3.2 计算机控制系统的数学描述

3.2.1z变换与逆z变换

z变换分析方法是分析线性离散系统的重要方法之一。利用z变换可以很方便地分析离散系统的稳定性、稳态特性和动态特性。z变换分析法还可以用来设计线性离散系统。

1．z变换的定义

设离散控制系统中某处的离散信号为f*(t)，可用

来表示。若对它进行拉氏变换，得

式（3-9）中含有无穷多项，且每一项均含有e-kTs，它是一个超越函数，为了运算方便，令z eTs=，则式（3-9）可写为

在式（3-10）中，F(z)称为f*(t)的z变换式，并表示为

式（3-11）是z变换的定义，它是在f*(t)的拉氏变换中，令z eTs=而得到的变换式。变量z是一个复数，且z=eTs=eT(σ+jω)=eσTejωT。

f*(t)是z变换的原函数。由式（3-11）可以看出，离散函数f*(t)的z变换F(z)与采样点上的采样值有关，所以当已知F(z)时，便可以求出时间序列f(kT)，或者当知道时间序列f(kT),k=0,1,2, …时，便可以求得F(z)。

2．z变换的求法

对某时域函数f*(t)进行拉氏变换或z变换时，可以在拉氏变换或z变换定义的基础上，根据函数给定条件和形式，通过数理分析和各种演算法，如级数求和法、部分分式（查表）法和留数计算法等，求得其结果。下面以实例予以说明。

（1）级数求和法

例3-1 求单位阶跃时间序列f(kT)=1(kT)的z变换式。

解：单位阶跃函数f(kT)在各个时刻的采样值为

根据式（3-11）可写出

若z 1＞，则式（3-13）的无穷级数是收敛的，利用等比级数的求和公式可将其化简为

显然，这是根据z变换的定义，采用级数求和法求得z变换式的。

例3-2 试求f(kT)=e-akT的z变换F(z)。

解：

或。

这里也是采用了等比级数求和法求得z变换式的。

例3-3 试求f(kT)=ak的z变换F(z)。

解：

或。

（2）部分分式（查表）法

工程上已经根据拉氏变换和z变换的定义，将一些常见的典型时域函数转换成该函数对应的拉氏变换式和z变换式，因此，也可以在将时域函数f(t)或传递函数G(s)分解成若干典型函数的组合式的基础上，通过查表方法，求出f(t)的拉氏变换式和z变换式。这种求拉氏变换和z变换的方法，称为部分分式（查表）法。表3.1列出了分析问题时，若干常见典型的时域函数、拉氏变换和z变换之间的直接互换关系式。

例3-4 已知，求它的z变换F(z)。

解：先对F(s)进行分解，将它写成部分分式形式

有

（3）留数计算法

数学中的留数计算法为

式中，

ri——极点阶数；

T——采样周期；

Res[·]——极点z=zi处的留数。

在已知连续函数x(t)的拉氏变换式X(s)及全部极点si的条件下，可采用式（3-15）所描述的留数计算法求x(t)的z变换式。

例3-5 已知某控制系统的传递函数为

试求其z变换式。

解：由传递函数求出的极点为

根据式（3-15）计算其z变换如下：

例3-6 求连续时间函数

对应的z变换。

解：x(t)的拉氏变换为

上式的双重极点为

s1,2=-a,r1,2=2

用式（3-15）对X( )s进行变换后，得

3．z变换的性质及其基本定理

z变换的性质和原理与拉氏变换的性质和原理很相似。本书将证明介绍几种常用的性质和原理，以帮助读者进一步熟悉和掌握z变换的计算。

（1）线性定理

设有Z[f1(kT)]=F1(z),Z[f2(kT)]=F2(z)，且a、b为常数，则有

Z[af1(kT)]=aF1(z),Z[bf2(kT)]=bF2(z)

Z[af1(kT)+bf2(kT)]=aF1(z)+bF2(z)

根据这个性质，可以说z变换是一种线性变换，或者说是一种线性算子。

（2）右移（滞后）定理

设Z[f(kT)]=F(z)，且kT＜0时，f(kT)=0，则有

Z [f(kT-nT)]=z-nF(z)

这就是离散信号的滞后性质，z-n代表滞后环节，它表明f(kT-nT)与f(kT)两信号形状相同，只是前者比后者沿时间轴向右平移了（或滞后了）nT个采样周期。

（3）左移（超前）定理

设Z[f(kT)]=F(z)，且kT＜0时，f(kT)=0，则有

这就是离散信号的超前性质，zn代表超前环节，表示输出信号超前输入信号nT个采样周期。zn在运算中是有用的，但实际上是不存在超前环节的。

当n 1=时，有Z[f(kT+T)]=zF(z)-zf(0)。

（4）初值定理

设有Z[f(kT)]=F(z)，则有

例3-7 求单位阶跃序列u(kT)的初值u(0)。

解：因为

由初值定理可得

（5）终值定理

设有Z[f(kT)]=F(z)，且存在，(1-z-1)F(z)在单位圆上及单位圆外无极点，则有

例3-8 求单位阶跃序列u(kT)的终值u(∞)。

解：

（6）卷积定理

设有Z[f1(kT)]=F1(z),Z[f2(kT)]=F2(z)，且当t＜0时，f1(kT)=f2(kT)=0，若定义，则卷积的z变换为

Z[f1(kT)*f2(kT)]=F1(z)F2(z)

该定理表明如果两个时间序列在时间域上是卷积关系，则在z域中是乘积关系。

（7）复位移定理

设a为任意常数，且Z[f(kT)]=F(z)，则有

Z[e±atf(kT)]=F(e∓aTz)

（8）复域微分定理

设Z[f(kT)]=F(z)，则有

（9）复域积分定理

设Z[f(kT)]=F(z)，且极限存在，则有

4．逆z变换

z变换是把离散变换时间函数f(kT)（原函数）变成F(z)。反之，逆z变换是把F(z)变成f(kT)，所得时间函数f(kT)是离散的。逆z变换常用Z-1[F(z)]来表示，即

计算逆z变换的常用方法与3.2节中计算z变换的方法相似，有留数计算法、长除法和部分分式法等。

（1）留数计算法

函数F(z)可以看作是复数平面上的劳伦级数，级数的各项系数可利用积分

求得。积分路径c应包括被积式中的全部极点。根据留数定理，有

因为

所以

（2）长除法

设F(z)是z-1或z的有理函数，即

用长除法展开成按z-1升幂排列的幂级数

由z变换的定义得

比较以上两式得

所以

f(kT)=f0+f1δ(t-T)+…+fkδ(t-kT)+…

例3-9 设，求它的原函数f(kT)。

解：运用长除法，先将F(z)变换式写成式（3-21）的形式

再进行如下演算：

对照式（3-24），得f(0)=0,f(T)=10,f(2T)=30,f(3T)=70,f(4T)=150, …

从而求得F(z)的逆z变换Z-1[F(z)]，即原函数f(kT)为

Z-1[F(z)]=f(kT)=0+10δ(t-T)+30δ(t-2T)+70δ(t-3T)+150δ(t-4T)+…

实例表明，长除法的演算过程虽简明，但当它的分子和分母的项数较多时，用它求逆z变换就失去其优势而显得麻烦。

（3）部分分式法

在求原函数f(kT)的z变换F(z)时，曾阐述过这种方法。当要求F(z)的逆z变换Z-1[F(z)]，即原函数f(kT)时，也可以采用部分分式法求出F(z)的逆z变换式Z-1[F(z)]。两者的变换过程十分相似。

设

展开为

其中

则其逆z变换为

例3-10 已知，求F(z)的逆z变换式Z-1[F(z)]。

解：先将F(z)展开成部分分式

查表3.1知

故有

f (kT)=(2k-1),k=0,1,2, …

f (0)=0,f(T)=1,f(2T)=3,f(3T)=7,f(4T)=15,…

从而求得F(z)的逆z变换式，即原函数f(kT)为

Z-1[F(z)]=f(kT)=0δ(t)+δ(t-T)+3δ(t-2T)+7δ(t-3T)+15δ(t-4T)+…