三、计算题

1在某一个晚上，J.P.以下列效用函数的形式享用雪茄（C）与喝白兰地酒（B）：

U（C，B）＝20C－C²＋18B－3B²

（1）问：他这晚上要抽多少支雪茄，喝多少瓶白兰地酒才能得到最大效用（假定他不受预算约束）？

（2）后来，J.P.的医生告诫他：每天喝的白兰地与抽的雪茄加起来不能超出5单位，在这一条件下，他会喝多少白兰地，抽多少雪茄呢？（北京邮电大学2008研）

解：（1）由题意可知，他不受预算约束，要使他的效用最大，则需满足：

U_C′（C，B）＝20－2C＝0

U_B′（C，B）＝18－6B＝0

解得：C＝10，B＝3。

即不受预算约束时，他这晚上要抽10支雪茄，喝3瓶白兰地酒才能得到最大效用。

（2）由题意可知，他的约束条件为：C＋B＝5，在此约束条件下达到最大效用。

由C＋B＝5代入效用函数可得：

U（C，B）＝20C－C²＋18B－3B²＝20（5－B）－（5－B）²＋18B－3B²＝75＋8B－4B²

效用最大化的一阶条件为：

U′＝8－8B＝0，解得：B＝1。

将B＝1代入约束条件，可得：C＝4。

即如果每天喝的白兰地与抽的雪茄加起来不能超出5单位，为了获得最大的效用，他会喝1瓶白兰地，抽4支雪茄。

2假定效用函数为U＝q^0.5＋2M，q为消费的商品量，M为收入。求：

（1）需求函数；

（2）反需求函数；

（3）P＝0.05，q＝25时的消费者剩余。（东华大学2010研）

解：（1）由效用函数可得：∂U/∂M＝2，此即为货币的边际效用λ。

由效用函数可得：∂U/∂q＝0.5q^－0.5，此即为该商品给消费者带来的边际效用MU。

根据消费者效用最大化的均衡条件MU/P＝λ，即有：0.5q^－0.5/P＝λ＝2，整理可得需求函数为：q＝1/（16p²）。

（2）由需求函数可得反需求函数为：p＝q^－0.5/4。

（3）消费者剩余

3已知效用函数为u（x，y）＝alnx＋blny，收入为m，x、y的价格分别为P_x、P_y，求：

（1）两种商品的需求函数；

（2）当P_x＝1，P_y＝2，m＝120时，求边际替代率，并求出此时x、y的需求价格弹性和收入弹性。（山东大学2002、2007研）

解：（1）消费者的预算线方程：P_xx＋P_yy＝m。

由消费者的效用函数，可得出商品x和y的边际效用，即MU_x＝a/x，MU_y＝b/y。

根据消费者效用最大化的条件MU_x/MU_y＝P_x/P_y，可得：ayP_y＝bxP_x。

将上式代入预算线方程，可得：x＝am/[（a＋b）P_x]，y＝bm/[（a＋b）P_y]。

（2）商品x对商品y的边际替代率为：MRS_xy＝MU_x/MU_y＝P_x/P_y＝1/2。

x的需求价格弹性：

同理可得，y的需求价格弹性也等于1。

x的需求收入弹性：

同理可得，y的需求收入弹性也等于1。

4已知，某消费者的效用函数U（X₁，X₂）＝X₁^1/2X₂^1/2。请给出均衡条件的需求函数，并证明其收入将均摊于商品X₁，X₂。（中央财经大学2009研）

解：（1）由效用函数U（X₁，X₂）＝X₁^1/2X₂^1/2可得：

MU₁＝X₁^－1/2X₂^1/2/2①

MU₂＝X₁^1/2X₂^－1/2/2②

由消费者效用最大化的均衡条件可得：

MU₁/P₁＝MU₂/P₂③

联立①、②、③式可得：X₁^－1/2X₂^1/2/（2P₁）＝X₁^1/2X₂^－1/2/（2P₂）。

化简得：P₁X₁＝P₂X₂。

代入预算约束：P₁X₁＋P₂X₂＝I。

解得均衡条件的需求函数为：X₁＝I/（2P₁），X₂＝I/（2P₂）。

（2）设收入为I，则有：P₁X₁＋P₂X₂＝I。

由（1）可知均衡时有P₁X₁＝P₂X₂，所以，P₁X₁＝P₂X₂＝I/2。

因此，该消费者的收入将均摊于商品X₁，X₂。

5一个消费者，收入为120元，购买两种商品，效用为U（x₁，x₂）＝x₁^1/2x₂^1/2。

（1）设商品价格分别为P₁＝12，P₂＝10，求消费者均衡；

（2）商品1的价格下降为P₁＝10，求商品1的替代效应和收入效应。（华中科技大学2004研）

解：（1）由效用函数可得出商品x₁和商品x₂的边际效用，即：

MU₁＝x₁^－1/2x₂^1/2/2

MU₂＝x₁^1/2x₂^－1/2/2

根据消费者效用最大化的条件MU₁/MU₂＝P₁/P₂，有：

（x₁^－1/2x₂^1/2/2）/（x₁^1/2x₂^－1/2/2）＝12/10

得：5x₂＝6x₁①

另可得预算线方程为：12x₁＋10x₂＝120②

联立①②式可得x₁＝5，x₂＝6。

即消费者均衡时，消费者消费5单位x₁，6单位x₂。

（2）当商品1价格下降为P₁＝10时，同理可求得消费者均衡时，消费者消费6单位x₁商品，6单位x₂商品。现求价格下降所造成的替代效应，若维持原有效用水平不变，此时：

x₁^1/2x₂^1/2＝30^1/2

MU₁/MU₂＝P₁/P₂＝1/1＝x₂/x₁

解得：x₁＝x₂＝30^1/2。

则可得商品1的替代效应为30^1/2－5，收入效应为6－30^1/2。

6消费者消费X、Y两种商品，效用函数为U（X，Y）＝X²Y³，收入M＝100元。

（1）求对商品X的需求函数。

（2）设商品Y的价格P_Y＝3，商品X的价格P_X从2降为1，求替代效应和收入效应。（南开大学2011研）

解：（1）设商品X、Y的价格分别为P_X、P_Y，根据消费者均衡条件MU_X/P_X＝MU_Y/P_Y，得：

2XY³/P_X＝3X²Y²/P_Y

整理得：2P_YY＝3P_XX。

再结合约束条件M＝P_XX＋P_YY＝100，可求得商品X的需求函数为：X＝40/P_X。

（2）当P_Y＝3，P_X＝2时，根据（1）中求得的需求函数可以得到商品X的最优消费量为：

X＝40/P_X＝40/2＝20

将数据代入预算约束中便得商品Y的最优消费量为：Y＝（100－P_XX）/P_Y＝（100－2×20）/3＝20。

因此，消费者的效用为U（X，Y）＝X²Y³＝20⁵。

当商品X的价格P_X从2降为1时，根据（1）中求得的需求函数可以得到商品X的新的最优消费量为：

X^*＝40/1＝40

因此，总效应为40－20＝20。

替代效应计算如下：

设在新价格体系下消费者保持原来的效用不变时对两商品的最优消费量为X′、Y′，根据消费者均衡条件：

MU_X′/P_X′＝MU_Y′/P_Y′

2X′Y′³/P_X′＝3X′²Y′²/P_Y′

整理得：X′＝2Y′。

由效用不变得到：4Y′⁵＝20⁵。

联立得：X′＝40/4^1/5≈30。

因此替代效应为30－20＝10，收入效应为40－30＝10。

7设一个消费者使用两种商品（x，y），效用函数为U＝10x^3/4y^1/4，商品价格P_x＝5元，P_y＝3元。

（1）设他的收入为40元，求消费者均衡；

（2）求恩格尔曲线。（华中科技大学2002研）

解：（1）当达到消费者均衡时，有MU_x/P_x＝MU_y/P_y，即：（30x^－1/4y^1/4/4）/5＝（10x^3/4y^－3/4/4）/3。

得：5x＝9y①

另可得预算线方程为：5x＋3y＝40②

联立①②式可得：x＝6，y＝10/3。

即达到消费者均衡时，消费者消费商品x数量为6个单位，消费商品y数量为10/3个单位。

（2）假设消费者收入为I，则消费者均衡时，MU_x/P_x＝MU_y/P_y，即5x＝9y。

又根据预算约束线，有5x＋3y＝I，联合可得：x＝3I/20，y＝I/12。

恩格尔曲线表示消费者在每一收入水平对某商品的需求量，因此商品x的恩格尔函数为x＝3I/20，相应的商品x的恩格尔曲线为一条向右上方延伸的直线；商品y的恩格尔函数为y＝I/12，相应的商品y的恩格尔曲线也为一条向右上方延伸的直线。

8某消费者的偏好由以下效用函数描述：u（x₁，x₂）＝（lnx₁＋2lnx₂）/3，其中lnx是x的自然对数。商品1和商品2的价格分别为P₁和P₂，消费者的收入为m。

（1）写出消费者的最大化问题。

（2）求出需求函数x₁（P₁，P₂，m）和x₂（P₁，P₂，m）。

（3）设价格P₁＝P₂＝1，画出每种商品与此价格相应的恩格尔曲线，该曲线描述了商品需求和收入之间的关系（经济学家的习惯是把收入作为纵坐标）。

（4）设m＝10，P₂＝5，画出商品1的需求曲线，该曲线描述了商品需求和价格之间的关系（经济学家的习惯是把价格作为纵坐标）。

（5）判断商品1和商品2是正常品还是劣等品，是普通品还是吉芬品，是互补品还是替代品。（复旦大学2004研）

解：（1）消费者的最大化问题即在收入约束下，消费者效用最大化。用数学表达式表示为：

maxu（x₁，x₂）＝（lnx₁＋2lnx₂）/3

s.t.P₁x₁＋P₂x₂＝m

（2）消费者的预算线方程：P₁x₁＋P₂x₂＝m。

由消费者的效用函数，可得出商品x₁和x₂的边际效用，即MU₁＝1/（3x₁），MU₂＝2/（3x₂）。

根据消费者效用最大化的一阶条件MU₁/MU₂＝P₁/P₂，可得：2P₁x₁＝P₂x₂。

将上式代入预算线方程，可得：x₁＝m/（3P₁），x₂＝2m/（3P₂）。

（3）当价格P₁＝P₂＝1时，x₁＝m/3，x₂＝2m/3。与价格相对应的两种商品的恩格尔曲线如图3-16所示。

图3-16　P₁＝P₂＝1时两种商品的恩格尔曲线

（4）当m＝10，P₂＝5，商品1的需求函数为：x₁＝10/（3P₁）。商品1的需求曲线如图3-17所示。

图3-17　商品1的需求曲线

（5）由商品1、商品2的需求函数以及商品的收入弹性可以看出，商品1和商品2都是正常品。根据需求交叉弹性可以得出，，因此商品1和商品2是无关品，不存在相关关系。

9假设存在一个社会，这个社会由三个消费者组成，他们分别是1，2，3，同时该社会存在着两种商品，分别是x和y。经济学家Debreu对这三个消费者的消费行为进行分析，他认为1，2，3的偏好可以分别用如下的效用函数来表示：

①u₁（x，y）＝xy；

②u₂（x，y）＝x^αy^β，其中α＞0，β＞0；

③u₃（x，y）＝γlnx＋（1－γ）lny，其中γ∈（0，1）。

（1）请画出消费者1的无差异曲线以及偏好的上等值集；

（2）假如商品x和商品y的价格分别是2单位货币和3单位货币，同时消费者1拥有120单位货币，试计算他对x和y的最优消费量；

（3）证明：消费者2和消费者3的偏好是一致的；

（4）现在假设商品x和商品y的价格分别是P₁和P₂，消费者2拥有I单位货币，请计算他的消费选择；

（5）用公式和图像给出消费者3对于x商品的收入-消费路径。（复旦大学2007研）

解：（1）根据序数效用理论，无差异曲线是维持效用不变的商品组合的轨迹，偏好的上等值集就是无差异曲线右上方部分。根据消费者1的效用函数，其无差异曲线及上等值集如图3-18所示。

图3-18　消费者1的无差异曲线及上等值集

（2）消费者1的预算线方程：2x＋3y＝120。

由消费者1的效用函数，可得出商品x和y的边际效用，即MU_x＝y，MU_y＝x。

根据消费者效用最大化的一阶条件MU_x/MU_y＝P_x/P_y，可得：y/x＝2/3。

将上式代入预算线方程，可得：x＝30，y＝20。

即消费者1对x和y的最优消费量为（30，20）。

（3）根据效用函数的性质：效用函数的线性变换依然是同一偏好的效用函数。对消费者2的效用函数进行取自然对数的线性变换，可得：lnu₂＝αlnx＋βlny。

令α＝γ，β＝1－γ，因此lnu₂＝γlnx＋（1－γ）lny＝u₃。

因此，消费者2和消费者3的效用函数是同一偏好的效用函数，即消费者2和消费者3的偏好是一致的。

（4）消费者2的预算线方程：P₁x＋P₂y＝I。

由消费者2的效用函数，可得出商品x和y的边际效用，即MU_x＝αx^α－1y^β，MU_y＝βx^αy^β－1。

根据消费者效用最大化的一阶条件MU_x/MU_y＝P_x/P_y，可得：αy/βx＝P₁/P₂。

将上式代入预算线方程，可得：x＝αI/[（α＋β）P₁]，y＝βI/[（α＋β）P₂]。

此即为消费者2对x和y的最优消费量。

（5）消费者3的偏好和消费者2的偏好是一致的，因此消费者3的最优化问题和消费者2是相同的。

消费者3的恩格尔曲线方程为：x＝γI/P₁，其中x的价格P₁为常数。恩格尔曲线方程就是x商品的收入-消费路径，如图3-19所示。

图3-19　消费者3对于商品x的收入-消费路径

10市场上黄瓜价格P_X＝3元，西红柿价格P_Y＝4元，张三的收入为50元，其效用函数为：

U（X，Y）＝（X²＋Y²）^1/2

（1）根据上述条件计算张三的最大效用；

（2）作出张三的无差异曲线和预算线的图，分析张三的最优消费组合，与（1）对比，说明其有何区别并说明理由。（中国人民大学2010研）

解：（1）由题意得预算约束方程为3X＋4Y＝50。

由效用函数U（X，Y）＝（X²＋Y²）^1/2得：

MU_X＝X/[（X²＋Y²）^1/2]

MU_Y＝Y/[（X²＋Y²）^1/2]

边际替代率：MRS_XY＝MU_X/MU_Y＝X/Y。

可见边际替代率是随着X的增加而增加的，所以不能根据消费者均衡条件MU_X/P_X＝MU_Y/P_Y去求效用最大化时的消费组合（最大化的二阶条件不满足）。

此时效用最大化的点只能在预算线上的两个端点处获得，在点（0，25/2）处的效用为25/2，在另外一个点（50/3，0）的效用为50/3，因此张三的最大效用是50/3。

（2）张三的无差异曲线和预算线如图3-20所示。

可以看出，无差异曲线是以原点为中心的一条条圆弧，而预算线是一条直线，一条无差异曲线与预算线相切于b点，而另一条无差异曲线与预算线相交于a点，b点是张三效用最小化的那一点，而a点是张三效用最大化的那一点，不难算出张三的最优组合为（50/3，0），这和（1）的结果一致。

图3-20　张三的无差异曲线和预算线

11小李在时期1的收入为1000元，在时期2的收入为1200元，他跨期的效用函数为U（C₁，C₂）＝C₁^0.8C₂^0.2，利率为25%。请回答以下问题：

（1）画出小李的预算线，并标明其斜率和收入禀赋点；

（2）求小李两个时期的最优消费，并标注在上图中；

（3）如果政府加征20%的利息收入税，请重新计算小李的预算线以及跨期最优消费，并标注在图中。（南开大学2007研）

解：（1）由题意知：Y₁＝1000，Y₂＝1200，r＝25%，则：

小李第1时期的最大的消费量＝Y₁＋Y₂/（1＋r）＝1000＋1200/（1＋25%）＝1960；

小李第2时期的最大消费量＝Y₁（1＋r）＋Y₂＝1000（1＋25%）＋1200＝2450。

因此，小李的预算线如图3-21所示，其斜率＝－（1＋r）＝－1.25。

收入禀赋点为W点（1000，1200）。

（2）把相关参数代入小李预算线方程C₁＋C₂/（1＋r）＝Y₁＋Y₂/（1＋r）可得：1.25C₁＋C₂＝2450。

小李第1期边际效用为：

小李第2期边际效用为：

根据消费者效用最大化的条件：

可得：4C₂/C₁＝1.25。

将上式代入预算线方程，可得：C₁＝1568，C₂＝490，小李的最优消费点为A点（1568，490），如图3-21所示。

图3-21　跨期预算约束与最优选择

（3）如果政府加征20%的利息收入税，则此时小李的预算约束为：C₂＝Y₂＋（1＋r）（Y₁－C₁）－t·r（Y₁－C₁），即：C₂＝2400－1.2C₁。

此时，消费者的效用水平为：U＝C₁^0.8（2400－1.2C₁）^0.2。

由（2）求得小李效用最大化时满足4C₂/C₁＝1.25。而C₂＝2400－1.2C₁。

求解可得：C₁≈1587，C₂≈495。

因此，消费者的最优选择点为图中的B点（1587，495）。

12已知消费者只消费两种商品，效用函数是

x价格为10元，y价格是5元，财富为500元。请回答下列问题：

（1）计算边际替代率并判断该消费者是否具有凸偏好？

（2）求解消费者最优需求。

（3）政府对每单位商品x征收5元的消费税，那么为了使得消费者福利水平不变，政府应给予消费者多少补贴？（中国人民大学2019研）

解：（1）由效用函数可得该消费者的边际替代率为：

MRS＝MUx/MUy＝（x^－1/2y^1/2/2）/（x^1/2y^－1/2/2）＝y/x

进而有：∂MRS/∂x＝－y/x²＜0。

即该消费者的边际替代率递减，因而该消费者具有凸偏好。

（2）该消费者的预算约束为10x＋5y＝500，则其效用最大化问题为：

构造拉格朗日辅助函数：

效用最大化一阶条件为：

解得消费者的最优需求为：x＝25，y＝50。

（3）征税前，消费者福利水平为：

征税后，x价格变为15元，y价格不变，财富变为I，消费者预算约束变为15x＋5y＝I，则其支出最小化问题为：

构造拉格朗日辅助函数：

支出最小化一阶条件为：

解得：消费者的最优需求为：

所以为了使消费者的福利水平不变，政府应给予消费者的补贴为：。