2.1　函数

2.1.1　函数的概念

恩格斯指出，数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了.这里所说的变数就是数学中的变量.有了变量有必要了解变量之间的关系，这种关系就是熟知的函数.

在日常生活和科学研究中，人们经常会遇到各种各样的量.取不同数值的量称为变量（variable），取定值的量称为常量（constant）.例如质点从距地面高度为h处自由下落，我们关心在任何时刻（用记号t表示）质点所在的位置（用位移表示，记为s）.那么在这个过程中质点的位移s与所用的时间t都是变量，而它们之间存在对应关系，其中g为重力加速度，物理实验和数学论证都显示，它是常量.在此过程中还有一个常量即质点的初始高度h.这里变量t的变化范围为，位移s的变化范围为[0，h].由于清楚地知道了变量s与t的关系，因此对于中的每一时刻t0，其对应的位移都是知道的，.

数海拾贝

我国最早使用“函数”一词是清朝数学家李善兰（1811-1882）.1859年李善兰在上海与英国人伟烈亚力合作译英国数学著作《代数学》时译道：“凡式含天，为天之函数”，首次将“function”译成“函数”.中国古代以天、地、人、物表示未知数，“函”字即“含有”、“包含”之意.

函数是数学中最基本的概念之一，随着数学学科的发展，函数的概念的描述也不断发生着变化.例如，凡式含天，则为天之函数.这里“天”表示的是变量，即含有变量的式子称为该变量的函数.

这里，我们给出如下常用的表述来定义函数.

定义1　设有一个非空数集D.如果存在对应关系f，使得D中的每一个数x，都对应着唯一的一个数y，则称这个对应关系f为数集D上的一个函数（function），记作f（x），或写成y=f（x），x∈D.

通常称x为自变量（independent variable），y为因变量（dependent variable），D为函数f（x）的定义域（domain of definition）（也记作Df）.当自变量x取遍Df中所有的数时，对应函数值y的全体所构成的数集，称为函数f（x）的值域（range），记作Rf，即Rf={y|y=f（x），x∈Df}.而将点的集合Gf={（x，y）|y=f（x），x∈Df}称为函数f（x）的图形.

例1　函数y=x2+1的定义域是D=（-∞，+∞），值域Rf=[1，+∞），它的图形是一条开口向上的抛物线，如图2-1所示.

表达变量间的关系除了用表达式表达外，也可以用数据表和图形的方式表达.

例2　医学实验测得环境温度和人体代谢率之间有如下关系，如表2-1所示.

这里，变量的变化范围和相互依赖关系由实测数据确定.

例3　心电图描述电流活动随时间的变化情况，是时间的函数.这种函数关系可用图形表示.图2-2左图所示是正常的心电图，右图所示是不正常的心电图.

例4　进行葡萄糖耐糖试验时，服用葡萄糖后0.5h，1.0h，2.0h，3.0h各测一次血糖得到的数据如表2-2所示.

将这些数据画成散点图，并用线段连接，如图2-3所示.从图中可知，正常人、轻度糖尿病人、重度糖尿病人的血糖浓度是三个不同的函数，在同一时间点上，重度糖尿病人的血糖浓度要比正常人的血糖浓度高很多.

例5　函数是定义在整个数轴上，即定义域为（-∞，+∞）.每给出一个x值，就有唯一确定的f（x）与之对应.该函数的图形如图2-4所示.

在自变量的不同取值范围内，用不同的式子表示的函数称为分段函数（Picewise function）.事实上，分段函数不是数学家凭空造出来的，它有其实际背景，例6就是实际问题中出现的情况.在学习高等数学过程中，分段函数将扮演检查学习者对微积分学中基本概念理解程度的角色.

例6　由一项实验获得的数据建立了血液中胰岛素浓度C（t）（单位/mL）随时间t（min）变化的经验公式

该函数是一个分段函数，定义域为[0，+∞）.

2.1.2　反函数与复合函数

1.反函数

质点从距地面高度为h处自由下落，质点经过的路程s是时间t的函数

如果把路程s取作自变量，则时间t是s的函数

我们把t=φ（s）称为前一个函数s=f（t）的反函数（当然前者也是后者的一个反函数）.

定义2　给定函数y=f（x）（x∈Df，y∈Rf）.如果对于Rf中的每一个y都有Df中唯一的一个值x，使得f（x）=y，则在Rf上确定了y=f（x）的反函数（inverse function），记作

x=f-1（y），y∈Rf.

习惯上，我们用x表示自变量，用y表示因变量，因此y=f（x），x∈Df的反函数常写成

y=f-1（x），x∈Rf.

例7　求y=sinx的反函数.

解　由于y=sinx在R上周期性变化，所以在R上无法定义它的反函数.如果把定义域限制在，y=sinx是一个递增函数，所以它的反函数存在，注意到y=sinx的值域为[-1，1]，得到其反函数

x=f-1（y）=arcsiny，y∈[-1，1].

称之为反正弦函数.因此反正弦函数为

y=arcsinx，x∈[-1，1].

其值域为 ，图像如图2-5所示

根据反正弦函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的定义，可以推算出

类似可定义其他三角函数的反函数.例如：

余弦函数y=cosx，x∈[0，π]的反函数（反余弦函数）为

y=arccosx，x∈[-1，1]，

其值域为[0，π]，其图像如图2-6所示.

正切函数y=tanx，的反函数（反正切函数）为

y=arctanx，　　x∈（-∞，+∞），

其值域为 ，其图像如图2-7所示.

余切函数y=cotx，x∈[0，π]的反函数（反余切函数）为

y=arccotx，x∈（-∞，+∞），

其值域为（0，π），其图像如图2-8所示.

2.复合函数

根据物理学知识，在地球的引力范围内，离地球表面不同高度h的物体所具有的势能E也不同，即有E=gh，这里g为重力加速度，如果进一步考虑作自由落体运动的物理的势能，关心在任意时刻t其高度为h-s时的势能，显然有.这相当于将自由落体运动中位移与时间的关系式代入到了势能的表达式中.这种涉及三个以上变量之间关系的一种情况即是函数的复合过程，得到新的函数称为复合函数（compound function）.

定义3　设变量y是变量u的函数，y=f（u），而变量u是变量x的函数u=φ（x），如果给定变量x的值通过中间变量u可以确定y的值时，则称y是x的复合函数，记作y=f（φ（x））.

例8　（1）试通过y=sinu，u=1+x2求出y关于x的复合函数.（2）问能否通过y=arcsinu，u=2+x2构成y关于x的复合函数？

解　（1）由y=sinu，u=1+x2确定的复合函数是y=sin（1+x2），定义域是（-∞，+∞）.

（2）不能.由y=arcsinu，u=2+x2复合成的函数y=arcsin（2+x2）的定义域为空集，此复合函数无意义.

事实上，许多函数可以认为是复合函数，例如sin（2x）、3-x和等.将函数看作是几个简单函数的复合在微积分中具有重要意义，特别是判断函数的连续性、可导性以及在求这些函数的导数的过程中都有重要的作用.

2.1.3　基本初等函数和初等函数

高等数学中称常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数为基本初等函数（fundamental elementary function）.为了学习方便，下面逐一列举这些函数以及一些相关等式：

（1）常数函数　y=C（C是常数）.

（2）幂函数　y=xα（α为任意实数）.

（3）指数函数　y=ax（a>0，a≠1）.特别当a是e=2.718281828459045…这个无理数时，得到指数函数y=ex，它在高等数学中是常用的函数之一.

（4）对数函数　y=logax（a>0，a≠1）.特别当a=e时，对数函数称为自然对数，常记为lnx，即logex=lnx.

值得注意的是：指数函数和对数函数互为反函数，有下列恒等式成立：

（5）三角函数　y=sinx；y=cosx；y=tanx；y=cotx；y=secx；y=cscx

三角函数有下列常用恒等式：

（6）反三角函数　y=arcsinx；y=arccosx；y=arctanx；y=arccotx.

由基本初等函数经过有限次四则运算和函数复合运算所得到的仅用一个解析式表达的函数称为初等函数（elementary function）.例如，y=log3（x2+3x+5）都是初等函数，而分段函数不是初等函数.