5.3 非爱因斯坦相对论给出的引力场的能量守恒方程

我们知道，牛顿理论只能用于质点运动速度远小于光速的情况。当引力场很强时，在引力作用下的质点运动速度与光速相比不再是一个可忽略的小量，此时质点的质量也不再是一个常量，而是一个随速度变化的变量。在这种情况下，需要对牛顿力学的质点运动方程（4-8）进行修正。考虑到质量随速度变化这一因素，在非爱因斯坦相对论中，把式（4-8）修改如下：

式中质量满足相对论的质量公式，即

利用式（5-1），可以推导出

式（5-2）是非爱因斯坦相对论给出的能量守恒方程，它与牛顿引力场的能量守恒方程（4-9）在形式上是相同的，两者的区别仅在于，这里用相对论的引力势Φ代替了牛顿引力势。

在牛顿力学里能量守恒方程为式（4-9），式（4-9）中第一项代表动能，第二项代表势能，两者之和等于常数表明在运动过程中能量守恒。在相对论的情况下，引力场中物体运动的能量守恒方程为式（5-2），这里我们特意把相对论引力场的能量守恒方程写成与牛顿力学完全相同的形式，我们还把这两项分别称为等效动能和等效势能。

关于式（5-2）的推导笔者在《相对论探疑》（2013）中已有详细介绍，这里不再重复。式（5-2）中的Φ为

将上式代入式（5-2），得

这就是是非爱因斯坦相对论给出的引力场的能量守恒方程。爱因斯坦狭义相对论中缺少的正是这一方程。