初版序言

根据许多门外汉的意见，数学今天已经成为一门死科学：在达到不寻常的高度发展水平以后，它已经在一种严格的完全性中僵化了。这是对情况的一种完全错误的看法。在科学研究领域中现在很少有像数学那样经历着如此剧烈的发展阶段。而且，这种发展是极其多样化的：数学领域正在向一切可能的方向伸展，它在高、宽和深三方面都在成长着。它的高度在成长着，因为在数百年来（如果不是数千年以来的话）发展的旧的理论的土壤之上，新的问题不断地发生，而其所达到的结果越来越完全。它的宽度在成长着，因为它的方法渗透到其他各种科学部门中，而其研究的范围日益囊括着越来越广泛的现象界，并且越来越多的新的理论被包括在数学学科的庞大的范域之中。最后，它的深度在成长着，因为它的基础日益坚定地被建立起来了，它的方法日益完备，它的原则日益巩固。

本书的目的就是要向那些对于现代数学有兴趣、而不会实际参与它的工作的读者们，至少在数学发展的第三个方面、即其在深度方面的成长提供一个最一般的观念。我的目的是要使读者熟悉一种名为数理逻辑学科的最重要的概念，这门学科是为了把数学建立在更坚固、更深刻的基础上创造出来的；这一个学科，虽然它的存在只有短短的一个世纪，却已经达到了高度的完全性的水平，而且在我们的知识的总和中它今天所起的作用远远超越于其原定的范围。我的目的是要表明，逻辑的一些概念渗透到数学的整体中，它把所有的专门的数学概念了解为特殊情况，并把逻辑规律恒应用于——自觉的或不自觉的——数学推理之中。最后，我试图提出构造数学理论的一些最重要的原则——这些原则也构成另外一种学科、数学方法论的主题——并指明怎样在实际上着手应用这些原则。

在这一本相当小的书的范围中，不假定读者有任何专门的数学知识或抽象的推理的任何专门的训练，要彻底地实现这全部计划是不容易的。在这一本书中，必须从头到尾力图把最大的可理解性和必要的简明性以及经常注意避免错误或从科学观点看来的粗糙的不精确性结合起来。其所用的语言必须是尽可能少地脱离日常生活的语言。必须放弃使用专门的逻辑符号，虽然这种符号是使我们把简明性和精确性结合起来，并使我们尽可能地排除含混和误解的可能性、从而在一切精细的思考中具有很大用处的极其宝贵的工具。必须把系统地处理的观念从一开始就放弃掉。在出现的很多问题之中只有少数能够详细地讨论，其他一些问题仅仅肤浅地接触到，还有一些问题则完全忽略过去了，并且我意识到，所讨论的题目的选择不可避免地表现了或多或少的任意性。对于现代科学还没有采取任何确定的态度，而是提出了许多可能的、同样正确的解答的那些事例，不可能客观地把所有已知的见解都提出来。不得不作出支持某一确定见解的决定来。当作出这种决定的时候，我是十分小心的，不是首先使之符合于个人的兴趣，而是宁取一种尽可能简单的并且适合于普通表达方式的解法。

我并不幻想我已经成功地克服了这些以及其他一些困难。