四、释疑解难

问题1　行列式定义的实质是什么？

答：由n阶行列式D的定义可以知道：D就是行列式中所有取自不同行、不同列的n个元素之积的代数和，记为，而每项所带的符号是唯一确定的，撇开每个项随带的符号，就是：凡是取自D中不同行、不同列的n个元素之积，一定是中的一项；反过来，中任一项也一定是D中不同行、不同列的n个元素之积．利用这个原则以及每一项的“定号”规则，对行列式的一些问题的解决可起到事半功倍的作用．

例如，考虑以λ为参数的4阶行列式（该行列式在第四章中有重要的应用）：

不进行具体计算，由行列式定义即得出以下结论．

（1）D（λ）是一个关于λ的4次多项式，这是因为D（λ）中有正项（a11-λ）（a22-λ）（a33-λ）（a44-λ），而其他各项的λ的幂次均低于4，而且该多项式中λ4的系数等于1．

（2）多项式D（λ）中λ3的系数是-（a11+a22+a33+a44），即为主对角线元素之和的相反数，这是因为D（λ）中的任一项，若它不含某主对角线元素作为其因子，则它至少不含两个主对角线元素作为其因子．于是，除了（a33-λ）（a44-λ）（a11-λ）（a22-λ）项外，其余各项的λ的幂次至多是2；也即D（λ）中λ3的系数就是（a33-λ）（a44-λ）（a11-λ）（a22-λ）中λ3的系数，而后者显然是-（a11+a22+a33+a44）．

问题2　为什么n（n≥4）阶行列式不能按对角线展开？

答：二阶、三阶行列式可以按对角线展开，而四阶及四阶以上的行列式不能按对角线展开，因为它不符合n（n≥4）阶行列式的定义．例如，对于四阶行列式，如果按对角线法则，则只能写出8项，这显然是错误的，因为按照行列式的定义可知，四阶行列式一共有4！项，即四阶行列式是24项的代数和．另外，按对角线做出的项的符号也不一定正确，比如，乘积项a14a21a32a43其列排列4123的逆序数为3，应取负号而不是正号．所以，在计算n（n≥4）阶行列式时，对角线法则失效．

问题3　计算行列式的常用方法有那些？

答：计算行列式的方法通常有

（1）用对角线法则计算行列式，它只适合二、三阶行列式；

（2）用n阶行列式的定义计算行列式；

显然有

上三角形行列式　

下三角形行列式　

对角形行列式　

另外　

（3）利用行列式的性质计算行列式；

（4）利用行列式按某一行（列）展开定理计算n阶行列式；

（5）利用数学归纳法计算n阶行列式；

（6）利用递推公式计算n阶行列式；

（7）利用范德蒙行列式的结论计算特殊的n阶行列式；

（8）利用升阶（加边）法计算n阶行列式；

（9）化三角形法计算n阶行列式；

（10）综合运用上述各法计算n阶行列式．

在实际计算中，又常常根据行列式的具体特点，采用相应的方法（有时需要几种方法结合使用）．请注意学习、总结例题中的计算方法，由此及彼，举一反三，逐步提高计算能力．

问题4　（1）余子式与代数余子式有什么特点？（2）它们之间有什么联系？

答：（1）对于给定的n阶行列式，那么元素aij的余子式Mij和代数余子式Aij仅与位置（i，j）有关，而与D中第i行、第j列元素的大小和正负无关．

（2）它们之间的联系是Aij=（-1）i+jMij，因而当i+j为偶数时，二者相同，即Aij=Mij；当i+j为奇数时，二者相反，Aij=-Mij．

问题5　什么是行列式按行（列）展开定理？它有何应用？

答：行列式按行（列）展开定理是指下述两个定理．

定理1　n阶行列式D等于它的任意一行（列）所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，即

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin　（i=1，2，…，n）

=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj　（j=1，2，…，n）

定理2　行列式的某一行（列）所有元素与另一行（一列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0　（i≠j），

a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0　（i≠j）．

应用一　计算行列式的值．

行列式按某一行（列）展开能将高阶行列式的计算转化为若干个低价行列式的计算，是计算数字行列式的常用方法．值得注意的是，展开前往往先利用行列式的性质，将某行（列）的元素尽可能多消成零，然后利用定理或者推论：

推论：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都是为零，那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即

例1　计算行列式的值

解　观察，注意到第3列元素相对简单有规律一点，所以选择第3列，利用行列式的性质，保留一个非零元素，其余的都化为零．

应用二　求某行（列）元素的代数余子式的（代数）和

已知行列式D及其元素aij的代数余子式Aij和任意n个数k1，k2，…，kn，求和式或

首先应注意，上面的和式均表示某个行列式，其第i行或第j列元素为k1，k2，…，kn，因此将D的第i行或第j列元素改为k1，k2，…，kn，即为．写出后，再算出，即为所求的和式．

如果k1，k2，…，kn恰为D中某行但不是第i行，或为某列但不是第j列，则上述和式的值为0．

例2　已知，求A11-2A12+3A13-4A14．

解　注意到a31=2，a32=-4，a33=6，a34=-8，

那么由行列式的性质，a31A11+a32A12+a33A13+a34A14=0

即　2A11-4A12+6A13-8A14=2（A11-2A12+3A13-4A14）=0．

注：不要直接去计算代数余子式，那样很麻烦．

例3　设行列式，求第4行元素余子式之和．

解　【分析：注意本题是要求第4行元素的余子式的和，而不是代数余子式的和，这是有差别的．一种办法是直接计算，分别求出四个余子式；另一种是将余子式转化为代数余子式，再根据行列式的展开定理归结为一个4阶行列式的计算．】

用A4j（j=1，2，3，4）表示第4行各元素的代数余子式，由于A4j=（-1）4+jM4j于是有