4.3 马克思《数学手稿》是用辩证逻辑研究数学问题的一个典范

马克思的数学手稿，反映了马克思用辩证唯物主义思想对数学的研究。恩格斯在《反杜林论》第二版的序言中提到马克思的数学手稿意义重大。在这部著作中，马克思用辩证法的基本观点，考察了数学特别是微积分思想的历史演变，揭示了微积分学的辩证实质，分析了方法的转化在微积分建立过程中的重要意义，马克思的这些思想和方法，对于我们今天从事集合论的研究，仍有深刻的方法论意义。马克思的数学手稿表明，马克思从19世纪50年代起，对数学有过多年的研究。开始，马克思主要运用数学研究当时的经济问题，并补充自己的数学知识。1867年，《资本论》第一卷出版后，马克思的数学研究有了独立的方向。

马克思《数学手稿》的一个显著特点是，注重考查科学思想的历史演变，把分析科学思想的现状同考察它的历史结合起来，从中探求科学思想的发展规律。这是《数学手稿》所提出的一个重要的方法论原则，也是马克思运用辩证法研究科学问题的一个基本思想方法。马克思的这一思想方法，突出地体现在他对微积分问题的研究上。为了考察微积分思想的历史演变，马克思做了大量的工作[35]。

首先，马克思尽一切可能收集、阅读有关文献资料。马克思曾写了三大本有关微积分问题的笔记，对牛顿的《自然哲学的数学原理》、欧拉的《无限分析引论》《微分学基础》、穆瓦尼奥的《微分学讲义》、拉克罗阿的《微积分学》、布沙拉的《微积分学与变分学》、拉格朗日的《解析函数论》、达朗贝尔的《流体论》等这些在历史上影响较大的著作，在阅读的基础上，做了内容提要。对莱布尼兹、泰勒、马克劳林、兰登、辛德、泊松和拉普拉斯等著名数学家的微积分论著，也进行了认真的研读，并做了许多笔记。由此可见，在微积分研究上，马克思占有的文献资料是相当丰富的。

其次，为了便于从浩瀚的文献资料中概括出微积分思想的历史演变进程和规律，马克思还整理出一些专题资料，这些资料对马克思研究微积分的历史演变，完成《论导函数概念》《论微分》等论文的写作，起了极其重要的作用。

马克思自19世纪50年代开始，一直到1883年3月14日逝世为止，始终坚持微积分思想的研究工作。1882年11月22日，马克思还在病中写信给恩格斯讨论微分方法的历史演变，他概括地指出：“微分方法本身的演变进程是始于牛顿和莱布尼兹的神秘方法，继之以达朗贝尔和欧勒的唯理论方法，终于拉格朗日的严格的代数方法。”他又说：“以后有机会还要回过头来细谈各种方法。”［马克思恩格斯全集（第33卷），北京：人民出版社，1971,110］

由于马克思的逝世，马克思的数学手稿未能完成。但数学手稿所体现的马克思科学研究方法的特点，即把辩证逻辑运用于具体数学问题的研究，这使得马克思的数学手稿具有极其珍贵的科学价值。

今天我们从事数学研究，从马克思的数学手稿中可以获得许多重要的提示和启发，马克思数学手稿中的研究方法，黑格尔关于哲学与哲学史关系的论述，以及他们辩证地、发展地看待历史的观点，完全适用于我们今天从事数学和数学史的研究。我们认为，对于数学问题，可以沿着两条思路进行研究，第一条思路是，沿着逻辑发展的方向进行研究；第二条思路是沿着历史的足迹对数学进行考察。数学如同一幅宏伟的画卷，如果我们沿横向，即沿着逻辑的方向将其展开，展现在我们面前的就是一部严谨的数学教程，从少数几个公理开始，通过严格的演绎推理，得出全部的数学定理。如果我们沿着竖向，即沿着时间的方向把这幅画卷打开，展现在我们面前的就是一部完整的数学史，全部的数学内容都包含在数学史中。

目前，大多数人都是用形式逻辑的思维方法研究数学的，这种方法是从公理出发，然后用演绎推理的方法得到定理。辩证逻辑的方法则不同，把黑格尔的思想用于数学便可得出，数学史是在时间中发展的数学，全部数学内容都包含在数学史中，因此，我们可以通过考察数学的历史来研究数学。换句话说，形式逻辑是用演绎推理的方法研究数学，而辩证逻辑是沿着历史的顺序，把逻辑和历史结合起来研究数学。

黑格尔的这一思想对笔者影响很大，此后，研究任何一个问题都要结合历史进行研究。研究相对论时，研究相对论的历史；研究黑洞，从黑洞的起源开始；在研究数理逻辑时，结合数理逻辑的发展史对其进行研究。

正是在研究数理逻辑的过程中笔者发现，对立统一规律是可以用数理逻辑的方法进行证明的，这个证明今天不需要再做了，因为，早在20世纪30年代就已经有人做出来了。只是由于研究马克思主义的人大多不了解数理逻辑，而研究数理逻辑的人又不重视学习马克思主义，因此，数理逻辑的这一重要结果被马克思主义者忽视了。