第二节 基于知识理解与思维方法的数学解题

一、波利亚如何解题的相关理论

在平时的数学学习中，要通过解题达成对数学知识，特别是数学概念的本质理解、梳理一类问题的通性通法、学会思考，发展思维能力，就要尽可能的“解透”题目，如何才能算解透一道题呢？在这里，我们不妨先回顾一些波里亚在《怎样解题》中对数学解题的四个基本要求：

第一步，你必须弄清问题

未知数是什么？

已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？

条件是什么？

满足条件是否可能？

要确定未知数，条件是否充分？

或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

画张图。

引入适当的符号。

把条件的各个部分分开.你能否把它们写下来？

第二步，找出已知数与求知数之间的联系

如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。

你应该最终得出一个求解的计划。

拟定计划。

你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？

你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？

看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗？

你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？

你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？

回到定义去。

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？

你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

第三步，实行你的计划

实现计划。

实现你的求解计划，检验每一步骤。

你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？

第四步，验算所得到的解

回顾反思。

你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？

你能不能把这结果或方法用于其他的问题？

这就是波利亚的《怎样解题》表，是波利亚在分解解题的思维过程得到的，看似很平常的解题步骤或方法，其实却已包含几代人的智慧结晶和经验总结。在这张包括“弄清问题”“拟定计划”“实现计划”和“回顾反思”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的，他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和二十三个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程进行分解，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着，易于操作。波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动。他说《怎样解题》这本书就是实现这种计划的初步尝试，“怎样解题表”实质上就是试图诱发灵感的“智力活动表”，波利亚的《怎样解题》表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理……”波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题的过程，实际上是他解决和研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数学，特别是研究解题方法时的优势所在，绝非“纸上谈兵”。回过头来想一想，我们会发现自己在解决问题时的确或多或少地经历了这样一个过程。

我们在解题时，为了找到解法，实际上也思考过表中的某些问题，只不过不自觉，没有意识到这些问题罢了。在解决实际问题时，我们可能又忽略许多解决问题的方法和细节。因此我们需要控制自己的思路，用顽强的意志不断地模仿解决问题的步骤和方法，争取达到灵活运用和创造性地解决问题的程度。按波利亚提出的这些问题和建议去寻找解法，在解题的过程中，必将使自己的思维受到良好的训练，久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有益的思维习惯。

二、基于知识理解与思维方法的数学解题

通过对波利亚如何解题的分析，我们发现，成功解决数学问题的关键环节在于“拟定计划”环节上，这一环节充分体现了数学思维的灵活性，对一般的解题者而言，有时很难做到。为此，我们从“解题目，为什么”的角度，把解题的重心放在“审题”和通过一般思维方法寻找解题思路两个关键环节上，把重点放在对知识的理解和思维方法两个方面，从而最大限度克服通过题海战术提升解题能力的弊端，使数学解题回归到促进概念理解和发展思维能力的本源上。

例1-4　已知关于x的三个方程x2-mx+4=0，x2-2（m-1）x+16=0，x2+2mx+3m+10=0至少有一个方程有实数根，求实数m的取值范围。

（一）审题

1.审题审什么

弄清楚题目的已知条件是什么，共几个，其数学含义是什么？

弄清楚题目的结论是什么，共几个，其数学含义是什么？

本题所给的三个方程都是关于未知数x的二次方程，且一次项和常数项含有参数m，三个方程“至少有一个方程有实数根”等价于“恰有一个方程有实根”“恰有两个方程有实根”“恰有三个方程有实根”，在此条件下，求参数m的范围。

2.审题怎么审

读题——弄清楚字面意思；

理解——弄清数学含义；

表征——用图形语言与符号语言加以表达。

解决此题的关键是对“三个方程中至少有一个方程有实数根”数学含义的理解，我们可以将其直接转化、也可以间接去考虑，但我们往往没有从“至少有一个”的数学本源去寻找思路，从而与简洁的做法擦肩而过。

（二）寻找已知与所求之间的联系

由于所求的m是已知二次方程的系数，所以，利用三个关于x的二次方程有实根就可以获得m的不等关系，从而通过解不等式组求出m的范围。

（三）运算求解

解法1　直接法

“恰有一个方程有实根”等价于

“恰有两个方程有实根”等价于

“三个方程都有实根”等价于

然后，求并集即可获得m的范围。

解法2　间接法

“三个方程至少有一个方程有实数根”的否定等价于“三个方程都没有实根”，即，得到m的范围后，在实数范围内求补集即可。

解法3　直接法（基于对“至少有一个”的本质理解）

“三个方程至少有一个方程有实数根”等价于Δ1≥0，或Δ2≥0，或Δ3≥0，即三种情况求并集即可。

解法4　分离参数

由题意，，通过变形，利用基本不等式分别求出三个关于x的函数的值域，求并集即可。

（四）检验作答

特殊性检验、漏点检验、充要性检验

对于解法4，在x=0，x=-3/2时要进行检验。

例1-5　已知点A（-1，0）是抛物线y=x2-1上一定点，B、C是其上的动点，且满足AB⊥BC.当B点运动时，求点C横坐标的取值范围。

第一步，审题

“已知点A（-1，0）是抛物线y=x2-1上一定点”翻译为图形语言“B、C是其上的动点”翻译为：设B（xB，yB），C（xC，yC）

“AB⊥BC”翻译为

所求：求xC的范围。

第二步，探寻解题思路

从所求问题出发，利用模式识别、化归转化、类比迁移等建立所求与已知之间的关系。

思路一

由于所求问题为“求某一参数的范围”的一类问题，最常用的是函数思想，“求xC的范围”说明xC在变化，那么，它的变化一定至少与另一个量的变化有关，由题意可知，xC的变化是由xB的变化引起的，故，只需建立xC=f（xB），进而转化为求函数的值域问题即可，这也是我们在求参数范围问题时为什么首先分离参数的原因。

思路二

在建立xB，xC关系的过程中，如果不能分离两个变量，也就是如果得到含有f（xB，xC）=0以及不等式组构成的混合组，我们要通过方程的思想，根据一个量根的情况确定另一个量的范围。

显然，思路一是我们首选的方法。

从上述思路探寻过程可以看出，思路探寻过程最重要的是掌握“在明确要解决问题的基础上，基于问题，通过模式识别、化归转化、层次解决、特殊探路、极端原理等思维方法”，不断地分析与综合，最终找到解决问题的路径，这是提升数学解题能力的又一个关键环节。

第三步，推理与运算

确定运算方向（明算理）：xC=f（xB）

分析运算条件：由已知，①②③式中共有4个变量，三个独立方程，故可消去yB，yC.

实施恒等变形（每一步变形需紧紧围绕预算目标展开）：

将①②代入③可得（xB-1）（xC+xB）=-1，

当xB-1＞0时，xC≤-3；当xB-1＜0时，xC≥1.

第四步，对结果的检验与完善

由题意，xB≠-1，又当xB=-1时，xC=3/2；

另一方面，xC=3/2时，xB=-1，或xB=1/2＜1

综上，点C横坐标的取值范围是（-∞，-3]∪[1，+∞）

第五步，解题后的反思

从本题思路的发现过程可以看出，总结一类问题的常用方法是非常必要的。我们经常说要形成知识系统，而知识系统来源于从不同层面总结的一类问题的通性通法。同时，运动变化的思想、函数的思想在思路的发现过程中起到了指引的作用，所以说，数学思想方法是灵魂。

在平时的数学解题过程中，如果按照这样的步骤解题，才算得上“精做”，才能有大的收获！

在接下来的章节，我们将从“知识的本质理解”“思维方法”两个角度对高中数学中的难点内容“函数与导数”和“解析几何”两大难点问题进行剖析，让我们看到，只要基于以上两点，我们也可以顺利解决这些“压轴题”，甚至在不增加知识的情况下，还能解决自主招生和数学竞赛中的许多问题，让我们一起体验吧！