2.3　多重分形的概念

对于一个简单的分形结构，用一个分形维数就可以描述它的特征。但是对于自然界中许多复杂的现象，它们包含了多个层次的结构，每个层次具有不同的统计特征。这时用一个参量就不足以描述其特征，而需要多个（有时甚至是无限多个）参量。这就需要引出多重分形的概念。一个多重分形集可以认为是许多单一分形集的集合，这些单一分形集拥有各自的分形维数，同时自由地相互纠缠联系在一起。多重分形定义为，在分形结构上的由多个标度指数的奇异测度组成的无限集合，它刻画了分形测度在支集上的分布情况，即用谱函数来描述分形不同层次的特征，从系统的局部研究其最终的整体特征。

以下我们以Cantor集为例来介绍多重分形的概念。

图2-8中给出的Cantor集是一种简单分形，其组成部分是全同的，例如各个线段的质量是均匀分布的。如果各组成部分的质量是不同的，即质量这一性质不再是一个均一数值，而是一个概率分布，那么此时一个简单的分形维数就无法完整刻画Cantor集质量分布函数的局域分形结构，大量描述局域分形结构的分形指数所组成的奇异性连续谱函数就构成了Cantor集的多重分形结构。

这可以从最简单的例子入手来理解。首先，为了描述Cantor集中各个部分质量不一的特征，以新的构造方式来重新生成Cantor集。图2-16是一种质量分布不均匀的Cantor集，每迭代一次，将原有线段三等分并去掉中间1/3段，余下两段的质量分布概率分别为P和1-P，从而保证质量守恒；接着再在两个1/3段分别进行同样的迭代操作，进而形成4个线段，此时的质量分布概率有三种，即P、P（1-P）和（1-P）²；如此迭代操作k次后，总的线段数量达到2^k个，每个线段长度为

　　（2-7）

式中　ε——迭代k次时，每个线段的长度；

k——迭代的次数。

其质量分布概率分别为

　　（2-8）

式中　P_i（ε）——迭代k次时，每个线段的质量分布概率；

i——特定的某条线段，其取值为0，1，2，3…2^k；

k——迭代的次数，取值为k=∞；

m——整数，取值为0，1，2，3…k。

具有相同概率P_i（ε）的线段数分别为

　　（2-9）

式中　N（P_i）——迭代k次时，具有相同概率P_i（ε）的线段数。

这样，各线段长度ε的P_i（ε）和N（P_i）构成一个分布集合（理论上该集合可以有无穷，即k=∞）。

表2-1以P=0.4为例，列出了k=0，1，2，3，4时的质量概率分布形成的集合，其中P和N分别表示概率的值和具有相同概率的线段数目。

可以将全部概率分布P_i（ε）组成的集划分成一系列的子集，每个子集满足幂函数

P_i（ε）∝ε^α　　（2-10）

式中　α——奇异性指数。

这里α对质量密度概率分布的奇异性起了关键作用。如果线段质量分布是均匀的，则α值必然只有一个数值，此时

　　（2-11）

根据P_i（ε）∝ε^α可以得到

α=ln2/ln3=0.631

这即是均匀化Cantor集的分维值。

若线段质量分布是不均匀的，α值就存在大小不等的许多数值。从表2-1可以看出，该不均匀的Cantor集存在两个特殊的子集，其中一个是最大概率子集（0.6⁰，0.6¹，0.6²，0.6³…），另一个是最小概率子集（0.4⁰，0.4¹，0.4²，0.4³…）。最大概率子集对应的奇异性指数为

　　（2-12）

式中　α_max——最大概率子集对应的奇异性指数。

而最小概率子集对应的奇异性指数为

　　（2-13）

式中　α_min——最小概率子集对应的奇异性指数。

其余概率子集对应的奇异性指数介于0.465和0.834之间。因此，最大α值对应着最小概率子集，而最小α值对应着最大概率子集。最大α值和最小α值之间的差异（即Δα=α_max-α_min），反映了线段质量分布的不均匀程度。如果Δα越大，说明线段质量分布的不均匀程度越高，质量密度概率分布的奇异性越强。

同时，将全部子集内的线段数目也划分成一系列的子集，每个子集满足幂函数

　　（2-14）

式中　f（α）——相同α值的子集的分形维数；

N（ε）——线段长度为ε时，相同α值的子集的线段数目。

这里f（α）的物理意义是表示相同α值的子集的分形维数。一般就把f（α）称之为多重分形。从表2-1可以看出，该不均匀的Cantor集的最大概率子集和最小概率子集在各个线段长度ε下α值相同的单元个数N（ε）均为1，所以最大概率子集和最小概率子集的f（α）都是0。这表明该不均匀的Cantor集测量度最大和最小的子集都是最少的。与之相反，最可几子集对应于N（ε）最大的子集，即P_i（ε）为（0.4⁰×0.6⁰，0.4¹×0.6¹，0.4²×0.6²，0.4³×0.6³…），且N（ε）随着线段长度ε的减小而增长的速度越来越快。当ε趋于0时，可以得到

f（α）=ln［N（ε）］/lnε=0.631　　（2-15）

此时相应的

α=0.649

即是说，α=0.649的子集的分形维数是0.631，此时子集的数量最大，可称之为最可几子集。该不均匀Cantor集的最可几子集的分维与简单均匀化Cantor集的分维相同，这是由于ε趋于0过程中，N（ε）增长速度越来越快，随着整个线段数量的快速增加，相对而言，属于其他α值的线段数就忽略不计了，这样最可几子集也就等价于简单均匀化Cantor集。

不均匀Cantor集包含了无限多个P和N，因此它可以划分为无限多个子集，每个子集都有各自的α值和f（α）值，它们共同形成了一个多重分形谱f（α）。

多重分形分为规则多重分形和不规则多重分形。其中规则分形可以用解析方法或统计物理的方法求得多重分形谱。现实生活中面对的往往是不规则的多重分形对象，对于不规则分形的多重分形谱一般是通过计算机用各种多重分形方法求出不均匀分布物理量的概率分布，再借助统计物理量的有关公式进行数值求解。不规则分形多重分形谱的具体算法将在下一章进一步论述。