1.6　函数的连续性

在自然界以及我们身边中的许多现象，它们的变化虽然多种多样，但大致可分为两类：一类是连续的变化，如时间的连续变化、动物及植物生长的连续变化、气温升降的连续变化等；另一类是间断或跳跃的变化，如路口的交通信号灯的信号变化、飞机票价的变化、阶梯式电价的变化等.本节我们讨论、描述这些变化，并介绍函数连续的一些重要结论.

1.6.1　连续性的概念

为了描述函数的连续性，我们引入函数增量的概念.

1.函数的增量（改变量）

定义1　设函数y=f（x）在点x0的δ邻域（x0-δ，x0+δ）内有定义（δ>0），当自变量x从初值x0变化到终值x1时，称x1-x0为自变量的增量（或自变量的改变量），记作Δx，即Δx=x1-x0；相应地，函数值也由f（x0）变化到f（x1），称f（x1）-f（x0）为函数的增量（或函数的改变量），记作Δy，即Δy=f（x1）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0）.

注意

Δx可以是正值，也可以是负值；而Δy可能是正值或负值，还可能是零.

如图1.6.1和图1.6.2所示，观察函数f（x）在x0点连续、间断的区别.

当Δx趋近于零时，Δy也趋近于零；如图1.6.2所示，当Δx逐渐变小乃至趋于零时，Δy趋于一个不为零的定值：线段MN的长度|MN|，即.

2.函数在某点的连续性

定义2　设函数y=f（x）在点x0的某个δ邻域内（x0-δ，x0+δ），δ>0内有定义，如果当自变量x在x0处的增量Δx趋近于零时，相应的函数的增量Δy也趋近于零，即

则称函数y=f（x）在点x0连续；否则称函数y=f（x）在点x0不连续或间断.

注意到Δx=x-x0⇔x=x0+Δx，所以

Δx→0⇔x→x0，

于是，可以得到函数y=f（x）在x0点连续的等价定义.

定义3　如果函数f（x）在点x0的δ邻域（x0-δ，x0+δ），δ>0内有定义，且，则称函数f（x）在点x0连续，此时x0称为连续点；否则称函数f（x）在点x0间断，此时x0称为间断点.

如果，则称函数f（x）在x0点左连续；如果，则称函数f（x）在x0点右连续.

显然，函数f（x）在点x0处连续等价于f（x）在点x0处左连续且右连续.

定义3说明了f（x）在点x0处连续需要满足三个条件：

（1）f（x0）存在；（2）存在；（3）.

如果以上三个条件中的任何一条不被满足，则函数f（x）在点x0间断.

思考：函数f（x）在x0点连续与在x0点有极限有何关系？

【例1】　讨论函数在点x=0和x=1处的连续性.

解　（1）考虑函数f（x）在点x=0是否满足连续定义的三个条件：

①f（0）=0；②，所以不存在；因此函数f（x）在点x=0处不连续.

（2）考虑函数f（x）在点x=1是否满足连续定义的三个条件：

①f（1）=0；②，所以存在；③因此函数f（x）在点x=1处连续.

3.初等函数的连续性

如果函数f（x）在开区间（a，b）内的每一点都连续，则称函数f（x）在开区间（a，b）内连续；如果函数f（x）在开区间（a，b）内连续，且在区间左端点x=a处右连续，在区间右端点x=b处左连续，则称函数f（x）在闭区间[a，b]上连续.

由基本初等函数的图像及定义3知道，基本初等函数在其定义域内都连续.

可以证明，两个连续函数经过有限次的四则运算，有限次的复合步骤所得函数仍是连续函数.因此，初等函数在其定义域内（定义域有孤立点集除外）都是连续的.

例如，函数在定义域[-1，4]上连续；函数在定义域[-1，+∞）内连续.

注意

在求极限时，如果f（x）是初等函数，且x0是函数f（x）定义域内的点，则

【例2】　求函数的连续区间.

解　函数f（x）的定义域是（-1，+∞），因为函数f（x）在区间（-1，0）的表达式、在区间（-1，0）内的表达式1以及在区间（1，+∞）内的表达式都是初等函数，所以函数f（x）在区间（-1，0），（0，1），（1，+∞）内连续，下面只需分析函数f（x）在点x=0，x=1处的连续性.

因为满足，所以函数f（x）在点x=0处连续.

因为不存在，所以f（x）在点x=1处不连续.

综上所述，函数f（x）的连续区间是（-1，1）∪（1，+∞）.

1.6.2　闭区间上连续函数的性质

性质1（最大值最小值定理）　若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，则它在区间[a，b]上必有最大值M和最小值m.

如图1.6.3所示，f（x）在[a，b]上连续，f（x）在点x1处取得最大值M，在点x2处取得最小值m.

性质2（介值定理）　若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，M和m分别是f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，则对介于m与M之间的任一实数η，在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（ξ）=η.

如图1.6.4所示，对于任意的实数η（m<η<M），直线y=η与连续曲线y=f（x）至少有一个交点，若交点的横坐标为ξ，则有f（ξ）=η.

性质3（零点定理）　若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（x）在区间两端点的函数值异号，即f（a）·f（b）<0，则在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使得f（ξ）=0.

如图1.6.5所示，闭区间[a，b]上的连续曲线y=f（x），f（a）>0，f（b）<0，曲线与x轴相交于ξ点，即f（ξ）=0.

【例3】　证明方程x4-4x=1至少在区间（1，2）内有一个实数根.

解　函数f（x）=x4-4x-1在闭区间[1，2]上连续，且f（1）=-4<0，f（2）=7>0.根据零点定理，函数f（x）在区间（1，2）内至少有一点ξ，使得f（ξ）=0，即ξ4-4ξ-1=0，于是证得方程x4-4x=1至少在区间（1，2）内有一个实数根ξ.