7.3 空间平面

现在我们已经具备了一些空间直角坐标系和向量代数的基本知识，我们可以将空间几何图形用代数的方法表达，即求几何图形的方程. 首先介绍何为空间曲面的方程.

在平面解析几何中，为求二次曲线方程，我们往往将曲线视为满足一定规律的动点的几何轨迹。在空间解析几何中，我们同样可将空间曲面看作空间的动点M（x，y，z）的轨迹，即可得到一个三元方程.

定义7.3.1　如果曲面S与三元方程F（x，y，z）=0有下述关系：

（1）曲面S上任一点的坐标都满足该方程；

（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足该方程；

则方程F（x，y，z）=0就叫作曲面S的方程，而曲面S就叫作方程F（x，y，z）=0的图形.

空间平面是一种特殊而简单的空间曲面，同时也非常重要.

7.3.1 空间平面的方程

1. 平面的点法式方程

定义7.3.2　垂直于平面π的非零向量n称为该平面的法向量.

已知空间中一点M0（x0，y0，z0）及非零向量n={A，B，C}，如何求过点M0且以n为法向量的平面π的方程（见图7-3-1）？

设M（x，y，z）为平面π上任意一点，显然向量在平面π上，故，所以

由于

从而可得

式（7.3.1）即称为平面π的点法式方程.

例7.3.1　求过点（3，0，-5）且平行于平面

2x-8y+z=0

的平面方程.

解　平面2x-8y+z=0的法向量为{2，-8，1}，所求平面与已知平面平行，故其法向量也可取为{2，-8，1}，从而所求平面方程为

2（x-3）-8（y-0）+（z+5）=0，

即

2x-8y+z-1=0.

例7.3.2　求过不共线的三点

M1（0，0，1），M2（2，0，0），M3（0，3，0）

的平面方程.

解法一　先求垂直于所求平面的法向量n. 显然向量n既垂直于又垂直于，故可取

再利用三个点中的任意一点即可写出平面的点法式方程为3（x-0）+2（y-0）+6（z-1）=0，即

3x+2y+6z-6=0.

解法二　设M（x，y，z）为所求平面上任意一点，即三个向量共面，于是三者的混合积为零，于是可得

2. 平面的一般方程

将点法式（7.3.1）化简整理，并记D=-（Ax0+By0+Cz0），则式（7.3.1）就可化为如下形式

我们把式（7.3.2）称为平面π的一般方程.

另一方面，若给定平面的一般式（7.3.2）（其中A，B，C不同时为零），任取满足该方程的一组解x0，y0，z0，即有

将式（7.3.2）减去式（7.3.3）可得

A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0.

所以平面方程（三元一次方程）的系数A，B，C组成的向量{A，B，C}就是平面π的法向量.

请大家思考以下几种特殊情况平面的画法：

（1）当D=0时，平面方程为Ax+By+Cz=0，该平面过原点；

（2）当A=0时，平面方程为By+Cz+D=0，缺变量x，其法向量n={0，B，C}垂直于x轴，所以平面平行于x轴. 同理，平面Ax+Cz+D=0和Ax+By+D=0分别平行于y轴和z轴；

（3）当A=B=0时，平面为两平面的夹角为θ，则Cz+D=0，即，此平面平行于xOy面. 同理，平面Ax+D=0和By+D=0分别平行于yOz面和zOx面；

（4）当A=B=D=0时，平面为z=0即xOy面，同理x=0和y=0分别为yOz面和zOx面.

例7.3.3　求过x轴与点（4，-3，-1）的平面方程.

解　平面过x轴，故可设其方程为By+Cz=0，再将点的坐标（4，-3，-1）带入该方程可得C=-3B，故所求平面方程为y-3z=0.

3. 平面的截距式方程

将式（7.3.2）（A·B·C≠0）变形为Ax+By+Cz=-D，进一步可化为下式的形式

其中，则式（7.3.4）称为平面的截距式方程，而a，b，c分别称为平面在x轴，y轴和z轴上的截距.

从式（7.3.4）我们不难看出，平面与x轴，y轴和z轴的交点分别为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c）. 例如在例7.3.2中，所求平面方程3x+2y+6z-6=0化为截距式为

其图形如图7-3-2所示.

例7.3.4　已知平面在y、z轴上的截距分别为30，10，且与向量r={2，1，3}平行，求该平面的方程.

解　设平面的截距式方程为，由已知其法向量n与r={2，1，3}垂直，即

解得a=-6，故所求平面方程为.

7.3.2 两平面的夹角

定义7.3.3　两平面法向量的夹角（规定不取钝角）（见图7-3-3）称为两平面的夹角.

设两平面π1和π2的法向量分别为

n1={A1，B1，C1}，n2={A2，B2，C2}，

两平面的夹角为θ，则

从而有

两平面间的几个重要关系

（1）平面π1和π2互相垂直⇔n1·n2=0即A1A2+B1B2+C1C2=0；

（2）平面π1和π2互相平行⇔n1×n2=0即；

（3）平面π1和π2互相重合.

例7.3.5　一平面过点A（1，1，1），B（0，1，-1）且垂直于平面

x+y+z=0，

求此平面.

解　显然所求平面的法向量n既垂直于向量又垂直于已知平面x+y+z=0的法向量n1={1，1，1}，故可取

则所求平面方程为

2（x-1）-（y-1）-（z-1）=0，

即

2x-y-z=0.

7.3.3 点到平面的距离

设平面π的方程为

Ax+By+Cz+D=0，

P（x0，y0，z0）为平面外一点，如何求该点到平面π的距离d？

过点P作平面π的垂线，垂足记为Q（x1，y1，z1），则d=|PQ|. 因平面π的法向量，于是

得

又因为Q点在平面π上，所以Ax1+By1+Cz1+D=0，化简整理可得

例7.3.6　求两平面2x-y+z-7=0和x+y+2z-11=0所成二面角的平分面的方程.

解　设（x，y，z）为角平分面上任意一点，因为二面角的角平分面上的点到两平面的距离应相等，所以有

于是有2x-y+z-7=x+y+2z-11或2x-y+z-7=-（x+y+2z-11），即

x-2y-z+4=0或x+z-6=0，

均为所求的二面角的平分面方程，且相互垂直.

习题7-3

1. 求过点（1，-2，0）且与平面3x-y+2z+1=0平行的平面方程.

2. 指出下列平面的特征（与坐标轴或坐标平面平行或垂直的关系），并画出其草图：

（1）2x-3=0；

（2）x+2z=5；

（3）4y-z-6=0；

（4）2x=3y.

3. 求过三点（3，0，2）、（-4，3，1）和（-2，5，3）的平面方程.

4. 一平面过点（1，0，-2）和点（-2，3，1）且平行于向量{1，3，1}，试求该平面的方程.

5. 将平面的一般方程2x-3y+6z+6=0化为截距式方程.

6. 分别求出满足给定条件的平面方程：

（1）平行于yOz坐标面，且过点（6，-3，5）；

（2）过z轴且垂直于平面3x-2y+4z+7=0；

（3）垂直于xOz坐标面，且过点（3，-2，0）和（5，0，3）.

7. 求平面2x+y-2z+1=0与各坐标面夹角的余弦值.

8. 求平面x+y-2z=1与平面2x-y-z=3之间的夹角.

9. 求点（1，2，-2）到平面x+2y+2z-2=0的距离.

10. 试在x轴上求一点P，使它到两平面2x+y-2z-1=0和x+2y-2z-2=0的距离相等.

11. 试求两平行平面Ax+By+Cz+D1=0和Ax+By+Cz+D2=0的距离.

12. 试在xOy坐标面上求一点，使它到三个平面x+y+2z+4=0，x-y-2z-2=0和x+y-2z+2=0的距离相等.

13. 求三平面x+y-z-2=0，x-y+z=0，x-y-z+4=0的交点.

14. 一平面过点（1，-1，2）且同时垂直于平面x-2y+3z+1=0和平面2x+y-z+3=0，求该平面的方程.