第一章 解题目，为什么

第一节 解题目，为什么

一、数学学习与数学解题

数学学习离不开解题，但解题并不是数学的全部，从数学诞生的那天起，数学学习与数学解题之间的矛盾就一直持续。美国数学教育家柯朗在《什么是数学》中就指出：“两千多年来，人们一直认为每一个受教育者都必须具备一定的数学知识。但是，今天，数学教育的传统地位却陷入了严重的危机之中，而且遗憾的是数学工作者要对此负一定的责任，数学教学有时竟演变成空洞的解题训练，这种训练虽然可以提高形式推理的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考……相反，那些醒悟到培养思维重要性的人，必然会采取完全不同的做法，即更加重视和加强数学教学……真正理解数学是一个有机的整体，是科学思考与行动的基础。”目前，义务教育数学课程标准（2011版）和高中数学课程标准（2017版）已经颁布并开始实施，其核心是通过数学的学习，形成数学的核心素养，即能用数学的眼光观察世界，能用数学思维分析世界，能用数学的语言表达世界，并在运用数学知识解决问题的过程中体会数学的应用价值和文化价值。那么，在上述培养学生数学核心素养的总目标下，学生的数学学习是否仍然需要大量做题？什么样的数学解题才是基于数学学科核心素养形成与培养的？这些问题的思考，有助于教师带领学生跳出“题海”，用尽可能少量的题目达成提升数学解题能力、形成数学核心素养的总目标。

如何才能从尽可能少的题目中达成提升解题能力的目标呢？我们应该首先弄清楚“做题目，为什么”。

二、解题目，为什么

就中学阶段所遇到的数学题目来说，大多数是经过加工后，有明确的已知条件和所求结论，并用数学文字语言、符号语言或图形语言表达的问题，这些问题大多具有确定的答案。当然，还有一小部分是结论不确定的开放性问题、探究性问题或通过加工的应用题，那么，通过解这些题目要达成什么样的目标呢？

（一）通过解题加深对数学知识本质的理解

数学知识包括数学的概念、公式、定理、公理、性质等及其蕴含在其中的数学思想方法，对数学知识本质的理解是永无止境的，对数学知识本质理解得越深，越有利于数学解题能力的提升，而数学能力的提升，又反过来促进对数学知识的理解。因此，解题的主要目的之一便是对数学知识的本质理解。

例1-1　求的值域.

【分析】这是一道求一元函数值域的问题，值域是函数自变量取遍定义域内的每一个值所对应的函数值的集合，求函数值域的通法是利用求导的方法，利用函数的单调性求出函数的最值，进而得到值域。如果观察到这个函数解析式的结构特征，即其分式的分子与分母是齐次的特点，不用求导，而是用初等方法就可以解决。由于分母x-1是多项式，若直接将其放到根号内，变形后的表达式较为复杂，这时，我们利用函数值域的定义，再结合值域的几何特征，发现图像的左右平移并不改变函数的值域，利用函数值域的平移不变性，由于函数y=f（x）与函数y=f（x+1）的值域相同，问题转化为求函数的值域问题了。显然，这样的转换的好处在于可将其分母x-1化为单项式x，大大简化了代数变形的难度。简解如下：

当x＞0时，f（x+1）=，令1/x=t＞0，则

，t＞0，所以y∈（1，+∞），

同理可得，当x＜0时，

t＜0，.

通过对本题的解决，加深了对函数值域的理解，特别是从“形”的角度的理解，即函数值域就是函数图象在y轴上“投影”所覆盖的区域的范围，这就是解决此问题的价值所在。如果有了这样的理解，再遇到类似问题，我们就能够找到更好的方法了。例如，已知函数f（x）=x2+ax+b的值域为[0，+∞），且不等式f（x）＜c的解集为（m,m+6），求c的值。这样的问题，我们就能看出答案了。或许，在有些人的眼里，这叫做解题“技巧”，但实际上，只是对数学概念的理解更深一些罢了。

（二）通过解题梳理一类问题的通法

如果就题解题，数学有永远也解不完的题目，进而陷入“题海”，如果能从一道问题的解法中，通过梳理，获得一类问题的“通法”，就有可能跳出题海。

例1-2　设函数，求的值；

这是见诸于许多资料的一道题，显然，逐个将自变量代入表达式是不可能的，注意到所求自变量中，与首尾等距离的两个数之和均为1的特点，猜想其相应的函数值的和应该为定值，进而，对于表达式f（x）+f（1-x），我们取特殊值x=0和x=1，得f（0）+f（1）=1，猜想，函数对任意的x均有f（x）+f（1-x）=1，再给出一般的证明，问题就解决了。如果解题到此为止，解这道题的价值并不大，因为我们没有通过反思、归纳获得这一类问题的通法，若下次遇到一个函数不是这个函数的类型，对解题者来说又成为一个全新的问题了，这是形成“题海”的根源所在。实际上，对于给定的一个具体函数，例如，我们是很难事先获得此函数图像关于点成中心对称这一特殊性质的，我们是先观察到所求式子中自变量之间的规律性，即自变量成等差数列后，利用等差数列的性质，猜想对应函数值之间或许有某种确定关系，然后加以证明，再利用此性质去解题的，这就是解决这类问题的“通法”。有了这个通法，例如，面对这样一个问题：

已知函数，则=____.我们的着眼点是，显然，与首末等距离两数和总是1，我们猜想g（x）+g（1-x）为定值m，即g（x）+g（1-x）=m，所以g（x）关于点对称，由于，所以g（x）关于点对称，进而有。形成一类问题的通法，这是解题的价值所在。

（三）学会思考

这里所说的“学会思考”是指拿到一个数学问题通过“怎样思考”才能找到解题思路，这是制约数学解题能力提升的关键所在。所以每解完一道题，都应该梳理一下解法获得的过程，这样的梳理，不只是提升分析问题解决问题的能力，更重要的学会如何基于问题，通过模式识别、化归转化、层次解决等找到解题思路，提升数学思维能力。

例1-3　在平面直角坐标系中，已知A（1，3），B（6，1），C（3，4）.若P（x,y）是三角形ABC区域内（包括边界上）的一点，则xy的最大值是____.

我们知道，问题是数学的心脏，明确了问题，我们的思维活动才能开始。对于本题而言，我们首先要明确，要求的“xy的最大值”这是一类什么样的问题？即函数的最值问题，这个函数是一元函数还是二元函数？二元函数，这个二元函数的最值问题是有约束条件还是没有约束条件的？有约束条件。约束条件是等式还是不等式或不等式组？不等式组，对于这类非线性二元最值问题，我们之前虽然没有经验，但类似有哪些解法可以借鉴？求形如x+y,x-y的问题，如何解的？令x+y=m，则方程表示直线，m表示直线在x轴的截距，数形结合即可。对于xy你能类比此方法求解吗？令k=xy，则y=k/x，这是初中学过的反比例函数，它是等轴双曲线，对称轴为y=x，渐近线是坐标轴，当k为正且由小到大变化时，图像就沿对称轴远离坐标原点。数形结合，当y=k/x在第一象限的图像移动到对称轴与线段BC的交点时，k最大，最大值为49/4，下面反思一下是如何找到解题思路的。明确问题（非线性二元函数最值问题）→类比线性函数最值的解法→引入参数，将二元函数转化为一元函数→数形结合，利用参数的几何意义求解。简言之，就是基于问题，不断分析与综合，最终通过模式识别、化归转化、层次解决的思维模式，找到解题思路，这是解题的思维价值所在，也是解题目为什么的核心所在。在后续章节中，我们会看到用这种思维方式对分析问题解决问题能力提升的巨大作用。当然，解题除了上述三个目的之外，还有查漏补缺、巩固知识、熟练技能等作用，所以，解题不在多少，而在是否“透彻”。