8 什么是“阳马术”？

在现实生活中，经常会遇到多面体体积的计算问题，中国古代的数学家很早就开始关注此类问题，其中最著名的成就是魏晋时期的数学家刘徽的“阳马术”。

在早期的数学著作《九章算术》中，就给出了许多种多面体体积的计算公式，其中包括“堑堵”“阳马”“鳖臑”三种由长方体切割而成的多面体。将一个长方体切割为两个全等的楔形即为堑堵，再将堑堵斜切为一个四面体和一个四棱锥，前者为阳马，后者为鳖臑。阳马的底面为矩形，有一条棱垂直于底面，而鳖臑的四面皆为直角三角形。

“堑堵”“阳马”“鳖臑”

刘徽认为，这三种多面体体积的计算十分重要，因为任何多面体都可以切割为有限个四面体，而每个四面体都可以切割为不超过6个鳖臑。很显然，堑堵的体积为长方体的二分之一。《九章算术》给出了阳马体积为长方体三分之一的结论，但并未给出证明。

为此，刘徽制作了一些长宽高皆为一尺的立方、堑堵、阳马和鳖臑模型，并分别涂成红黑两色，再拼成长宽高皆为二尺的红色大鳖臑和黑色大阳马，二者合并成一个红黑大堑堵。将这个大堑堵拆分重组可得到两个黑色立方和一个红色立方，以及两个形状和红黑比都与大堑堵完全相同的堑堵。如果按同样的方法再切割这两个堑堵，又可以得到更小的立方和更小的堑堵，这样不断进行下去，所得的立方的红黑比总是1：2，而剩余部分越来越小，直至穷尽。

通过这种方法，刘徽严密地证明了阳马的体积为鳖臑的二倍。这一论证过程叫作“阳马术”，它运用了极限的概念。这个结论如今被称为“刘徽原理”。