用悖论取胜

埃弗龙的骰子也许能帮你在朋友面前炫耀一把。你可以提出这样的游戏：“这里有四枚骰子A、B、C、D，每人各选一枚，我让你先选，然后我们一起掷5次骰子，看谁赢的轮数多。”

如果你的朋友选了骰子A，那么你就选骰子D，它比骰子A要强；如果他选的是骰子B，那么你就选比它强的骰子A，如此等等。非传递性链条可以保证你一定能选到比这位“冤大头”更强的骰子。

每一次掷骰子你都有三分之二的机会赢，如果五轮三胜的话，你赢的机会就是79.01%。如果你觉得这样风险还是太大，那么可以提出一共玩25轮，而不是5轮，这样你就能在95.84%的情况下获胜。具体的计算就是，在你以2/3的机会赢下每一局的前提下，将在25轮中赢得25轮、24轮、23轮……一直到赢得13轮的概率全部加起来。二项分布告诉我们，在这种情况下，掷轮骰子恰好赢轮的概率是。我们从中就能得到之前所说的79.01%和95.84%。

只有在你朋友没起疑心的情况下，你才能用埃弗龙骰子大获全胜。有一天，美国的亿万富翁沃伦·巴菲特就向美国微软公司创始人比尔·盖茨提出用埃弗龙骰子来打赌。当然，巴菲特请盖茨先选择骰子。盖茨起了疑心，仔细分析了那些骰子，然后建议巴菲特先选。没人知道他们打算押下多少赌注！

故事讲到这里，有点吊人胃口。我们用四枚骰子能取胜，那么三枚行不行？能不能避免在不同的面上写相同的数字？因为这样既不雅观又让人起疑。为了让玩家觉得骰子更漂亮、更放心，有没有可能做到三枚骰子各自面上数字之和都相同（从而平均值也相同）？

2．非传递性的颠倒世界

非传递性能让你百思不得其解！在体育运动中，A队赢B队、B队赢C队、C队赢A队的事情并不少见。这不满足传递性（如果a＞b并且b＞c，那么a＞c）。如果A队状态不好，对阵C队的时候打得很烂，那么这种事情就会发生。这种现象在数学中也经常出现，而且不能用“状态不好”来解释我们观察到的非传递性。尽管这一局和下一局之间的一切不变，但也会发生像“石头、剪刀、布”（图a）这样的情况：剪刀赢布（因为剪刀能剪开布），布赢石头（因为布能包住石头），而石头赢剪刀（因为石头能砸烂剪刀）。

孔多塞悖论也很经典。假设有60位选民投票给三名候选人A、B和C，其中有23位选民的排序是A＞B＞C，17位是B＞C＞A，2位是B＞A＞C，10位是C＞A＞B，还有8位是C＞B＞A。

这样的话，有33位选民觉得A比B好，不赞成的有27位；42位选民觉得B比C好，不赞成的有18位；35位选民觉得C比A好，不赞成的有25位。

选民表达出的偏好组成了非传递性链条：A ＞ B ＞ C ＞ A。

埃弗龙的四枚骰子（见第3页）也以类似的形式组成了非传递性链条。

还有人发明了其他骰子游戏，比起孔多塞悖论或者埃舍尔那不断上升却又回归原点的不可能阶梯（图b）来说，它们拥有更违反直觉的性质。