三、铅直温差和浓度差引起的自然对流——瑞利数

当坩埚中存在的温度梯度矢量与重力一致时，例如于坩埚底部加热时，铅直温差将产生流体的密度差（下部密度较小、较轻），因而出现了浮力，而当浮力克服了黏滞力时，就将发生自然对流。

对一深为h的坩埚，其中装满熔体并由底部加热，熔体之底部和其自由表面间的铅直温差为ΔT，现在来估计作用于单位体积流体上的浮力和黏滞力的比值。为简单计，考虑坩埚中半径为a的球状流体体元，该体元内的温度梯度为。在包含该体元球心的水平面内，体元球心较周围环境的温度高ΔT′（℃）。该体元在浮力作用下，如果在上升距离为a的时间间隔内，其上升速率足够快，致使体元因损耗热量而造成的温度降低不超过原来的温差ΔT′。这样的条件下，作用于上升流体体元上的浮力不致耗竭，体元将继续上升。我们先来估计这一临界上升速率。体元较环境多余的热量，通过球面单位时间损耗于环境的热量为，体元内（多余的）热量耗竭所需的时间，故临界上升速率为v=a/t=κ/a。由式（3-22）可得作用于体元上的浮力为。根据斯托克斯定律（Stocks low），黏滞阻力为

6πμav=6πμa·κ/a=6πμκ

故当浮力克服阻力导致自然对流时必有

不等式左边为一无量纲数，代表浮力与黏滞力的比值，可作为铅直温差引起自然对流的判据，这就是熟知的瑞利数（Rayleigh number）。由于上述模型比较粗糙，无法精确地确定体元半径a，故无法精确地估计导致自然对流的瑞利数的临界值。通常取坩埚中液体的深度h为a，坩埚内铅直温差ΔT为ΔT′，于是瑞利数为

可看出，瑞利数除与流体的物性参量（ν，κ，βT）、坩埚的几何参量（h）以及重力加速度g有关，瑞利数还决定于铅直温差ΔT。当瑞利数超过某临界值时，就意味着浮力克服了黏滞力，于是对流运动就将开始。

对一水平线度甚大于铅直线度的坩埚，若其中流体的下界面为刚性界面（即埚底），上界面为流体的自由表面，则临界瑞利数为1100。这就是说当坩埚由底部加热，铅直温差ΔT逐渐增加，瑞利数亦随之增加，当瑞利数达到和超过1100时，坩埚中的流体将由静止状态转变为对流状态。若上述流体的上、下界面都是刚性界面，则临界瑞利数为1710。

当瑞利数超过临界值，所产生的对流运动具有非常特别的性质。由于所考虑的流体在水平方向是十分广延的，显然，在水平方向的运动应具有周期性。换句话说，介于两水平界面间的整个流体，可以设想被分成了同一形状的有规则的棱柱体，每一棱柱内的流体都以同一方式运动，如图3-8。这些棱柱体与水平平面相截，在该平面上构成了二维点阵。想从理论上来确定这种二维点阵的对称性是极端困难的；但实验观察表明，这些对流胞有构成二维密排点阵的，如图3-8（a），有构成二维正方点阵的，如图3-8（c）[6]。这些二维点阵中相应棱柱体中的液流图像如图3-8（b）、（d）所示。这些棱柱体经常被称为贝纳德胞（Benard cell）。通常还将上面讨论的问题称为贝纳德问题。

图3-8　铅直温度差引起自然对流所形成的贝纳德胞

如果坩埚中流体密度差是铅直的浓度差所引起的，也应引起类似的流动图像。我们类似于式（3-31），可定义相应于浓度差的瑞利数

于是相应于浓度差的瑞利数超过某临界值时，就相当于浮力克服了黏滞力，故将发生自然对流。

实际情况更为复杂，在二元或多元流体中，不仅上述两种效应同时存在，而且其间还有耦合效应。例如底部加热二组元流体（组元的定义见第六章的引言），热量的传输就会产生浓度梯度，此即索里特效应（Soret effect），而且这样产生的微小浓度梯度对流体的自然对流有着奇妙的影响。对这些问题已经进行了一系列的细致的研究[7]。

近年来的研究表明，在贝纳德问题中还必须考虑表面张力梯度。实际上在该系统中浮力和表面张力是强烈地耦合着的（参阅本书第四章第五节之四）。