第二章 数学推理
第一节 基础数列
基础数列是数字推理的基础。大部分数字推理题都是基础数列的演化，因此掌握一些基础数列的性质对解决数字推理题很有必要。
1．常数数列
由一个固定的常数构成的数列称为常数数列。
例如：1,1,1,1,1,1, …
常数数列较少出现，多在分数数列中出现，且经常是通分后才会呈现。
2．等差数列
后项减去前项的值保持不变的数列称为等差数列。
例如：3,7,11,15,19, …;14,28,42,56, …; -6,16,38,60, …
3．等比数列
后项除以前项的值保持不变的数列称为等比数列。
例如：2,4,8,16, …;4,6,9,13.5, …; -2,6, -18,54, …
4．质数合数数列
由质数构成的数列称为质数数列。
例如：2,3,5,7,11,13,17,19, …
由合数构成的数列称为合数数列。
例如：4,6,8,9,10,12,14, …
2,3,5,7,11,13, …这个数列有两个相似数列：2,3,5,8,13, …是递推和数列；2,3,5,8,12, …是二级等差数列。
质数数列对应项的2倍也是一个有趣的基础数列：4,6,10,14,22,26, …
5．周期数列
自某一项开始重复出现前面相同（相似）的数列称为周期数列。
例如：2,3,5,2,3,5, …;24,26,24,26,24,26, …
例1 1, 6, 36, 216,（ ）。
A．1296
B．1297
C．1299
D．1230
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解析 公比为6的等比数列。答案选A。
例2 6, 14, 22,（ ）, 38, 46。
A．30
B．32
C．34
D．36
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解析 公差为8的等差数列，答案选A。
第二节 分数数列
题干特征：数列中大多数的数字为分数。
常见题型：分组-是指分子或分母单独成规律；
交叉-是指相邻项的分子或分母有一定的联系。
解题方法：
（1）广义通分-把分子或分母化为一致；
（2）约分-当分数的分子与分母含有相同因子时，将其化成最简式；
（3）反约分-同时扩大数列当中某些分数的分子与分母（分数大小不变），从而使得分数的分子数列和分母数列形成简单数列。
还有一类特殊的数列，数列中含有根式，这类数列无固定规律可循，出现极少。
例1（2020江苏B）1,
,（ ）。
A．
B．
C．
D．
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解析 本题考查非整数数列。考虑将原数列反约分转化为：
,（ ），分子是等差数列，公差为5；分母是等比数列，公比为4。则所求项为
。因此，选择A选项。
例2（2019江苏A）
,（ ）。
A．
B．
C．
D．
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解析 第一步，本题考查非整数数列中的分数数列。
第二步，反约分处理原数列，得原数列依次为
,（ ），交叉找规律发现，5+7=12,3+12=15,10+15=25,6+25=31，前一项的分子+分母=后一项的分母，则（ ）的分母应为20+31=51;7-5+1=3,12-3+1=10,15-10+1=6,25-6+1=20，前一项的分母-分子+1=后一项的分子，则（ ）的分子应为31-20+1=12，那么（ ）为
。因此，选择C选项。
例3（2017江苏A）
, 
, 
, 
, 
,（ ）。
A．
B．
C．
D．
解析 原数列中分数的分子分母均不是按大小排序，分子分母之间也没有明显的规律，因此可以考虑先对该数列进行反约分，修正后形成一组新数列：
,（ ）。观察发现，分子构成一组递推数列：1+2=3;2+3=5;3+5=8。分母也构成一组递推数列：3+4=7;4+7=11;7+11=18。括号内应填入的分数，分子是5+8=13，分母是11+18=29。故本题选择A。
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第三节 多重数列
题干特征：数列较长，出现两个括号，数字忽大忽小呈现波动变化。
两种题型：交叉数列和分组数列。
解题思路：交叉数列-数列的奇项与偶项分别呈现出规律的数列。
分组数列：①将数列中的数字两两分组后，在组内进行加减乘除四则运算，组与组之间存在一定的规律；②将数列中的数字三三分组后，组内三个数满足某种运算法则。
除了上述2种常见形式外，还有一种机械分组数列。这种数列一般具备以下2个特征：①每个数字位数相等且位数较多，或位数不等，但递增至较多位数；②数字大小变化比较紊乱，能够较明显地看出变化的无规律性。
例1（2019江苏A）2.03, 113.06 ,224.12, 335.24, 446.48,（ ）。
A．556.96
B．557.72
C．557.96
D．558.72
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解析 第一步，本题考查非整数数列中的小数数列。
第二步，小数数列优先考虑分组找规律，整数部分一起找规律，原数列整数部分为：002,113,224,335,446,（ ），为一个公差为111的等差数列，则（ ）的整数部分为557；小数部分一起找规律，依次为3,6,12,24,48,（ ），为一个公比为2的等比数列，故（ ）的小数部分为48×2=96，那么（ ）为557.96。因此，选择C选项。
例2（2018江苏A）2.1, 5.2, 8.4, 11.8, 14.16,（ ）。
A．19.52
B．19.24
C．17.82
D．17.32
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解析 第一步，小数数列，考虑整数部分一起看，小数部分一起看。
第二步，整数部分依次为2,5,8,11,14，是一个公差为3的等差数列，下一项应为14+3=17，因此括号处整数部分为17。
第三步，小数部分依次为1,2,4,8,16，是一个公比为2的等比数列，下一项应为16×2=32，因此括号处小数部分为32，则那么括号处为17.32。因此，选择D选项。
第四节 幂次数列
题干特征：题干中出现多个幂次数或者题干中的数字与幂次数差值很小。
要求：数字敏感-熟悉常见的幂次数。
题型分类：直接幂次数列-简单平方（立方）数列、底数和指数其中之一变化、底数和指数同时变化；
修正幂次数列-修正之后的数列为幂次数列。
平方数列、立方数列是一类基础数列，考生需要熟记如下幂次数。
名师课堂
1—30的平方数
1—10的立方数
例（2017江苏A）4, 5, 7, 16, 80,（ ）
A．296
B．423
C．592
D．705
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解析
从第二项起，分别与前一项作差，观察发现由差值组成的新数列是幂次数列的修正数列，依次是10、21、32、43，所以②处应填入的数是54; ①处应填入的数是80+54，计算尾数为5。故本题选择D。
第五节 多级数列
多级数列是指需要对数列相邻两项进行加、减、乘、除四则运算后找到特定规律的数列。可以分为做差多级数列、做商多级数列、做和多级数列、做积多级数列四种。按照运算的次数不同又可分为二级数列和三级数列两类。经过四则运算后得到的数列可能是等差数列、等比数列、质数相关数列，还可能是幂次数列、周期数列、简单递推数列等。
做差多级数列是多级数列考查的主要内容，做商多级数列、做和多级数列与做积多级数列考查较少。
例1（2018江苏A）1, -5, 10, 10, 40,（ ）。
A．-35
B．50
C．135
D．280
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解析 第一步，数字变化幅度较大，考虑做商找规律。
第二步，对原数列相邻两项分别做商，商数列为-5, -2,1,4。商数列是一个公差为3的等差数列，因此商数列的下一项为7，则括号处应该为40×7=280。因此，选择D选项。
例2（2018江苏B）40, 8, 24, 16, 20,（ ）。
A．18
B．24
C．28
D．32
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解析 数列两两做差得32, -16,8, -4。差数列为公比为2的等比数列，且正负交替，故后一项为20-2=18。因此，选择A选项。
第六节 递推数列
递推数列，是指数列中从某一项开始，每项都是其前面的项经过一定的运算得到的数列。近几年，行测考试中递推数列所占的比重越来越大，已经成为考查热点、难点。
简单递推数列：每一项等于前两项的和、差、积或者商。
例如：2,2,4,6,10,16,26,42, …为简单递推和数列；
15,10,5,5,0,5, -5, …为简单递推差数列；
1,2,2,4,8,32,256, …为简单递推积数列；
729,27,27,1,27,
,…为简单递推商数列。
递推数列具有和、差、积、商、方、倍六种基本形态。其中和、积、方、倍是递增趋势，差、商是递减趋势，由于递减数列我们倒着看是递增的，所以这里我们只介绍递增数列的解题方法。注意：从大的数字开始看，并且结合选项来看。
1．看趋势，做试探
根据数列中数字的整体变化趋势初步判断递推的具体形式，然后根据初步判断的趋势做合理的试探。数列的变化趋势（结合选项）可以分为以下几类：
（1）变化比较慢（一般相邻两项之间满足2倍以内），通常考虑加法；
（2）变化极快（观察全部数列，相邻两项之间相差2个数位），一般考虑幂次；
（3）变化不快不慢（相邻两项相差3倍到8倍之间），先用乘法再用倍数。
2．圈三法
通过研究数列的局部规律，从而递推整体规律的方法。圈三法不是只看3项，也有可能是看2项或者4项，只不过考试的时候两项推一项比较多，我们习惯上称为“圈三法”。
当数列趋势不明显，无法看出整体规律时，可以使用圈三法，先看相邻某三个数之间有什么规律，然后验证是不是整体规律。
例（2017江苏A）4.1, 4.3, 12.1, 12.11, 132.1,（ ）。
A．120.8
B．124.12
C．132.131
D．132.12
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解析 递推数列。第一个数的整数部分与小数部分相乘得到第二个数的整数部分，第一个数的整数部分与小数部分相减得到第二个数的小数部分，即4×1=4,4-1=3;4×3=12,4-3=1;12×1=12,12-1=11;12×11=132,12-11=1。故括号内应填入的数，整数部分是前一个数的整数部分与小数部分相乘，即132×1=132；小数部分是前一个数的整数部分与小数部分相减，即132-1=131。故本题选择C。
第七节 特殊数列
圆圈数列：从中间数字开始考虑，中间数字能分解，分解得到的两个数字由外面四个得到的时候，看上下或者左右。
九宫格系列：行或者列成规律。
三角形数列：一般是边端的三个数呈现一定规律后得到中间的数。
例（2013联考）
A．54
B．63
C．85
D．108
解析 中间数字为左上角数字与右下角数字之和再加上右上角数字与左下角数字之积的和。故？=（6+12）+（4×9）=54。故选A。