第4章　效　用

1一个效用函数自乘奇数次是单调变换。那么该效用函数自乘偶数次还是单调变换吗？（提示：考虑f（u）＝u2这种情况）

答：一个效用函数自乘偶数次后还是不是单调变换取决于效用函数的取值。分析如下：通常情况下，u＝u（x₁，x₂）≥0，因此f（u）＝u2是（正的）单调变换，也就是说f（u）＝u2是单调递增的函数。

但是，也有可能存在u＝u（x₁，x₂）≤0的情况。比如，给某消费者两种商品，但这两种商品都是厌恶品，在这种情形下，他的效用不可能为正，即u＝u（x₁，x₂）≤0。所以，该情形下f（u）＝u2就不是（正的）单调变换。根据分析需要，不考虑负单调变换的情形。

2下面哪些是单调变换？

（1）u＝2v－13；

（2）u＝－1/v2；

（3）u＝1/v2；

（4）u＝lnv；

（5）u＝－e－v；

（6）u＝v2；

（7）u＝v2，v＞0；

（8）u＝v2，v＜0。

答：（1）是（正的）单调变换。

（2）在v＞0时是单调变换，v＜0时不是单调变换。

（3）在v＞0时不是单调变换，v＜0时是单调变换。

（4）是单调变换（此题暗含着v＞0的假设，否则u＝lnv无定义）。

（5）是单调变换。

（6）在v＞0时是单调变换，v＜0时不是单调变换。

（7）是单调变换。

（8）不是单调变换。

总结：单调变换的函数应是增函数或减函数；单调变换分为正单调变换和负单调变换，正单调变换后的效用函数能同样代表原偏好，负单调变换后的效用函数不能代表原偏好；单调变换不影响效用函数的边际替代率。

3如果偏好是单调的，经由原点的射线与每一条无差异曲线只会相交一次。你能严格地证明这一点吗？（提示：如果它同某条无差异曲线相交两次，会出现什么情况呢？）

证明：采用反证法，假设经过原点的射线方程为f（x）＝ax（a＞0），它同某无差异曲线相交于两点（x₁，x₂）和（y₁，y₂），由于（x₁，x₂）和（y₁，y₂）同在直线f（x）＝ax上，所以在x₁＞y₁，x₂＞y₂和x₁＜y₁，x₂＜y₂之中，必有其一成立，不妨假设是x₁＞y₁，x₂＞y₂，根据偏好的单调性，这就意味着（x₁，x₂）≻（y₁，y₂），这就和（x₁，x₂）与（y₁，y₂）在同一条无差异曲线上相矛盾。所以如果是单调偏好的话，经过原点的射线就只会同每条无差异曲线相交一次，如图4-1所示。

图4-1　经过原点的射线同每条无差异曲线相交一次

4哪种偏好可用形如的效用函数表示？效用函数v（x₁，x₂）＝13x₁＋13x₂表示何种偏好？

答：（1）完全替代的偏好可用形如的效用函数表示。

理由如下：对效用函数做单调变换f（u）＝u2，得到新的效用函数为u′（x₁，x₂）＝x₁＋x₂，这是完全替代偏好的效用函数。由于效用函数的单调变换不改变它所代表的偏好的类型，所以，也代表完全替代的偏好。

（2）v（x₁，x₂）＝13x₁＋13x₂表示完全替代的偏好。

理由如下：对v（x₁，x₂）＝13x₁＋13x₂做单调变换f（v）＝v/13，得v′（x₁，x₂）＝x₁＋x₂，和（1）的理由相同，可知v（x₁，x₂）＝13x₁＋13x₂也代表完全替代的偏好。

5哪种偏好可用形如这种形式的效用函数表示？效用函数是u（x₁，x₂）的单调变换吗？

答：（1）拟线性偏好可以用形如这种形式的效用函数表示。

（2）效用函数是u（x₁，x₂）的单调变换。理由如下：因为u的取值恒大于零，所以对u做单调变换f（u）＝u2，从而得到v。

6考虑效用函数，它表示哪种偏好？函数v（x₁，x₂）＝x₁2x₂是u（x₁，x₂）的单调变换吗？函数w（x₁，x₂）＝x₁2x₂2是u（x₁，x₂）的单调变换吗？

答：（1）效用函数代表柯布-道格拉斯型偏好。

（2）函数v（x₁，x₂）＝x₁2x₂不是u（x₁，x₂）的单调变换。

理由如下：由于效用函数的单调变换不改变它代表的偏好，所以如果v（x₁，x₂）＝x₁2x₂是u（x₁，x₂）的单调变换，那么这两个效用函数代表相同的偏好，从而它们的边际替代率相同，但是计算发现，效用函数的边际替代率MRS＝MU₁/MU₂＝x₂/x₁；v（x₁，x₂）＝x₁2x₂的边际替代率MRS＝2x₂/x₁，这两个边际替代率不相等，所以v（x₁，x₂）＝x₁2x₂肯定不是u（x₁，x₂）的单调变换。

（3）函数w（x₁，x₂）＝x₁2x₂2是u（x₁，x₂）的单调变换。

理由如下：对效用函数作单调变换f（u）＝u4，就可以得到w（x₁，x₂）＝x₁2x₂2。

7请解释为什么效用函数的单调变换不会改变其边际替代率。

答：效用函数的单调变换之所以不会改变边际替代率是因为：边际替代率是无差异曲线的斜率，只要消费者的偏好没有改变，无差异曲线（即消费者有相同的偏好的所有商品束的集合，特别地，该集合中的元素组成与效用函数无关）就不会发生变化，其斜率即边际替代率也不会变化。效用函数是对消费者偏好的数量衡量形式，它通过对消费者有更多偏好的消费束指派更大的数字来将消费者的偏好进行量化。但这种量化只注重消费者对商品束的排序，而具体的数值则只要不改变原有的排序即可任意指派。效用函数的单调变换就是对数值指派的改变，但这种指派不改变商品束的排序，更不会改变消费者的偏好。

因此在效用函数的单调变换时，改变的只是对每条无差异曲线指派的具体数值，不会改变无差异曲线本身，所以它不会改变边际替代率。

这个结论也可以用数学方法进行证明：

假设对一个效用函数作单调变换，比如说，v（x₁，x₂）＝f[u（x₁，x₂）]，计算这个效用函数的边际替代率（MRS）。根据连锁法则

因为分子、分母中的∂f/∂u可以消去，这表明边际替代率与效用函数的单调变换无关。