数满足下面的语句函项：

哪些数满足下面的语句函项：