1.5　无穷小与无穷大

历史上曾经有数学家想把无穷小作为微积分的基础，但最终还是以极限作为了微积分的基础.那么什么是无穷小呢？它与极限有什么关系呢？

1.5.1　无穷小

我们经常遇到极限是零的变量，如单摆偏离平衡位置的角度θ是时间t的函数θ（t），且有.

1.无穷小的概念

定义1　如果当x→a时，函数f（x）以零为极限，则称当x→a时函数f（x）是无穷小量，简称无穷小，记作.

这里x→a可以是自变量x的七种变化趋势中的一种.

注意

（1）说一个函数是无穷小，必须伴随着自变量的变化趋势.例如，因为 所以，当x→1时，sin（x-1）是无穷小，但当x→0时，sin（x-1）就不是无穷小.

（2）无穷小与“很小的正数”有本质区别.因为“很小的正数”（如 ）是常数， ，故一个“很小的正数”不是无穷小；又因为常数0的极限是0，所以在常数中，只有0是无穷小.

【例1】　下列函数中，自变量怎样变化时是无穷小？

解　考察当y→0时，要求自变量x应当有怎样的变化趋势：

（1）因为y→0要求x→3，故当x→3时，y=x-3是无穷小；

（2）因为y→0要求x→∞，故当x→∞时，是无穷小；

（3）因为y→0要求x→-∞，故当x→-∞时，y=3x是无穷小；

（4）因为y→0要求，k是整数，故当，k∈Z时，y=cos x是无穷小.

2.无穷小的性质

性质1　有限个无穷小的和、差、积仍然是无穷小；

性质2　有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小.

【例2】　求.

解　因为，所以当x→0时，x2是无穷小，虽然在[-1，1]振荡，但，所以是有界函数.根据性质2有，当x→0时，是无穷小，即

3.无穷小与函数极限的关系

定理1　在自变量x→a的变化趋势下，函数f（x）以A为极限的充要条件是f（x）=A+α，其中.其中α是α（x）的简写，即.

此定理说明：当x→a时，函数可以表示为它的极限值与某个无穷小的和.

1.5.2　无穷大

有一类变量，从变化的过程看也有一定的趋势，但不是趋于某个常数，而是在变化过程下其绝对值无限增大，如时，y=tan x的绝对值|tan x|无限增大，如图1.1.14所示.

1.无穷大的概念

定义2　如果当x→a时，函数f（x）的绝对值无限增大，则称当x→a时f（x）是无穷大量，简称无穷大，记作.

注意

（1）说一个函数是无穷大，必须伴随着自变量的变化趋势.例如，因为 ， ，所以当x→1时， 是无穷大，而当x→∞时， 却是无穷小.

（2） 只是函数f（x）当x→a时的一种变化趋势，按照极限的定义，函数f（x）在x→a时没有极限.这里的∞不是数，是一个符号，不能参与四则运算.

（3）无穷大与“绝对值很大的数”有本质区别.因为“绝对值很大的数”（如10100或-10100）是常数，且，故一个“绝对值很大的数”不是无穷大.

【例3】　下列函数中，自变量怎样变化时是无穷小，自变量怎样变化时是无穷大？

解　（1）当x→4时，函数的绝对值无限增大，所以当x→4时，函数y=是无穷大；当x→-3时，函数，所以当x→-3时，函数是无穷小；

（2）当x→-∞时，函数的绝对值无限增大，所以当x→-∞时，函数y=是无穷大；当x→+∞时，函数，当x→+∞时，函数是无穷小；

（3）当x→-1+或x→+∞时，函数y=ln（x+1）的绝对值ln（x+1）无限增大，所以当x→-1+时，y=ln（x+1）是无穷大，当x→+∞时，y=ln（x+1）是无穷大，当x→0时，函数y=ln（x+1）→0，所以当x→0时，函数y=ln（x+1）是无穷小.

2.无穷小与无穷大的关系

前面提到，函数x在x→0时是无穷小，而它的倒数在x→0时却是无穷大；当x→-∞时，函数e-x在x→-∞时是无穷大，而它的倒数ex在x→-∞时却是无穷小.

一般地，无穷小与无穷大之间有如下定理2所描述的关系：

定理2　在自变量的某一变化过程中，如果f（x）是无穷小，且f（x）≠0，则是无穷大；反之，如果f（x）是无穷大，则是无穷小.

【例4】　求极限.

解　.由无穷小的倒数是无穷大，可知，说明极限不存在.

1.5.3　无穷小阶的比较

在x→a时，两个无穷小α，β的和、差、积仍然是无穷小.但是两个无穷小的商却会出现不同的结果.例如，函数sin x，x，-3x，4x3当x→0时，它们都是无穷小，但是，，原因是什么？请看表1.5.1，当x→0时，观察它们趋于零的变化快慢程度.

观察表1.5.1，当x越来越接近零时，sin x与x趋于零的快慢程度几乎一样，x与-3x趋于零的快慢程度差不多一样，4x3比-3x更快地趋向零，即-3x比4x2较慢地趋向零，这种快慢存在档次上的差别；而-3x与x趋向零的快慢虽有差别，但是是相仿的，不存在档次上的差别.

反映在极限上，当x→0时，趋向零较快的无穷小与趋向零较慢的两个无穷小之商的极限为0；趋向零较慢的无穷小与趋向零较快的两个无穷小之商的极限为∞；趋向零快慢相仿的无穷小之商的极限为不为零的常数.

定义3　设α，β是当自变量x→a时的两个无穷小，且β≠0.

（1）如果，则称当x→a时，α是比β高阶的无穷小，也称β是比α低阶的无穷小，记作α=o（β）（x→a）；

（2）如果，则称当x→a时，α与β是同阶的或等阶的无穷小；特别地，当A=1时，称当x→a时α与β是等价无穷小，记作α～β（x→a）.

注意

记号“α=o（β）（x→a）”并不意味着α，β的数量之间有什么相等关系，它仅表示α，β是x→a时的无穷小，且α是比β高阶的无穷小.

【例5】　比较下列各组无穷小的阶的高低

（1）当x→0时，2x-3x2与x2+2x3；

（2）当x→∞时，；

（3）当x→0时，sin 2x与sin 6x.

解　（1）当x→0时，因为2x-3x2→0与x2+2x3→0且

所以，当x→0时，2x-3x2是比x2+2x3低阶的无穷小（也称x2+2x3是比2x-3x2高阶的无穷小）；

（2）当x→∞时，因为，且

所以，当x→∞时， 是等价的无穷小；

（3）当x→0时，因为sin 2x→0与sin 6x→0，且

所以，当x→0时，sin 2x与sin 6x是同阶的无穷小.