2.1.3　其他重要的分形结构

（1）Cantor集

1883年，德国数学家Cantor提出了如今广为人知的三分Cantor集，或称Cantor集。很容易构造出三分Cantor集的结构，然而，该结构却显示出最典型的分形特征。

图2-8所示为Cantor集的构造过程。

第一步，把一条线段［0，1］平均分为三段，去掉中间的1/3部分段，则只剩下两个闭区间线段［0，1/3］和［2/3，1］。

第二步，再将剩下的两个闭区间线段各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间线段，即［0，1/9］，［2/9，1/3］，［2/3，7/9］和［8/9，1］。

第三步，重复上述过程，删除每个小区间中间的1/3段。如此不断地迭代下去，最后剩下的各个小区间段就构成了Cantor集。

从图2-8中可以看出，Cantor集在线段［0，1］上的分布是非常不均匀的。如果把该线段想象成一条时间轴的话，Cantor集代表了时间轴上发生的无限多个“点”事件，这些“点”事件之间的时间间隔服从幂律分布。这提供了描述自然界许多现象演化过程的重要模型。例如，Mandelbrot最早发现电子通讯线路中误差的出现与Cantor集是非常相似的，误差不是随时间均匀出现，而是团簇状态的不连续出现。一簇簇的误差段中包含着无误差的段落，而仔细观察下，无误差的段落中仍包含着更精细的一簇簇的误差，如此嵌套结构，成为分形时间序列的实例。在此思想启发下，地震发生、股票波动等自然、社会现象的时间演化数学模型得到了新的发展。

（2）Sierpinski垫片

1915年，波兰数学家Sierpinski提出了Sierpinski三角形结构。

图2-9所示为Sierpinski三角形的构造过程。

第一步，取一个实心的三角形，例如采用等边三角形。

第二步，沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，同时去掉中间的那一个小三角形。

第三步，对其余三个小三角形重复上述过程。如此不断地迭代下去，最后剩下的各个小三角形结构就构成了Sierpinski三角形。

如果用上面的方法无限连续地迭代下去，则Sierpinski三角形的面积将趋近于零，而它的周长越趋近于无限大。

Sierpinski地毯的构造与Sierpinski三角形相似，区别仅在于Sierpinski地毯是以正方形而非等边三角形为基础的。将一个实心正方形划分为的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到Sierpinski地毯。图2-10所示为Sierpinski地毯的构造过程。

当然，上述结构可以推广到三维图形中，即Menger海绵。图2-11所示为Menger海绵结构。这种三维结构拥有大量孔洞，如果无限连续地迭代下去，Menger海绵的体积将趋近于零，而它的表面积却趋近于无限大。由于该分形结构的独特性，使其在物质材料的结构解析、新型催化剂的设计、化学反应动力学的模拟等方面发挥了重要的应用。

（3）Mandelbrot集

Mandelbrot集堪称人类有史以来做出的最奇异、最瑰丽的几何图形，曾被称为“上帝的指纹”。Mandelbrot集是复数平面中的点集，这个点集均出自复函数迭代公式：

　　（2-3）

式中　Z——复函数；

n——整数，取值为0，1，2，…，∝；

C——复参数。

对于每一个C，从Z₀=0+0j开始计算，如果Z_n收敛，则C在集合中。对于所有复数C组成的集合，就构成Mandelbrot集。分形图形是可以无限递归下去的，它的复杂度不随尺度减小而消失。Mandelbrot集的神奇之处就在于，可以对这个分形图形不断放大，不同的尺度下所看到的景象可能完全不同。放大到一定时候，可以看到更小规模的Mandelbrot集，这证明Mandelbrot集是自相似的。图2-12的15幅子图演示了Mandelbrot集的一个放大过程。可以在这个过程中看到不同样式的分形图形。