一、温场的数学描述

从原则上说，我们可以根据能量守恒的微分方程，结合单晶炉中具体的边值条件，求得温场的具体形式，即温度分布函数T（x，y，z）。

若已经求得温场T（x，y，z）的具体函数形式，则欲知炉膛中任一点的温度，只需将该点的坐标（x0，y0，z0）代入，就能精确地给出该点的温度T（x0，y0，z0）。同样T（x，y，z）=T（x0，y0，z0）是一个空间曲面方程，就是通过该点（x0，y0，z0）的等温面方程。由于固液界面是温度等于凝固点Tm的等温面，因而固液界面的曲面方程是

若Ti（i=1，2，…）为一温度序列，则

就是等温面族的空间曲面方程。

而温场中任一点（x，y，z）的温度梯度▽T（x，y，z），亦可方便地给出

式中i，j，k是直角坐标中三坐标轴的单位矢量。而温度沿某给定方向l（cosα，cosβ，cosγ）的变率，可用温度梯度矢量▽T与方向矢量l的数性积表示，即

这里的cosα，cosβ，cosγ是矢量l的方向余弦。至于传导产生的热流密度矢量，只须将式（1-19）代入式（1-1）就能得到。

由此可知，只要求得温场T（x，y，z）的具体的函数形式，就能方便地得知温场的全部性质，如等温面、固液界面、温度梯度以及传导所引起的热流密度等重要性质。