第6章　商品间的需求关系

1．海蒂从羊奶（m）与馅饼（s）两种商品中获取效用，其效用函数为：

a．说明羊奶价格上升不会改变海蒂对馅饼的购买量，即证明。

b．再证明。

c．用斯勒茨基方程和净替代效用的对称性来证明a、b两问中涉及的收入效应影响是相等的。

d．用m和s的马歇尔需求函数证明c中的结论。

解：a．由柯布—道格拉斯效用函数的性质可得：，从而有：，因而可得结论：。

此外，因为无差异曲线是一次双曲线（ms＝常数），所以自替代效应和交叉—替代效应都是相同的比例大小，但是方向相反。因为无差异曲线是位似的，两种商品的收入弹性都为1，所以两种商品的收入效应也是相同的比例大小。因而p_m的变化对s的替代效应和收入效应恰好抵消。

b．由a同理可得：，从而可得：。

c．因为：

又因为，所以有：，即a、b两问中的偏导数有关的收入效应是相等的。

d．由a可知：

所以c问中显然利用了m和s的马歇尔需求函数。

2．困难时期伯特仅购买劣等威士忌酒与果冻度日。对于伯特来说虽然劣等威士忌酒与果冻在通常情况下属于希克斯替代品，但是劣等威士忌是具有吉芬悖论的劣等品。从直观上解释为什么在劣等威士忌价格上升的情况下，果冻的购买量一定会减少。也就是说，这两种商品也必定是总互补品。

解：假设r代表劣等威士忌酒的消费量，j代表果冻的消费量，其价格分别为：p_r，p_j。因为，所以p_r价格的上涨意味着rp_r必定要上涨，从而一定会变小，因而j必然会变小。因而有，即劣等威士忌酒和果冻必定是总互补品。

3．唐纳是个很节俭的研究学生，仅消费咖啡（c）和黄油面包（bt）两种商品。他在学校咖啡厅购买这些食物，并总是按一片面包配两小块黄油的比例吃。这样，他正好将津贴一半用在咖啡上，另一半用在黄油面包上。

a．在这一问题中，黄油面包可被视为一种组合商品。怎样根据黄油的价格（p_b）与面包的价格（p_t）求出黄油面包的价格？

b．解释为什么。

c．与是否也等于0？

解：a．黄油面包可视为一种复合商品，其价格为：。

b．因为，所以，从而有：。

c．因为p_b或p_t的变化仅仅影响p_bt，所以这些偏导数也都为零，则根据链锁法则有：

4．萨拉女士没有小轿车，只能靠乘坐公交、火车或飞机旅行。她的效用函数为：

这里每一个字母代表一种特定的旅行方式的里程数。假设乘火车旅行与乘公交旅行的价格比（p_t/p_b）固定不变。

a．怎样定义陆路运输的组合商品？

b．萨拉需要在陆地运输工具（g）与航空运输工具（p）中做出选择，试描述她的最优化问题。

c．萨拉对g和p的需求函数是什么？

d．一旦萨拉确定了花费在g上的货币额，她会怎样将这些货币在b和t之间进行分配？

解：a．公交与铁路可以视为陆路运输的复合商品，其价格为：

其中，。

b．萨拉原来的效用最大化问题为：

Max

s.t.

上述最优化问题等价于：

Max

s.t.

c．由b利用柯布—道格拉斯效用函数的性质可以解得，萨拉对g和p的需求函数分别为：，。

d．一旦萨拉确定了花费在g上的货币额p_bg，则有：，。

5．假设某人消费x₁，x₂，x₃三种商品。x₂与x₃是同类商品（如在低档饭馆和高档饭馆用餐），并且，商品间价格的比例关系不变。

a．说明x₂与x₃可被视为一种组合商品。

b．假设每一单位x₂与x₃都具有一个交易成本t（见练习题6.6中的例子）。这种交易成本将怎样影响x₂与 x₃的价格的关系？这种影响将怎样随t值的不同而变化？

c．假设当t增长时，收入补偿性同步增长以维持总效用不变。此时t的增长如何影响在组合商品x₂与x₃上的支出？组合商品定理是否严格地适用于此例？

d．在t上的收入补偿性增长是如何影响组合商品上的总支出在x₂与x₃之间的分配比例的？

解：a．因为x₂与x₃是同类商品，并且，所以x₂与x₃可以视为价格为：的复合商品。

b．如果每一单位x₂与x₃都具有一个交易成本t，则商品x₂与x₃之间的相对价格为：

如果t＝0，则相对价格小于1；如果，则相对价格将趋于1。因此，t的增加将提高商品x₂的相对价格。

c．t的增加将会减少用于复合商品的支出。复合商品定理在此不能直接适用，因为b中已经表明t的变化会影响相对价格。

d．t增加将会导致用于x₂的相对支出的减少量大于用于x₃的相对支出的减少量，这是因为t的增加提高了商品x₂的相对价格。

6．运用练习题6.5的结论解释下述现象：

a．很难在华盛顿州买到高质量的苹果或在佛罗里达州买到好的新鲜的橘子。

b．支付高额育儿费的人们比不支付这种费用的人们更有可能在价格昂贵的饭店用餐。

c．珍惜时间的人们比不珍惜时间的人们更有可能乘坐飞机。

d．人们更有可能在购置贵重商品而不是在买便宜商品时讨价还价。

（注意：b与c也许是形成经济学家在解决刑事案件时唯一关注的两个神秘点的基础；见Marshall Jevons，Murder at the Margin and The Fatal Equilibrium．）

解：a．运输费用使得低质量的产品在远离产地的市场上价格相对较高。因此购买者很难买到高质量的产品。

b．育儿费的增加会降低饭店用餐的相对价格，从而支付高额育儿费的人们比不支付这种费用的人们更有可能在价格昂贵的饭店用餐。

c．高工资者时间的价值往往较高，从而乘坐飞机的相对价格较低。

d．讨价还价成本的提高会降低昂贵物品的相对价格。

7．在一般情况下，非补偿性的交叉价格效应是不相等的，即：

运用斯拉茨基方程式的一般形式证明，如果不管商品的相对价格如何变化，消费者总是把收入按固定比例支付在每种商品上时，这些效应就成为相等的了（这是练习题6.1的推广）。

解：假定x_i＝a_iI，x_j＝a_jI，因为每种商品份额不变，从而有：

因而收入效应（除替代效应之外）是对称的。

8．例6.3由含有三种商品的CES函数

计算出了这三种商品的需求函数。

a．运用（6.32）式中x的需求函数来确定x与y及x与z是总替代品还是总互补品。

b．你怎样才能确定x与y及x与z是净替代品还是净互补品？

解：a．在例6.3中，，则有：，，从而可知，x与y，x与z是总互补品。

b．斯勒茨基方程为：

从而可知：可能为正，可能为负。因为y和z在此是对称的，所以希克斯第二定律可知，，，因而可知x与y，x与z是净替代品。

分析问题

9．多种商品情形下的消费者剩余

在第5章中，我们讲过某一商品价格变化引起的福利成本的变化，可以通过支出函数或者补偿性需求曲线来计算。本题要求你将价格的变化推广至两种（或多种）商品。

a．假定某人共消费n种商品，其中两种商品的价格（设为p₁，p₂）上升了。你如何用支出函数计算这个变动造成的补偿性差异（CV）？

b．假设一个价格先上升，另一个价格再上升，则福利损失可以用补偿性需求曲线的图形表示，请画图并说明之。

c．在b中，哪种物品先涨价对结论有影响吗？解释之。

d．一般来说，两种物品是净替代关系，和两种物品是净互补关系，哪种情况下CV会大一些？还是说CV与此无关？

解：a．商品价格p₁，p₂上涨后的补偿变化为：

b．补偿变化的图示方法如图6-1所示。图6-1（a）表示仅有商品1的价格发生变化时的福利损失；图6-1（b）表示，在商品1的价格发生变化的情况下，商品2在新的价格下所造成的福利损失。商品1价格p₁提高将导致商品2的补偿需求曲线向右上方移动。图中的阴影部分表示福利损失。

图6-1　两种商品价格变化所引起的补偿变化的图示

c．补偿性交叉价格效应的对称性意味着，b中的计算顺序是无关紧要的，对分析结果没有影响。

d．由b中的图形分析可知，当两种商品是净互补品时的补偿变化将小于两种商品是净替代品时的补偿变化。

10．可拆分效用

如果一个效用函数可以表示：

其中，，，并且U₁与U₂可以不相同，则称之为可拆分的效用函数。

a．可拆分的性质与U的交叉偏导数U_xy有什么联系？现实中什么情况下会出现这种情形？给出一种直观上的解释。

b．证明如果效用函数可拆分，则每种商品都不可能是劣等品。

c．可拆分的性质能否保证x，y是总替代品或者是总互补品？解释之。

d．用柯布—道格拉斯函数说明，对效用函数做单调映射不能保持其可拆分性质。说明：可拆分函数将在本章扩展部分有更详细的讲述。

解：a．可拆分的函数形式假定U_xy＝0，即x的边际效用不取决于y的消费量。严格来讲，这个条件是不太可能满足的。但是，在诸如“食物”与“住房”这些消费总体的情况下，可分性条件还是可能成立的。

b．效用最大化要求：，收入增加时，如果价格p_x，p_y都不变，则x和y的消费都必须增加，从而使该效用最大化条件得以满足。因此每种商品都不可能是劣等品。

c．可分性的假定难以得出x与y是总替代品或总互补品的结论。由可知，p_x上涨会导致x的减少，从而使MU_x增加。因而变化的方向是不定的。从而y的变化也是不定的。

d．对于柯布—道格拉斯效用函数而言，其边际效用为：；

但是对于柯布—道格拉斯效用函数经过取自然对数后得到的效用函数而言，该函数是可分的，但是其边际效用为：。从而可知，可分性对于单调变化不是不变的。

11．画图表示互补品

用图示方法表示互补品通常很困难，因为两种商品间的互补关系（净互补关系）不仅仅涉及这两种商品。事实上，互补性必然涉及三种（或更多）商品间的需求关系。据此，萨缪尔森提供了一种用二维无差异曲线解释互补品的方法（见推荐阅读材料）。为理解该方法。现假设消费者在三种商品间进行消费，数量分别记为x₁，x₂和x₃，操作如下：

a．保持x₁的数量为x₁⁰不变，画出一条关于x₂和x₃的下凸的无差异曲线。

b．保持x₁的数量为，在第一条无差异曲线的右上方画出x₂和x₃的第二条无差异曲线，并标明为补偿x₁的损失而增加的x₂的消费量j以及x₂的增加量k。

c．假设消费者被额外给予j单位x₂和k单位x₃，那么他将达到更高的效用水平。在图中表示出效用水平的变化并画出x₂和x₃的第三条无差异曲线。

d．萨缪尔森关于互补品的定义如下：

·若第三条无差异曲线恰好对应时的无差异曲线，则x₂和x₃相互独立，既不是互补品，也不是替代品。

·若第三条无差异曲线上提供的效用大于时的无差异曲线上的效用，那么和x₃为互补品。

·若第三条无差异曲线上提供的效用小于时的无差异曲线上的效用，那么x₂和x₃为替代品。证明上述图形化定义是对称的。

e．讨论上述图形化定义是如何与希克斯的数学定义相对应的。

f．回到你所画的图形中，你是否真的认为所画图形涵盖了x₂与x₃之间能存在的所有关系？

解：a．x₁的数量固定时的无差异曲线为：

图6-2　x₁＝x₀时关于x₂，x₃下凸的无差异曲线

b．x₁数量的减少能通过增加的x₂的消费量k以及x₃的增加量j而得到补偿，如图6-3所示。

图6-3　时关于x₂，x₃下凸的无差异曲线

c．若消费者被额外给予j单位x₂和k单位x₃，那么他的效用水平将由U₀提高到U₂。如图6-4所示。

图6-4　消费者多增加j单位x₂和k单位x₃的无差异曲线

d．萨缪尔森关于独立品、互补品、替代品的图形化定义如图6-5至6-7所示。

图6-5　独立品

图6-6　互补品

图6-7　替代品

e．从萨缪尔森的定义可知，假定，效用U是一个常数，若x₂，x₃是独立品，有；若x₂，x₃是互补品，有；若x₂，x₃是替代品，有。在希克斯的定义中，根据边际替代率递减规律，，现在考虑产品3消费量的变化对其他商品的影响。因为，当产品3价格下降时，x₃会上升，若二阶偏导，在给定x₁，x₂水平下，x₂，x₃边际替代率会上升，为了保证效用最大化水平不变，消费者会减少x₂的消费量，即当p₃下降时，有x₃上升，x₂下降，故x₂，x₃是替代品。因此希克斯的数学定义与d中的图形化定义是一致的。

f．上面所画的图形并没有涵盖x₂，x₃之间的所有关系，特别是在现实中包含很多商品的模型中。

12．优质苹果哪里去了

练习题6.5和6.6涉及一个有趣的经济现象：优质苹果哪里去了？与之有关的交易费用假设最早是由Alchian和Allen两名经济学家提出的，而问题的详细分析工作则由Borcherd—Jn9和Silberberg（见推荐阅读材料）完成。学者们关注的问题是：交易费用是如何影响两种高度替代的商品的相对需求的？假设有两种高度替代的商品x₂和x₃，每单位的交易成本都为t，并且x₂的价格p₂更高（好比优质苹果的价格比普通苹果高）。学者们得出的结论是，由于交易费用降低了贵商品（如优质苹果）的相对价格（价格比率随着t的增大而降低），那么贵商品的相对需求量就会增加，即偏导数（这里我们用补偿性需求函数求导，排除收入效应的影响）。Borcherdin9和Silberber9采用了以下几个步骤证明该结论：

a．对的比值求偏导数。

b．利用a中得出的结果和等式，i＝2，3。

证明下述等式成立：

其中。

c．利用下述补偿性价格弹性的公式改写b中的结果：

d．运用希克斯第三定律（（6.26）式），证明b和c中括号内的表达式都可写为[（e₂₂－e₂₃）（1/p₂－1/p₃）＋（e₂₁－e₃₁）/p₃]。

e．在这个问题的情形下，d中的表达式通常为正，请对此给出一个直观的解释。提示：为何括号内第一项为正，并且第二项偏小？

f．回到练习题6.6中，为这些有趣的现象提供更丰富的解释吧。

解：a．

b．将等式

代入a中，可得

其中。

c．将代入b中，可得：

d．由希克斯第三定理，即

将方程式代入c中，则可得

e．对于第一项，由于商品对自身的替代效用为负，则e₂₂＜0，商品2和商品3是替代关系，有e₂₃＞0，因此；由题意知商品2的价格p₂更高，则有，所以第一项。对于第二项，由于商品2和商品3是替代关系，它们与商品1的关系类似，则e₂₁与e₃₁相近，故第二项较小。所以d中的表达式通常为正。

f．1．假设高质量的苹果和新鲜的橘子代表商品2，普通苹果和橘子代表商品3，高质量苹果、橘子和普通苹果、橘子是替代品，由e问可知，即，因此，随着交易费用（比如运输费）的增加，贵商品高质量苹果和橘子的相对需求量就会增加。

2．假设昂贵餐馆用餐代表商品2，普通餐馆用餐代表商品3，昂贵餐馆和普通餐馆是替代品，由e问可知，即，因此，一个高的交易费用，在这里是高额育儿费，将会降低消费者的相对价格，从而增加对高质量商品的需求量。

3．假设乘坐飞机代表商品2，坐火车代表商品3，坐飞机与坐火车是可以替代的，由e问可知，即，因此，一个高的交易费用，在这里是时间成本，将会增加消费者对高质量商品飞机的需求。

4．在寻求商品上所花费的时间能改变商品的相对价格，假设在购买昂贵商品时讨价还价代表商品2，在购买一般商品时讨价还价代表商品3，在购买昂贵商品时讨价还价与在购买一般商品时讨价还价是可以替代的，由e问可知，即，因此，一个高的交易费用，在这里是寻找商品所花费的时间成本，将会增加消费者对高质量商品的需求。