二、溶质非保守系统的分凝理论——区熔理论[2]

上述的应用于溶质非保守系统的四种方法，通常都可简化为如图2-14（a）所示的一维等效模型，这是区域熔化（zone melting）的标准模型。一般说来，不断熔入熔区中的溶质浓度并不一定是常数，可以按任意给定的规律变化，但我们在这里只讨论从溶质均匀分布的材料中生长的晶体中的溶质分布。我们假定熔区的长度l和截面A是不变的。平衡分凝系数k0亦为常数，且小于1；原始材料中溶质分布是均匀的，其浓度CL为常数。

图2-14　溶质非保守系统的模型和浓度分布

在熔区通过材料后，其溶质分布如图2-14（b）所示。曲线可分为三个不同的区域，即初始区域、均匀区域和最后区域。这些区域是这样产生的，当整个熔区在材料的始端形成时，熔区中溶质浓度是被熔化材料的原始浓度CL。当熔区开始前进时，它在z′=0处凝固的晶体中的溶质浓度为k0CL，同时它在z′＝l处，熔入一层浓度为CL的材料。这样一来，其结果是熔区内溶质浓度增加了，于是稍后将凝固出溶质浓度较高的晶体。当熔区继续前进时，熔区内溶质增加的速度逐渐降低，直到熔域中的浓度增加到CL/k0为止。此后进入（熔化材料）与离开熔区（凝为晶体）的浓度是相等的，并且凝固出的晶体中的浓度恒为CL直至熔区达到锭料尾部为止。此后加热器进一步移动，熔区长度就减少，引起溶质浓度的上升，这就和第四节讨论的情况一样。

图2-14（b）中的第一和第二个区域，可以用统一的数学方程来描述，第三个区域实际上就是溶质保守系统的分凝，因而可用方程（2-11）来描述。

下面我们来推导图2-14（b）中第一和第二区域内的溶质浓度分布。我们仍然假设溶质在熔区中是均匀分布的（即无溶质边界），材料中的初始浓度为CL且为常数，材料之截面为l。当熔区在z′处（见图2-14（a）），熔区中溶质浓度为CL（z′）；当熔区从z′处前移dz′时，凝固的晶体薄层中溶质浓度为CS（z′），且有

CL（z′）=CS（z′）/k0

故当熔区前移dz′时，由熔区中排出的溶质为CS（z′）dz′，与此同时，熔区前部有dz′的材料薄层熔入，熔区中溶质的增加为CLdz′，在熔区中净增之溶质总量为[CL-CS（z′）]dz′。

另一方面，设由于熔区前移dz′，熔区浓度之改变为dCL（z′）。显然，dCL（z′）=dCS（z′）/k0，故熔区中溶质净增之总量为

于是有

其解为

其中a为待定积分常数。由边值条件：当z′=0，CS（0）=k0CL，可得a=CL（k0-1）。于是有

图2-15画出了k0从0.01到5.0的CS（z′）对的曲线，其中距离以熔区长度为单位。这些曲线是从方程（2-28）计算出来的。把每一个长度为生长90%的溶质浓度分布都表示出来了。与溶质保守系的曲线（图2-5）比较，k0＜1的曲线是向下凹的。因此由溶质非保守系生长出的晶体中的溶质分布较由溶质保守系中的要均匀。实际上在溶质非保守系中熔区l愈狭，长出的晶体中的溶质分布愈均匀。反之，熔区愈宽愈不均匀，其极限情况是，熔区长度等于材料的长度，这种情况就成为溶质保守系统了。

图2-15　溶质非保守系中生长的晶体中的溶质浓度分布[2]

反过来，区域熔化可作为金属、半导体等材料提纯的有效手段。如对k0＜1的溶质，熔区多次通过锭料，在锭料的始端可得纯度很高的材料，正因为发明了区熔，半导体的性质才能加以利用，从而产生了半导体工业。