第一节　概率基础

一、概率与随机变量的含义、计算和原理

1概率

（1）概率的定义

在数学上，概率测度P是定义在样本空间子集族上的函数。样本空间S上的概率测度P满足以下概率公理：

①对于任意的事件A⊂S，0≤P（A）≤1，表示一个事件的概率必定在0和1之间；

②P（S）＝1，表示样本空间S包含所有可能的结果，事件S是必然事件，概率为1；

③如果A∩B＝∅，则表示事件A和事件B互斥，那么两个事件至少有一个发生的概率等于两个事件的概率和，即P（A∪B）＝P（A）＋P（B）。

（2）概率的性质

①P（∅）＝0。

②有限可加性：若A₁，A₂，…，A_n是两两互不相容的事件，则有

P（A₁∪A₂∪…∪A_n）＝P（A₁）＋P（A₂）＋…＋P（A_n）

③设A，B是两个事件，若A⊂B，则有

P（B－A）＝P（B）－P（A）

P（B）≥P（A）

④对于任一事件A，0≤P（A）≤1。

⑤加法公式：对于任意两事件A，B有

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）

⑥逆事件概率：对于任一事件A，有

P（）＝1－P（A）

（3）条件概率与事件独立

①条件概率

在给定事件B已经发生的条件下事件A发生的概率为条件概率，记为P（A|B），则有

P（A|B）＝P（A∩B）/P（B）

②事件独立

如果P（AB）＝P（A）P（B），那么事件A和事件B是相互独立的。

2随机变量

随机变量是从样本空间到实数集的一个函数。

（1）离散型随机变量及其概率分布函数

设随机变量X取值为有限个或者可列无限多个，则随机变量X为离散型随机变量，P（X＝x_i）＝p_i，i＝1，2，…，n，称为随机变量X的（概率）分布。

（2）随机变量的分布函数

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数

F（x）＝P{X≤x}，－∞＜x＜∞

称为X的分布函数。

（3）连续型随机变量与概率密度函数

①连续型随机变量

如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数f（x），使对于任意实数x有：

则称X为连续型随机变量，f（x）称为X的概率密度函数，简称概率密度。

②概率密度函数的性质

a．对于所有的x∈R，有f（x）≥0；

b．

c．对于任意两个实数a、b，－∞＜a＜b＜∞，有

d．若f（x）在点x处连续，则有f（x）＝dF（x）/dx＝F′（x）。

3随机变量的数字特征

（1）数学期望

①定义

如果X为离散型随机变量，它的分布为P（X＝x_i）＝p_i，i＝1，2，…，n，它的期望值为

如果X是一个连续型随机变量，它的概率密度函数为f（x），那么它的期望值为

②性质

a．如果a和b是两个常数，那么E[aX＋b]＝aE[X]＋b；

b．对于X的某个函数g（X）的数学期望，如果X是一个离散型随机变量，那么

如果X是一个连续型随机变量，那么

（2）方差与标准差

X的方差记为σ²或Var（X），并且有：

σ²＝E{[X－E（X）]²}＝E（X²）－[E（X）]²

方差的平方根称为标准差，标准差可用于衡量随机变量波动程度。

二、多元分布函数及其数字特征

1多元分布函数

（1）离散型随机变量的分布

如果X和Y是两个离散型随机变量，其所有可能取值为（x_i，y_j），i，j＝1，2，…，记P{X＝x_i，Y＝y_j）＝p_ij，i，j＝1，2，…，则由概率的定义有p_ij≥0，

称P（X＝x_i，Y＝y_j）＝p_ij，i，j＝1，2，…为二维离散型随机变量（X，Y）的分布律，或称为随机变量X和Y的联合分布律。

离散型随机变量X和Y的联合分布函数为

其中和式是对一切满足x_i≤x，y_i≤y的i，j来求和的。

（2）连续型随机变量的分布

①如果X和Y是两个连续型随机变量，那么满足下列性质的二元函数f（x，y）被称为X和Y的联合概率密度函数：

a．f（x，y）≥0；

b．设A是xoy平面上的区域，点（X，Y）落在A内的概率为：P[（X，Y）∈A]＝∬f（x，y）dxdy；

c．

②相应的联合累积分布函数为：

③如果F（x，y）的偏导数存在，那么联合密度函数为：

④X和Y的边缘概率密度函数为：

⑤当两个随机变量为相互独立时，联合概率密度是各个边缘概率密度的乘积，即f（x，y）＝g（x）·h（y）。

2多元分布函数的数字特征

（1）协方差

协方差用于描述两个随机变量之间相关程度。两个机变量X与Y之间的协方差Cov（X，Y）定义为：

Cov（X，Y）＝E{[X－E（X）][Y－E（Y）]}＝E（XY）－E（X）E（Y）

如果X和Y是相互独立的，那么Cov（X，Y）＝0。

（2）协方差矩阵

对于多元随机变量而言，用X表示随机变量组成的向量，即：

其中E（X_i）＝μ_i，var（X_i）＝σ_i²，cov（X_i，Y_j）＝σ_ij。

①X的期望值：

②随机向量X的协方差矩阵如下：

X的协方差矩阵记为∑X，它是一个对称矩阵。

三、随机变量的函数

一个随机变量经过函数变换后仍是一个随机变量，并且通过原始随机变量的分布可得到新随机变量的概率分布。

1随机变量的线性组合

如果a₁，a₂，…，a_n是常数，X₁，X₂，…，X_n是随机变量，那么有：

特别地有：

Var（a₀＋a₁X₁）＝a₁²Var（X₁）

Var（X₁±X₂）＝Var（X₁）＋Var（X₂）±2Cov（X₁，X₂）

2随机变量的加权和

如果α′＝（α₁，α₂，…，α_n）是常数向量，那么有：

E（α′X）＝α′μ＝α₁μ₁＋α₂μ₂＋…＋α_nμ_n

如果α_i是资产组合的权重，μ_i是资产组合收益率，σ_i是资产组合波动率，上述结果就是资产组合收益率的期望和方差的计算公式，可用于计算组合风险价值。

3随机变量的积

对于随机变量乘积Y＝X₁X₂，其期望为：E（X₁X₂）＝E（X₁）E（X₂）＋Cov（X₁，X₂）

4随机变量变换（函数）的分布

假设X是一个连续随机变量，概率密度函数为f（x），g（X）是一个单调函数，那么Y＝g（X）是一个新的随机变量。把X表述成Y的函数为X＝w（Y），那么Y的概率密度函数h（y）为：

h（y）＝f[w（y）]·|∂w（y）/∂y|

四、几个重要分布

1对数正态分布

如果一个随机变量X的对数形式Y＝ln（X）是正态分布，则称这一变量服从对数正态分布。对数正态分布的密度函数为：

对数正态分布变量X的均值和方差分别为：

2卡方（χ²）分布

一个标准正态随机变量的平方服从自由度为1的χ²分布。即如果Z～N（0，1），那么Z²～χ²（1）。如果Z₁，Z₂，…，Z_n是相互独立的标准正态分布，那么Y＝Z₁²＋Z₂²＋…＋Z_n²～χ_（n）²。

3t分布

（1）如果Z～N（0，1），χ²（r）表示自由度为r的服从χ²分布的随机变量，Z和χ²（r）是相互独立的，那么服从自由度为r的t分布，记为T～t（r）。

（2）t分布的基本性质如下：

①t分布的的概率密度函数图像关于y轴对称；

②E（r）＝0，Var（T）＝r/（r－2）（r＞2）；

③当r趋于无穷大时，T的分布趋于标准正态分布。

4F分布

如果χ²（r₁）和χ²（r₂）是相互独立的、自由度分别为r₁和r₂的卡方随机变量，那么

服从自由度为r₁和r₂的F分布，记为F～F（r₁，r₂）。