二、数字模拟

在直拉法生长系统中，我们虽然不能求得其温场、浓度场普遍适用的解析解。但对一特定的生长系统，我们却能应用计算机进行数值计算，求得流体中不同点的速度和温度。这种对特定生长系统用数值计算的方法求得其中温场、浓度场及速度场的方法称数字模拟。下面介绍小林信之和有住彻弥对锗晶体的直拉法生长所作的数字模拟[2]。

对锗晶体直拉法生长进行数字模拟所用的模型如图3-2所示。晶体长为l，半径为r0，坩埚半径为rC，深为hC，坩埚温度为TC，晶体转速为ωS。

采用圆柱坐标（r，φ，z）。假定温场具有旋转对称性。所谓旋转对称性是指彻体力（body force）具有独立于φ的势，切向速率vφ、径向速率vr、轴向速率vZ都与φ无关。如果再附加一个条件，即vφ＝0，就称为轴对称性，故轴对称性是旋转对称性的特例。我们还假定温场为稳态温场，生长（提拉）速率不变，且为F。热量在晶体中传输是热传导，在流体中是传导和对流。热量从晶体表面和熔体表面的耗散是通过对流和辐射的形式。

在上述假设的条件下，晶体中温场满足的方程和式（1-35）相同。

对熔体，所满足的热传输方程如式（1-28）所示，不过我们在这里还考虑黏滞损耗所产生的热量，故在式（1-28）的右端还有一附加项，应为

其中Φ称为耗散函数[3]，由本章附录三可得柱坐标下的表达式为

由于我们所考虑的温场是稳态温场，故。同时假设温场和速度场具有旋转对称性，故。因此上式可简化为

其中κ为热扩散系数，ν为运动黏滞系数，Cp为熔体定压比热容。

其边值条件如下：

在轴上，因轴对称性有

在晶体侧面有

在晶体顶面有

在熔体自由表面有

在坩埚壁上有

T=T0

在固液界面上有

T=Tm

以及

其中温度T采用绝对温标，F为生长（提拉）速率，其他符号与第一章第四节中相同。

在流体中，同时考虑了由温度不均匀而引起的自然对流以及由晶体旋转引起的强迫对流，故使用了与（3-2）式相类似的流体动力学方程并给出了边值条件[2]。

在类似于式（3-2）的流体动力学方程中，由于考虑了自然对流，所以其中包含了未知函数T，同样在式（3-6）中包含未知函数v。故在确定温场和速度场时，要将上述方程联立求解。

小林信之和有住彻弥将锗晶体和熔体的物性参量及生长系统的工艺参量[2]代入后，进行了数值计算，所获结果表示于图3-3、图3-4中。

图3-3是根据数字模拟的结果画出的熔体中的流线或迹线（对稳态速度场，流线与迹线一致）。由图3-3（a）可以看出，当晶体不旋转时，坩埚中的液流是自然对流，这和通过实验模拟所观察到的自然对流的图像完全一致，参阅图3-1（a）。当晶体转速为40r/min时，坩埚中同时存在自然对流（图3-3（b）之下部）和强迫对流（图3-3（b）之上部）。这也和实验模拟所观察到的图像（图3-1（b））有相似之处，不过所得的信息更为丰富。

晶体旋转，固液界面邻近的熔体在离心力作用下被甩出去，下面的熔体沿轴上升填补其空隙，造成与自然对流相反的环流，如图3-3（b）所示。通常环流中的流线是一绕晶体转轴边旋转、边上升（或下降）的螺旋线（由于图3-3是二维的，这种三维的螺旋线未能确切地表示出来）。如图3-3（b）所示，在坩埚下部还存在自然对流的环流，不过在该条件下自然对流的环流比较微弱。值得注意的是，自然对流和强迫对流的环流间还存在一如图中圆弧状的虚线边界，此边界两侧的流体分别按二环流的迹线运动，在稳态速度场中，边界两侧的流体不产生宏观的交流，这就影响了坩埚中热量和溶质的传输。

图3-4是根据数值计算画出的晶体和熔体中的等温面。对比图中之（a）、（b），就可以看出流体之速度场对温场的影响。如上所述，由于晶体旋转，在熔体的上部产生了强迫对流的环流，此环流沿灼热的埚壁螺旋地下降，再于晶体下面螺旋地上升。这样必然将更多的热量传输到晶体下方。这一效应就等价于将等温面向上推挤，如图3-4所示。由于固液界面是温度为凝固点的等温面，故晶体旋转能使固液界面由凸变平，或由平变凹。其次，晶体旋转使晶体下面熔体中的等温面变密（见图3-4），故晶体旋转能提高固液界面邻近的熔体中的温度梯度。

应用数字模拟已经取得了不少结果，不仅能模拟稳态温场、速度场，而且还能模拟与时间有关的非稳速度场[4]，某些结果，我们将在下面介绍。

上述结果是对半径为1cm、长为5cm的锗晶体，从一半径为2．5cm、深为5cm的装满熔体的坩埚中生长时的模拟。现在，我们所关心的问题是，在上述具体条件下由数字模拟所获的结果，是否具有较普遍的意义？是否也适用于其他晶体的直拉法生长?如果也是适用的，则又需满足什么样的具体条件？

在实验模拟中怎样才能保证模拟实验结果确实代表某真实过程?在数字模拟中如何推广所获结果?这些问题我们通过下一节相似性原理的讨论都能获得确切的答案。