1.2 悬链线的几何特征

如果你在河边散步（不管你是一个人还是牵着手），你会看到河堤防护栏上下垂的铁链（图1.6），这就是悬链线的实际模型。

图1.6 河边下垂的铁链

你有没有感到好奇，下垂链条的形状是什么？半圆，看起来不像。抛物线，很像？不要以为你是第一个想到这个问题的人，当然，如果你想到，说明你对物理还是有敏锐直觉感悟的。300多年前，伟大的伽利略和你一样，看到同样的现象，想到同样的问题，他给出的答案是：抛物线。这个答案对吗？这个问题的最终解答，要等到牛顿发明微积分以后，才能解答，正确的答案是：双曲余弦函数。没有掌握如此高等的数学工具，物理探索就不能做了吗？至少我们可以用实验的手段来验证这个曲线是不是抛物线。我们不用跑到河边，找一根细细的拴U盘的线或者蛇骨链，也能模拟。这也是物理研究的一个特点，化繁为简，化重为轻，化大为小。类似于风洞中测试飞机模型，尺寸不一样，但物理规律的形式是一样的，或者叫：相似性。抛物线是高中解析几何的基本知识，首先取坐标系，与数学题目给你坐标系不同（原点和坐标轴都给出），实际问题中的坐标系得自己选，不要给自己添麻烦，选一个最简单方便的坐标系。选原点在最低点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴的直角坐标系。悬链线上有三个点很明显，原点（最低点）和两个端点。通过原点的对称的抛物线，一个点的坐标知道了，抛物线方程确定吗？唯一吗？算出这个抛物线，然后画出来，仔细看一下图1.7，蓝线是抛物线，和实际的链条重合吗？不重合，说明当时伽利略的猜测是错误的。

图1.7 抛物线与悬链线的对比

我们能不能比伽利略先生走得更远一点？这个物理现象还有哪些可以继续挖掘的？物理现象的精髓在于变，你看，我手里拿了一根细线，什么量可以变？仔细看我的动作，对了，两个端点的水平距离（宽度）可以变，随着这个量的变化，最低点到两端点连线的垂直距离（高度）也在变，一个变大，一个变小，反之亦然。那么，这两个量是什么关系呢？首先看两个极限，一个是两端重合，这时宽度是零，高度是悬链线长度的一半。另一个极限是把悬链线拉直，这时宽度是悬链线的长度，高度是零。这两个极限对应参数图上横轴和纵轴上的两个点。理论曲线肯定不是两点连线，那么是往上弯还是往下弯？猜是猜不到的，老老实实做实验吧，测量，获取数据，画图如图1.8。图1.8中红色三角形是实验测量数据，蓝色线是理论曲线。

图1.8 悬链线宽度D与高度H的关系

由图1.8实验数据和理论曲线很好地吻合在一起，说明理论模型和分析是对的。由这个例子可以看到物理的特点，理论与实验紧密结合，相互支持。