尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》(第11版)配套题库【课后习题+章节题库(含名校考研真题)+模拟试题】
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第三篇 不确定性与策略

第7章 不确定性

1.乔治花了整整10万美元的赌注押在公牛队身上,打赌公牛队获得NBA的总冠军。如果乔治的财富教用函数是对数形式的,并且他现在的财富是100万美元,那么他认为公牛队一定会赢的最小概率是多大?

解:假设公牛队会赢的最小概率为p,乔治的效用函数为:U=lnw,其中w为财富水平。

在乔治参见赌博的情况下,他的期望效用为:

pln1100000+(1-p)ln900000

在乔治不参见赌博的情况下,他的效用为:ln1000000;

为了使他参加赌博,因而有:

p ln1100000+(1-p)ln900000≥ln1000000

从而可以解得:p≥0.525,也即他认为公牛队一定会赢的最小概率为0.525。

2.请说明如果一个人的财富效用函数是凸的,那么,他就会选择公平赌博而不是确定的收入,甚至还可能愿意去接受某种不公平的赌博。你认为这种接受风险的行为是普遍的吗?什么因素会趋向于限制这种行为?

解:如图7-1所示,假设某人的初始财富为W0,如果参见赌博,则他可以0.5的概率赢得h,或以0.5的概率输掉h。在效用函数为凸的情况下,他不参加赌博所获得的确定性效用为U(W0),而参加赌博后获得的期望效用为。因为,所以他会选择公平赌博,而不是确定的收入,甚至他还有可能参见不公平的赌博,因为此时的期望效用高于确定性收入下的期望效用。

图7-1 凸性效用函数与消费者的决策

这种接受风险的行为并不普遍。这种行为会受到消费者个人所拥有的财富等资源的限制:因为在不公平的赌博中消费者有可能耗尽其财富,而未必能实现赌博下的期望效用一定比确定性收入下的效用大的情况。

3.一个人买了一打鸡蛋,并一定要把它们带回家。尽管回家是无成本的,但在任何一条路上鸡蛋被打破的概率都是50%。这个人会考虑两个策略。

第一个策略:走一趟,带所有12个鸡蛋。

第二个策略:走两趟,每次带6个鸡蛋。

a.请列出每种策略的可能结果及每种结果的可能性大小。请说明在每种策略下,回家之后平均都有6个鸡蛋没有被打破。

b.画图表示在每一种策略下可获得的效用,人们会倾向于哪一个策略?

c.采用多跑几趟的方案,效用是否可以被进一步改善?如果多走一趟是有成本的,那么,这种可能性会受到怎样的影响?

解:a.如果此人采用策略1,那么可能的结果与每种结果的可能性如表7-1所示:

表7-1 策略1的结果

未打碎鸡蛋的平均个数为0×0.5+12×0.5=6个。

如果此人采用策略2,那么可能的结果与每种结果的可能性如表7-2所示:

表7-2 战略2的结果

未打碎鸡蛋的平均个数为0×0.25+6×0.5+12×0.25=6个。

b.假设此人的效用函数为u(x),这里x是鸡蛋的个数。那么策略1带给此人的效用为:

策略2带给此人的效用为:

所以:

 

这样,如果此人是风险厌恶型的,那么由式可知,即此人偏好于策略2(如图7-2所示);反之如果此人是风险偏好型的,那么,即此人偏好于策略1。

说明: 5-5

图7-2 风险厌恶型消费者的策略偏好

c.如果有其他多于两条路的方案,那么对于风险规避者而言,其效用可以进一步得到提高。这是因为路越多,风险就越容易得到分散。

如果走路是有成本的,那么路越多,成本就越高,这会降低消费者的效用,因此,最终的结果是消费者需要在分散风险和降低成本之间进行平衡,也就是说存在某个数N,当路的条数大于N时,由于成本的增加导致的效用的减少大于由于风险分散引起的效用的提高,所以消费者的总效用会减少。当路的条数小于N时,成本的减少导致的效用增加小于风险的增大引起的效用的降低,所以消费者的总效用也会减少,因此最优的选择就是分N条路把鸡蛋带回家。

4.假定一个现有2万美元财富的人有一半的可能性会得神经衰弱,并因此损失1万美元:

a.请计算在这种情况下实际公平保险的成本,并使用财富效用图来表示这个人会选择公平保险以防止损失,而不是接受没有保障的赌博。

b.假定可以获得两种类型的保险政策:

(1)赔偿全部损失的公平政策;

(2)只赔偿所发生损失的一半的公平政策。

请计算第二种类型政策的成本,并说明这人通常会认为它比第一种类型的政策差。

解:a.这种情况下,实际公平保险的成本为:

E(L)=0.50×10000=5000(美元)

如图7-3所示,在参加保险的情况下,此人的财富为:15000美元;在没有参见保险的情况下,此人的财富可能为10000美元,也可能为20000美元。保险将给消费者带来更高的效用。

图7-3 公平保险

b.第二种保险类型的保险政策的成本为:0.5×5000=2500(美元)。因而在不生病的情况下,此人的财富为17500美元,在犯病的情况下,此人的财富为12500美元。如图7-3所示,第二种保险政策下,此人的期望效用低于第一种保险政策下的期望效用,因而此人会认为它比第一种保险政策差。

5.福格女士计划花1万美元去进行环球旅行。从这个旅行中她所得到的效用是她实际支付的费用的函数,可以写成:

a.如果福格女士在旅途中会丢失1000美元的可能性是25%,整个旅行的期望效用会是多大?

b.假设福格女士可以以250美元的“精算公平”的保险费率买保险,来预防这1000美元的损失(比方说,买旅行支票)。请证明她买了这个保险后的期望效用比不买保险时的期望效用高。

c.福格女士愿意为其1000美元的可能损失而支付的保险费最多是多少?

解:a.福格小姐的期望效用为:E(U)=0.75ln10000=0.25ln9000=9.1840。

b.在购买保险的情况下,福格小姐的期望效用为:E(U)=ln9750=9.1850>9.1840,因而保险给福格女士带来了更高的期望效用。

c.由可得:

解得:p≥260。

因而福格小姐所愿意支付的最高保费为:p=260(美元)。

6.所有人都知道在一个非法的地点停车时,收到罚款通知单的可能性是P,并且罚金额为f。假定每个人都是风险厌恶型的,也就是说u′′(w)<0,其中w是个人的财富。

那么,在防止非法停车问题中,被抓到的可能性成比例增加和罚金成比例增加,哪个会更有效呢!提示:运用泰勒级数展开式

答:利用泰勒级数展开式,非法停车的总效用为:

假设罚金的比例增加为原来的t(t>1)倍,那么非法停车的效用就变为:

 

假设收到罚款通知单的可能性增加为原来的t(t>1)倍,那么非法停车的效用就变为:

 

由于消费者是风险厌恶型的,所以u′′(w)<0,于是:

这说明罚金的比例和收到罚款通知单的可能性同比例增加,前者会使消费者的效用更低,所以罚金按比例增加在防止非法停车方面更有效。

7.一个农夫认为在下一个播种的季节里,雨水不正常的可能性是50%。他的期望效用函数的形式为:

期望效用=1/2lnYNR+1/2lnYR

这里,YNR与YR分别代表农夫在“正常降雨”与“多雨”情况下的收入。

a.假定农夫一定要在如下表所示收入前景的两种谷物中进行选择(只能选择一种),他会种哪种谷物呢?

b.假定农夫在他的土地上可以每种作物都播种一半的话,他会选择这样做吗?请解释你的结论。

c.怎样组合小麦和玉米才可以给这个农夫带来最大的期望效用?

d.如果对于只种小麦的农夫,有一种要花费4000美元的保险,在种植季节多雨的情况下会赔付8000美元,那么,这种有关小麦种植的保险会怎样改变农夫的种植情况?

解:a.农民种小麦的预期效用E(uw)为:

农民种玉米的预期效用E(uc)为:

因为E(uw)<E(uc),所以农民会种玉米。

b.如果农民在他的土地上每种作物各种一半,他的收益如表7-3所示:

表7-3 混合种植时不同天气状况下的收入(单位:元)

从而他的预期效用E(u)为:

由于E(uw)<E(uc)<E(u),所以农民会混合种植。

c.假设小麦的种植份额为α,那么混合种植的期望效用EU为:

期望效用最大化的一阶条件为:

解得:α=4/9。

此时的期望效用为:

所以当农民用4/9的土地种小麦,5/9的土地种玉米时,其期望效用达到最大,为9.7494。

d.如果种植小麦的农民购买保险,那么他的期望效用为:

这个值大于两种作物按最优混合比例种植所能带给农民的效用,所以农民会买保险。

8.在(7.30)式中,我们已经证明,个人为阻止公平赌博(h)而愿意支付的费,其中r(w)为个人在其初始财富水平上的绝对风险厌恶程度。在这个问题中,我们将费用P视为所面临风险的大小和个人财富水平的函数。

a.考虑一个公平赌博(v),输赢为1美元。那么这个赌博的E(v2)是什么?

b.现在假设将a中的赌博奖金数乘以正常数k。令h=ku,那么E(h2)等于多少?

c.假设此人的效用函数为对数形式u(w)=lnw,那么r(w)的一般表达式是什么?

d.分别计算k=0.5,1,2,w=10100时的风险溢价。比较这六个值,你能得出什么结论?

解:a.

b.

c.如果此人的效用函数为u(w)=lnw,那么r(w)的一般表达式为:

d.由题意知

若W=10,当k=0.5时,p=0.0125;当k=1时,p=0.05;当k=2时,p=0.2。

若W=100,当k=0.5时,p=0.00125;当k=1时,p=0.005;当k=2时,p=0.02。

从上面的式子可以看出,初始财富W越低,风险溢价越高;所面临的风险k越高,风险溢价越高。当W与k同比例增加,风险溢价p将增加。

9.在例7.5中,我们已经计算了混合燃料小汽车所拥有的实物期权价值。现在我们再次回到这个问题上,假设一辆化石燃料小汽车的支付依然为A1(x)=1-x,而一辆生物燃料小汽车的支付A2(x)由x增加为2x。x仍为0到1间均匀分布的随机变量,衡量在小汽车的使用生涯中,生物燃料相对于化石燃料的市场可得性。

a.假设买主是风险中性的,其冯纽曼一摩根斯坦效用函数为U(x)=x,计算此时混合燃料小汽车所拥有的实物期权价值。

b.若买主是风险厌恶的,并且效用函数变为重新计算混合燃料小汽车所拥有的期权价值。

c.将你的计算结果和例7.5的结果相比,讨论生物燃料小汽车价值的增加是如何影响混合燃料小汽车所拥有的期权价值的。

解:a.由于x仍为0到1间均匀分布的随机变量,则其密度函数为f(x)=1,如果效用函数为U(x)=x,此时化石燃料小汽车的所拥有的实物期权价值为:

生物燃料小汽车的所拥有的实物期权价值为:

此时混合燃料小汽车所拥有的实物期权价值为:

b.由于x仍为0到1间均匀分布的随机变量,则其密度函数为f(x)=1,如果效用函数为,此时化石燃料小汽车的所拥有的实物期权价值为:

生物燃料小汽车的所拥有的实物期权价值为:

此时混合燃料小汽车所拥有的实物期权价值为:

c.由于生物燃料小汽车是混合原料小汽车的替代选择,当生物燃料小汽车的价值增加时,混合原料小汽车所面临的选择权的价值增加,因此实物期权价值增加。

分析问题

10.HARA效用

实际上,CARA和CRRA效用函数都是一个更为一般的被称为调和绝对风险厌恶(har-monic absolute risk aversion,HRRA)函数的特殊形式。该函数的一般形式为:

参数的限制条件如下:

前两个限制条件是显而易见的,第三个条件是为了保证U′>0。

a.计算函数的r(W),并证明结果是W的线性表达式。这正是函数名称中“调和”一词的由来。

b.证明当μ=0,时,函数简化为CRRA函数(见本章脚注17)。

c.利用a问的结论,证明当时,r(W)是一个常数。

d.用A表示C中计算出的常数,证明此时效用函数的形式正好是CARA函数,如(7.35)式。

e.证明当γ=-1时,可从HARA函数中推导出二次效用函数。

f.尽管HARA函数看起来带有一般性,但在研究不确定性情形下的行为时仍有一些限制,请举出几个例子。

解:a.由于该效用函数为,即有:

所以,绝对风险厌恶系数为:

因此,是W的线性表达式。

b.当μ=0,时,此函数为:

则该函数的相对风险厌恶系数为:

即当μ=0,时,此时的函数为CRRA函数。

c.利用a中的计算结果,当时,有:

即此时的r(W)为一常数。

d.由题意得,由绝对风险厌恶系数的定义可得:

解得效用函数为:

即此时效用函数的形式正好是CARA函数。

e.当γ=-1时,

f.例如在参数是某些确定值的情况下,效用函数是没有限制的,此时可能产生圣彼得堡悖论。

11.前景理论

两位行为经济学奠基人,2002年诺贝尔经济学奖获得者,丹尼尔·昔尼曼(Daniel Kahne.man)和阿莫斯·特沃斯基(Amos Tversky),进行了一组试验。试验中不同情景组的被试得出了不同的结果。

情景1:假设你有1000美元,并在两个赌博中做出选择。赌博A以一定概率赢得1000美元,其他情况下什么也得不到。赌博B确定能赢500美元。

情景2:假设你有2000美元,并在两个赌博中做出选择。赌博C以一定概率输掉1000美元,其他情况下收益为0。赌博D则确定损失500美元。

a.假设史丹在面临不确定性时根据期望效用理论做决策。若他是风险中性的,那么在两个情形中他将分别做出什么选择?

b.若史丹是风险厌恶的,他的选择会是怎样?

c.卡尼曼和特沃斯基发现,在情形1中,有16%的被试选择了赌博A,在赌博2中,68%的被试选择了赌博C。对比你在前两问中得出的结果,为何两者不一致?

d.为解释试验结果,卡尼曼和特沃斯基提出了一个替代期望效用理论的理论,称为前景理论。该理论指出,人们的当前收入函数为他们提供了一个“参照点”。超过该点,人们是风险厌恶的,低于该点,人们会对损失非常敏感。这种对损失的敏感性正好和风险厌恶相反:对于一个风险厌恶的人,从相对比例来说,从一个较大损失中遭受的效用损失比从一个较小损失中遭受的效用损失程度大。

(1)假设皮特在面临不确定性时依据前景理论做决策。那么他在上述两种情形中会做出什么决策?为什么?

(2)分别画出情景1、情景2中金钱对皮特的效用曲线示意图。两条曲线重合吗?他的效用曲线和标准情况下人们的效用曲线(比如史丹)的有何不同?

解:a.在第一种情况下,假设赢得1000美元的概率为p(0<p<1),则什么也得不到的概率为1-p。

若选择赌博A,期望效用EA=2000P+(1-P)×1000=1000+1000P;

若选择赌博B,期望效用EB=1000+500=1500;

当EA=1000+1000P>EB=1500,即p>1/2时,会选择A,否则会选择B。

在第二种情况下,假设输掉1000美元的概率为q(0<q<1),则其他情况的概率为1-p。

若选择赌博C,期望效用EC=1000q+(1-q)2000=2000-1000q;

若选择赌博D,期望效用ED=2000-500=1500;

当EC=2000-1000q>ED=1500,即q<1/2时,会选择C,否则会选择D。

b.若史丹是风险厌恶的,他不会选择冒险,所以,在第一种情况下,他会选择方案B,获得确定的1500元。在第二种情况下,他会选择方案D,将损失控制在500美元水平上。

c.这可能是因为人们的风险偏好是与其所处状态相关的,当其处于确定性获利和不确定性获利时,人们是风险厌恶的;当其处于确定性损失和不确定性损失时,人们是风险偏好的。

d.(1)在情景1中,参照点是1000美元,对于赌博A和B而言,皮特的收入可能超过参照点,因此皮特是风险厌恶的。根据b中的结论,皮特会选择方案B。在情景2中,参照点是2000美元,对于赌博C和D而言,皮特的收入可能低于参照点,因此皮特是风险偏好的。皮特会选择方案C。

(2)情景1的效用曲线

情景2的效用曲线:

两条效用曲线并不重合。在小于参照点时,由于皮特是风险偏好的,金钱的边际效用递增,因此效用曲线是下凸的,在大于参照点时,由于皮特是风险厌恶的,金钱的边际效用递增,因此效用曲线是上凸的。而标准情况下效用曲线是上凸的。这表明在参照点前后皮特的风险偏好并不一致。

12.CRRA函数的进一步讨论

在相对不变风险厌恶的效用函数的情况((7.42)式)下,我们已经证明风险厌恶程度由(1-R)来度量。在第3章中,我们说明了这种函数的替代弹性为1/(1-R)。这样,两个指标互为倒数。运用这个结果,讨论下述问题:

a.为什么风险厌恶与一个人在各种世态之问财富替代的意愿是相关的?透过这两个概念可以抓住什么现象?

b.你怎样在风险厌恶与替代的框架中解释R=1与R=-∞这两种极端的情况?

c.“坏”日子的或然权利价格(Pb)的上升,会在对Wg与Wb的需求中引致替代效应与收入效应。如果个人花费在这两种商品上的预算是固定的,那么,这会怎样影响在它们之间所进行的选择?为什么Wg的上升或下降取决于这个人所表现出的风险厌恶度?

d.假设经验数据说明一个人需要平均0.5%的收益,才愿意投资一个分别以0.5的概率赚或赔5%的项目。也就是说,该人从等概率得到1.055W0或0.955W0的赌博中得到的效用等于固定收益W0的效用。

(1)上面的情况发生时,R是多少?

(2)该人需要多少收益才肯接受一项分别以0.5的概率赚或赔10%的投资?

注意:这需要求解非线性方程,所以只需求解近似解。风险收益之间交易的比较说明了所谓的权益溢价之谜,即从实证数据显示的结果来看,从风险型投资中得到的收益似乎确实比同等程度的风险厌恶型投资更大。参见 N R.Kocherlakota.“The Equity Premium:It’s Still a Puzzle,”Journal of Economic Literature(March 1996):42-71。

解:a.1-R值越高,财富替代弹性越小,表明交易的意愿越低。由此表明一个厌恶风险的人是不愿意在不确定性条件下进行交易的,除非这种交易非常有利。

b.当R=1时,rr(W)=0,表明是风险中立的,他愿意交易的弹性趋于无穷,此时无差异曲线是斜率为-1的直线。

时,,表明是风险厌恶的,在任何价格水平下他都不愿意在不确定条件下进行交易,此时无差异曲线是L形的。

c.或然权利价格pb的上升,会使得预算约束线逆时针旋转。收入效应和替代效应会使Wb下降,替代效应使Wg上升,收入效应使Wg下降,但替代效应要大于收入效应,因此Wg会上升。风险厌恶程度越高,Wg和Wb的替代弹性越低,交易的意愿越低,替代效应就越小,甚至有可能小于收入效应,所以Wg最终的上升下降取决于风险厌恶程度的大小。

d.(1)由题意可得

由此可解得R的近似值为-3,这与许多实证研究的结果一致。

(2)设需要的平均收益为x,则由题意可得

解出x即为所求。

13.画出风险投资

在固定收益率为r为的资产上投资W*美元,可以在两种世态时都获得W*(1+r);而在风险资产上的投资在好日子收益为甲W*(1+rg),在坏日子收益为W*(1+rb)(其中rg>r>rb)。通过上述假定,风险资产上的投资就可以在世态偏好的框架中被加以研究。

a.请画出两种投资的结果。

b.请说明包含无风险资产与风险资产的“资产组合”怎样在你的图中得到显示。你怎样说明投资在风险资产中的财富比例?

c.请说明个人对于风险的态度会怎样决定他们所持有的无风险资产与风险资产的组合。一个人会在什么情况下不持有风险资产?

d.如果一个人的效用函数采用了相对不变风险厌恶(CRRA)形式(即(7.42)式),请解释这个人在其财富增加时,为什么不会改变其所掌握的风险资产的比例。

解:a.如图7-4所示,无风险投资的结果为R,风险投资的结果为R′。

说明: 61

图7-4 无风险投资与风险投资

b.图7-4中的RR′代表了资产组合。

设E点表示一种投资组合,则表示投在风险资产上的比例,表示投在无风险资产上的比例。现证明如下:

设E点坐标为(),即α是E点投在风险资产上的比例。

即:,表示投在风险资产上的比例;则,表示投资在无风险资产上的比例。

c.对于风险厌恶者而言,他有可能在风险资产上进行部分投资,如图7-4所示;也有可能把他的财富全部投资于风险资产,如图7-5所示。需要注意的是,这种情况并不和投资者是风险厌恶的假设矛盾,因为出现这种情况就说明该投资者的风险承受能力较强或者风险较小(即坏情况下的收益率也不会比无风险情况下低太多);也有可能把所有的资产投资于无风险资产,如图7-6所示。这些都取决于其效用函数的具体形式。对于风险中性者和风险偏好者也有类似的结论。

说明: 62

图7-5 只在风险资产上投资

说明: 63

图7-6 只在无风险资产上投资

d.如果相对风险厌恶不变,则无差异曲线将是位似的,所以随着W值的变化,最优选择的位置将沿着确定线而变化。

14.正态分布风险资产的投资组合问题

在例7.3中我们已经证明了,当个人面对正态分布风险资产,且效用函数是CARA效用函数时,他的期望效用的形式是;μW分别表示财富的期望值和方差。利用这个情况解决一个最优组合投资的财富分配问题:投资者的效用函数仍为CARA效用函数,他需将k比例的财富投资于一项期望值为μr、方差为的正态分布的风险资产(结果用含A的表达式表示)。请直观地解释你的结果。

解:假设将价值k的财富分配给风险资产,W0–k的财富分配给无风险资产。

由于,且最终财富值

由此可得

他的最大效用问题为:

解得:

由上面的式子可以看出,对风险资产预期收益不同会导致对风险投资水平不同,即对风险资产预期收益越高,则投资越多;对风险资产预期收益越低,则投资越少。