7.4 空间直线

在7.3节，我们研究了空间平面，本节我们来研究与空间平面关系密切的空间直线. 同时，空间直线也是一种特殊的空间曲线.

7.4.1 空间直线的方程

1. 直线的一般方程

空间直线L可视作两相交平面π1和π2的交线（见图7-4-1），若π1和π2的方程分别为

A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0，

则直线L的方程为

式（7.4.1）称为空间直线L的一般方程.

下面我们将建立空间直线L的其他形式的方程.

2. 直线的对称式方程和参数方程

定义7.4.1　称平行于直线L的非零向量s为直线L的方向向量.

设空间直线L经过已知点M0（x0，y0，z0），且方向向量为s={m，n，p}，如何求该直线（图7-4-2）的方程？

设M（x，y，z）为直线L上任意一点，其充分必要条件为，则由两向量平行的充分必要条件有

式（7.4.2）称为直线L的对称式方程（或点向式方程）.

再令

则有

式（7.4.3）称为直线L的参数方程.

例7.4.1　求过两点P（-3，2，-3）和Q（-1，-1，4）的直线方程的参数方程.

解　方向向量可取为，故所求直线的对称式方程为

化为参数方程为

注意　直线的参数方程不是唯一的，可以改变定点（x0，y0，z0），也可以改变比例t，如

都是例7.4.1中所求直线的参数方程.（思考一下为何不是t2？）

例7.4.2　将直线L的一般方程转化为对称式方程及参数方程：

解　首先我们需要L上的一点M0（x0，y0，z0），其次需要它的方向向量s.

令x=2，代入直线L的一般方程解得y=z=-1，则点M0（2，-1，-1）在直线L上.

又因为L为平面π1：x+2z=0和π2：x+y+z=0的交线，故其方向向量s应同时垂直于两平面的法向量n1={1，0，2}，n2={1，1，1}，所以可取

从而直线L的对称式方程为

进一步可得直线L的参数方程为

7.4.2 两直线的夹角、直线与平面的夹角

定义7.4.2　两直线的方向向量的夹角（规定不取钝角），称为两直线的夹角.

设直线L1和L2的方向向量分别为s1={m1，n1，p1}，s2={m2，n2，p2}，ϕ为两直线的夹角，则

从而可求出夹角ϕ.

下面给出直线与平面夹角的定义. 我们先定义直线在平面上的投影直线.

定义7.4.3　过直线L且与平面π垂直的平面与平面π的交线称为直线L在平面π上的投影直线（简称投影）. 如果直线L的方向向量s与平面π的法向量n平行，规定直线在平面上的投影为一点，这时也称直线与平面垂直.

定义7.4.4　直线与它在平面上投影直线的夹角（规定不取钝角）称为直线与平面的夹角. 特别地，当直线与平面垂直时，规定它们的夹角为.

如何计算直线与平面的夹角呢？

设直线L与平面π的夹角为ϕ，直线L的方向向量s与平面π的法向量n的夹角为θ（规定不取钝角），则ϕ与θ的关系为（见图7-4-3）

设直线L的方向向量s={m，n，p}，平面π的法向量n={A，B，C}，从而有

由此可得直线与平面的夹角ϕ.

利用式（7.4.5）也不难得到如下结论：

（1）L⊥π的充分必要条件为

（2）L//π的充分必要条件为

Am+Bn+Cp=0.

例7.4.3　要使直线在平面

3x+4y-az=3a-1

内，则a=______.

解　平面法向量{3，4，-a}与直线的方向向量{3，-2，a}应垂直，即两者的数量积

{3，4，-a}·{3，-2，a}=0，

则有a=±1，再将直线上的点（a，0，-1）带入平面方程有a=-1.

例7.4.4　设空间直线的对称式方程为，则该直线过原点且（　）.

（A）平行于Ox轴

（B）垂直于Oy轴，但不平行于Ox轴

（C）垂直于Ox轴

（D）垂直于Oz轴，但不平行于Ox轴

答案　选（C）.

解　由已知直线的方向向量s={0，1，2}，显然{0，1，2}·{1，0，0}=0，故该直线垂直于Ox轴.

例7.4.5　证明直线与直线平行.

证　L1的方向向量

L2的方向向量

显然，即s1//s2，故两直线平行.

7.4.3 平面束方程

定义7.4.5　过直线L的全部平面称为直线L的平面束.

下面给出直线L的平面束方程. 设直线L的一般方程为

其中A1，B1，C1与A2，B2，C2不成比例. 作以下方程

其中λ，μ为不同时为零的常数。随着λ，μ的变化，式（7.4.6）可以表示出任意过直线L的平面方程，于是式（7.4.6）即为过直线L的平面束方程.

例7.4.6　求过点（0，0，1）与直线的平面方程.

解　设平面方程为λ（x+y-z-1）+μ（x-y+z+1）=0，即

（λ+μ）x+（λ-μ）y+（-λ+μ）z-λ+μ=0，

代入点（0，0，1），有（λ+μ）×0+（λ-μ）×0+（-λ+μ）×1-λ+μ=0，则λ=μ，故平面方程为x=0.

例7.4.7　求直线在平面π：x+y+z=0上的投影直线的方程.

解　直线L在平面π上的投影直线即过直线L且与平面π垂直的平面π1与平面π的交线. 过直线L的平面束方程为λ（x+y-z-1）+μ（x-y+z+1）=0，即

（λ+μ）x+（λ-μ）y+（-λ+μ）z-λ+μ=0，

要此该平面与π垂直，即n1·n=0，则

（λ+μ）×1+（λ-μ）×1+（-λ+μ）×1=0，

即有-λ=μ，取，则平面π1方程为y-z-1=0，故投影直线方程为

习题7-4

1. 求过两点M1（1，-2，3）和M2（2，0，1）的直线方程.

2. 求过点（3，-1，2）且与平面4x-2y-5z+1=0垂直的直线方程.

3. 将下列直线方程的一般式化成标准式：

（1）

（2）

4. 求直线与直线的夹角的余弦.

5. 求过点（-3，4，-6）且与平面x-z=1及x-y+z+1=0平行的直线方程.

6. 求过点（3，1，-5）且与直线同时垂直的直线方程.

7. 求过点（-1，3，-2）且通过直线的平面方程.

8. 求直线与平面x-y-z+3=0的夹角.

9. 求点（4，-3，8）在平面2x-5y+7z-1=0上的投影.

10. 求直线在平面2x-y+z+3=0上的投影直线的方程.

11. 求过点（2，2，-3）且与直线相交且垂直的直线方程.

12. 求m值，使两条直线相交.

13. 求过点（1，-2，2）且与两直线平行的平面方程.

14. 设平面过点（-3，1，2）且与直线平行，又与平面x-y-2z+3=0垂直，求该平面方程.

15. 设M0是直线L外一点，M是直线L上任意一点，且直线的方向向量为s，试证M0到直线L的距离为