第5章　选　择

1假定两种商品是完全替代品，商品2的需求函数是什么？

答：假设完全替代的效用函数是：u（x₁，x₂）＝x₁＋x₂，（为了简化计算，这里只考虑替代比例为1:1的情况）在预算约束下，消费者选择效用最大化，即：

由约束条件，解得x₁＝（m－p₂x₂）/p₁，同时由于x₁≥0，则（m－p₂x₂）/p₁≥0，即：x₂≤m/p₂。

将x₁的表达式以及约束条件x₂≤m/p₂代入效用函数后，得到：

从而解得：

如图5-1所示。

图5-1　完全替代商品的需求曲线

2假设无差异曲线是一条斜率为－b的直线，并且给定任意的价格p₁、p₂和收入m，那么，消费者的最优选择是什么？

答：如图5-2所示，比较预算线与无差异曲线的斜率可知，当p₁/p₂＞b时，消费者的最优选择为只购买商品2；当p₁/p₂＜b时，消费者的最优选择为只购买商品1；当p₁/p₂＝b时，预算线上的任意消费组合都是消费者的最优选择。

图5-2　完全替代偏好的最优选择

3假定一个消费者在每一杯咖啡里总是加2汤匙糖。如果每汤匙糖的价格为p₁，每杯咖啡的价格为p₂，消费者花费在咖啡和糖上的总额为m美元，那么，他或她将打算购买多少咖啡和糖？

答：设x₁表示糖，x₂表示咖啡，消费者的效用函数为：u（x₁，x₂）＝min{x₁，2x₂}，那么消费者的最优选择总是满足：2x₂＝x₁，将这一条件代入预算线方程p₁x₁＋p₂x₂＝m中，可以得到x₁＝2m/（2p₁＋p₂）、x₂＝m/（2p₁＋p₂）。

4假定你对冰淇淋和橄榄具有高度的非凸偏好，如正文所描述的那样，你所面临的价格分别为p₁和p₂，并有m美元可供支出。请列出你所选择的最优消费束。

答：消费者的最优消费束为（0，m/p₂）或者为（m/p₁，0）。

这是因为：在非凸偏好的情况下，消费者对于端点消费束的偏好甚于对平均消费束的偏好，因此这种情况下，消费者的最优选择为只消费两种商品中的一种商品，即最优消费束为（0，m/p₂）或者为（m/p₁，0）。

5如果一个消费者的效用函数为u（x₁，x₂）＝x₁x₂4，那么，他在商品2上的花费占他收入的比例是多少？

解：消费者会把4/5的收入花费在商品2上。

分析如下：这是一个典型的柯布-道格拉斯效用函数，对其进行单调变换，可得u（x₁，x₂）＝x₁1/5x₂4/5。关于柯布-道格拉斯效用函数有一个特殊性质，即消费者在每种商品上的花费总是占他收入的一个固定份额，这个份额的大小由效用函数中的指数来决定。

证明过程如下：在预算约束下，消费者最大化其效用：

由拉格朗日乘数法有：

max x₁αx₂1－α＋λ（m－p₁x₁－p₂x₂）

从而得到一阶条件为：

则

所以消费者会把（1－α）的收入花费在商品2上。在本题中，消费者会将4/5的收入花费在商品2上。

6在哪一种类型的偏好下，无论课征从量税还是课征所得税，消费者的境况会一样好？

答：当消费者的偏好为互补型时，无论课征从量税还是课征所得税，消费者的境况会一样好。如图5-3所示，在征税后，无论在哪种税收条件下，消费者的最优选择都不变，所以两种税收条件下，消费者的境况一样好。

图5-3　对互补型偏好征税