1.4 曲面及其方程
日常生活中经常见到各种曲面，如反光镜，汽车外形，人的面部等.显然曲面是一个空间几何图形.图1-21所示是人的胃的形态，图1-22所示是外耳，都呈现出特有的曲面形状.图1-23所示是人的血管模型三维图.
图1-21 人胃
图1-22 人耳
为了研究生物体内器官的功能，往往要了解其形状，探索形状是否决定或影响功能，例如外耳形状对听力的影响，角膜形状对视力的影响等.通常研究者会造出其几何模型为应用计算机进行模拟研究奠定基础.例如图1-23所示的血管是模拟血液流动的几何模型.
图1-23 人造血管模型
曲面也可以看作是空间一点按照某种规律运动的轨迹，有时也可以认为是曲线按照一定的规律运动的轨迹，而这些运动的规律性通常可以用动点的坐标表达出来，就是曲面的方程.其表达的形式常分为一般形式、参数形式等.本节除了介绍曲面的两种形式的方程外，也介绍几种特殊的曲面.
1.4.1 一般形式
描述曲面的方程是含有三个未知量x，y和z的等式F（x，y，z）=0.一般地，曲面S上任一点的坐标（x，y，z）满足该方程F（x，y，z）=0，而且所有坐标满足方程F（x，y，z）=0的点都在曲面S上，则称F（x，y，z）=0为曲面S的方程，即曲面的一般式方程.
由曲面方程的定义不难认为，含有x，y，z的等式F（x，y，z）=0都可以表示曲面，但给定方程如何知道其是怎样的曲面，或是给定的曲面如何建立其方程，都不是简单的事情.
例1 建立球心在点M0（x0，y0，z0）、半径为r球面方程.
解 设M（x，y，z）是球面上的任一点，那么根据两点间距离公式得到
或者
（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2=r2.
这就是球面上的点的坐标所满足方程.如果球心在坐标原点，则有
x2+y2+z2=r2.
例2 设有点A（1，2，3）和B（2，-1，4），求AB的垂直平分面的方程.
解 设M（x，y，z）是所求平分面上的任一点，那么根据两点间距离公式得到
化简得到
2x-6y+2z-7=0.
这就是所求平面所满足方程.
1.4.2 参数形式
曲面的一般方程虽然形式简单，但在描绘它的图形时没有参数方程方便.事实上，数学软件在利用计算机描绘曲面、曲线时大多需要知道其参数方程.
曲面的参数方程是含有两个参数的三个方程组成：
这样，通过参变量s，t，就把x，y，z间接地联系起来了，因而表示了点的运动规律.
例如，球心在坐标原点半径为r的球面方程为
平面的参数方程为
事实上，曲面的一般方程和参数方程是可以相互转化的，如上述球面方程、平面方程消去参数后就得到一般方程.如何利用计算机绘制由参数方程表达的曲面参见本书第10章.
例3 方程2x2+3y2=z表示椭圆抛物面（见图1-24），其与平面xOy平行的平面相交成为椭圆，与平面xOz，yOz平行的平面相交成为抛物线（见图1-25）.椭圆抛物面的参数方程可以写成如下双参数的方程
图1-24 椭圆抛物面
图1-25 椭圆抛物面与平面相交
（xOy面上的截痕是椭圆，xOz、yOz面上的截痕是抛物线）
1.4.3 旋转曲面
以一条平面曲线绕平面内一条直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面（surface of revolution），这条直线称为旋转轴.例如，圆锥面（见图1-26）、圆环面（见图1-27）都是典型的旋转曲面.
图1-26 圆锥面（直线绕与其相交的直线绕动）
图1-27 圆环面（圆绕圆外直线形成）
旋转曲面是由平面曲线旋转形成，因此可以借助于平面曲线方程、空间坐标系根据几何关系建立旋转曲面的方程.
设在yOz平面上有一条曲线C，其方程为f（y，z）=0，将它绕z轴旋转一周，其方程可以写成为
将它绕y轴旋转一周，其方程可以写成为
例如，在yOz平面上的直线z=ycotα绕z轴旋转一周后得到圆锥面方程为
也可以写成
z2=a2（x2+y2）.
例4 将xOz面上的双曲线
分别绕x轴、z轴旋转一周所得的旋转曲面的方程.
解 绕x轴所得的旋转曲面的方程为
绕z轴所得的旋转曲面的方程为
表1-1为旋转曲面及其方程一览表.
表1-1 旋转曲面及其方程一览
1.4.4 柱面
平行于定直线并沿定曲线移动的直线的运动轨迹是柱面（cylinder）（见图1-28，图1-29），该直线称为母线，该定曲线称为准线.例如平行于z轴的直线沿平面曲线x2+y2=1运动轨迹是圆柱面，其方程为x2+y2=1.一般地，只含x，y不含z的一个方程表示母线平行于z轴的柱面；只含x，z不含y的方程是母线平行于y轴的柱面；只含y，z不含x的方程是母线平行于x轴的柱面.
图1-28 母线平行于坐标轴（x轴）的柱面
图1-29 母线平行于坐标轴（z轴）的柱面
例5 方程x2+y2=4表示圆柱面见图1-30（a），其母线平行于z轴，准线是xOy平面上的半径为2圆心在坐标原点的圆周.与平行于坐标面的平面相交的情形如图1-30（b）所示.圆柱面的参数方程可以写成
x=2cost，y=2sint，z=z，t∈[0，2π].
图1-30 例5图
数海拾贝
计算机图形学 （computer graphics，简称CG）是一种使用数学算法将二维或三维图形转化为计算机显示器的栅格形式的科学.其主要内容是研究如何在计算机中表示图形，以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法.
图形通常由点、线、面、体等几何元素和灰度、色彩、线型、线宽等非几何属性组成.从处理技术上来看，图形主要分为两类，一类是基于线条信息表示的，如工程图、等高线地图、曲面的线框图等；另一类是明暗图，也就是通常所说的真实感图形.
计算机图形学一个主要的目的就是要利用计算机产生令人赏心悦目的真实感图形.这是通过建立图形所描述的场景的几何表示、用某种光照模型、计算在假想的光源、纹理、材质属性下的光照明效果而实现的.计算机图形学与计算机辅助几何设计和图像处理等都具有密切的关系.