2.2.3　计盒维数

相对于Hausdorff维数，计盒维数非常形象地展示了分形维数的测量原理，在各个领域中应用也较广。

计盒维数D_b可以依托简单的欧氏空间来进行分析计算。计盒维数的原理是这样：要计算分形体的计盒维数，可以将这个分形体放在一个均匀分割的网格上，统计最小需要几个盒子来覆盖这个分形体。当逐步精细化改变盒子几何空间大小，统计分析所需覆盖盒子数目的变化，从而计算出计盒维数。假设当盒子的边长是r时，把空间平均分割成无数个盒子，设定N（r）是覆盖有分形体的盒子的最小数目，那么D_s确定为

　　（2-6）

式中　D_s——计盒维数；

r——盒子的边长；

N（r）——当盒子的边长是r时，覆盖有分形体的盒子的最小数目。

图2-14以Koch曲线为例，介绍了计盒维数的测量过程。图2-14中，下面子图中覆盖Koch曲线的盒子边长比上面子图的要小一半，下面子图中覆盖Koch曲线的盒子数量为221个，而上面子图中覆盖Koch曲线的盒子数量为94个。这样计盒维数为

图2-14　Koch曲线的计盒维数测量

这个结果非常接近其理论分维值1.26。考虑到统计过程没有精确计算盒子边长r趋于0时的变化，因此结果可能会存在一定的误差。统计更多盒子尺寸的变化，可以减小测量误差。

计盒维数不仅仅可以应用于特定结构的分形体，还可以广泛应用于实际。图2-15则是用于测量英国海岸线的计盒维数。

图2-15　英国海岸线的计盒维数测量

图2-15中，左边子图中覆盖海岸线曲线的盒子边长比右边子图的要大一倍，统计发现左边子图中覆盖海岸线曲线的盒子数量为128个，而上面子图中覆盖海岸线曲线的盒子数量为278个。这样得到的计盒维数为

同样，统计更多盒子尺寸的变化，可以减小测量误差。

以上简单介绍了Hausdorff维数、计盒维数的测量原理，还有许多实用的分形维数定义，例如信息维数、关联维数、信息维数、容量维数等，它们各自有不同的测度和适用对象，具体数学理论知识可进一步参考其他相关分形理论著作。本书第3章将详细探讨有关时间序列分形维数的概念、计算方法及其应用。