第3章　非稳态导热

一、选择题

对于热电偶时间常数而言，下面（　　）中描述是正确的。[湖南大学2006研]

A．越小表示热惯性越小，达到稳态值的时间越短

B．越小表示热惯性越小，达到稳态值的时间越长

C．越大表示热惯性越小，达到稳态值的时间越短

D．越大表示热惯性越小，达到稳态值的时间越长

【答案】A

【解析】由于热接点的温度变化，在时间上总是滞后于被测介质的温度变化。热电偶这种现象称为热惯性。因而热电偶时间常数越小表示热惯性越小，达到稳态值的时间越短。

二、填空题

1．傅利叶准则数中，a表示______，表示______。傅利叶准则表征了______。[浙江大学2010研]

【答案】热扩散系数；非稳态过程进行的时间；非稳态过程进行深度的无量纲时间

2．集总参数系统的时间常数由______、______、______、______、______物理量组成。[浙江大学2012研]

【答案】密度；比热容；体积；表面积；表面传热系数

【解析】时间常数的表达式为

它不仅取决于热电偶的几何参数V/A，物理性质ρ、c，还同表面换热条件h有关。

3．Bi数与物理量______、______成正比，与物理量______成反比，其物理意义为______。[浙江大学2012研]

【答案】表面传热系数；特征尺寸；导热系数；导热物体内部导热热阻与外部对流换热热阻的比值

【解析】毕渥数Bi的表达式为

式中为内部导热热阻，为对流换热热阻。

4．非周期性加热或冷却的导热过程可以分为______阶段和______阶段，其中温度分布依然受到初始温度分布影响的是______阶段。[重庆大学2014研]

【答案】非正规状况；正规状况；非正规状况

【解析】温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布。

5．对于时间常数τ_c，其定义式为______，τ_c越小，热电偶测温达到稳态值的时间越______。[重庆大学2014研]

【答案】；短

【解析】时间常数表示物体对外界温度变化的响应程度。故越小，热电偶越能迅速反映出流体温度的变动。

6．某一直径为0.1m、初始温度为300K的轴，其密度为7832kg/m3，导热系数为，比热为。将该轴置于温度为1200K的加热炉中，其表面对流换热系数为，则其时间常数为____________；要使其中心温度达到800K，则放入加热炉内约需要加热____________分钟（用集中参数法）。[浙江大学2004研]

【答案】1059.3s；859.02s

【解析】先检验是否可用集中参数法。

故可以采用集中参数法。

根据时间常数的定义可知

把、、、d＝0.1m代入上式，计算可得时间常数为：。

根据集中参数法温度场的分析解，可得

把、、、代入上式，可得：。

7．导热集总参数系统的热惯性可由时间常数来描述，其影响因素为________。[浙江大学2000研]

【答案】物体自身的热容量以及表面换热条件hA

三、名词解释

1．非稳态导热[武汉科技大学2016研]

答：物体温度随时间变化的导热过程，称为非稳态导热。

2．集总参数法[东南大学2013研；重庆大学2013研]

答：当Bi→0时，即当固体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时，任何时刻固体内部的温度都趋于一致，以致可以认为整个固体在同一瞬间均处于同一温度下。这时所要求解的的温度仅是时间τ的一元函数而与空间坐标无关，这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集总参数法。

四、简答题

1．有两块同样材料制作的大平板A及B，A的厚度为B的两倍。将两平板放在一高温炉加热足够长时间，然后取出置于冷流体中淬火。假设两平板与流体的表面传热系数均可视为无限大，且板B中心点过余温度下降到初始过余温度的一半需要20min，求板A中心点过余温度也达到初始过余温度一半要多少时间？[武汉科技大学2016研]

答：

，

2．写出毕渥数Bi的定义式，解释其物理意义。非稳态导热问题在什么条件下可用集总参数法处理？[华中科技大学2013研]

答：（1）毕渥数Bi的定义式为：，它表示的是物理内部导热热阻与其表面对流热阻的比值。

（2）在非稳态导热问题中，当Bi很小时（或答当时），可用集总参数法处理。此时相对于表面对流热阻，其内部导热热阻很小，可以忽略不计，从而物体内部温度分布可认为是均匀的，故可用集总参数法处理。

3．假定有厚度为2δ、初始温度为t₀的大平板，其物性为常数，在时间τ时突然放入温度为t_f的流体中冷却，两侧表面传热系数都为h。请写出描述板内温度分布的导热微分方程及定解条件；如果平板很薄，使得Bi→0，试导出平板温度变化的表达式。[重庆大学2013研]

答：（1）由于对称受热，该问题可视为直角坐标中的常物性一维无内热源非稳态导热问题。以平板中心厚度建立直角坐标，由于对称，只要研究板厚的一半即可。将x轴的原点置于板的中心截面上，如图3-1所示。

图3-1

对于x≥0的半块平板，其温度分布的导热微分方程及定解条件为

（2）当Bi→0时，可用集总参数法分析上述问题，非稳态、有内热源的导热微分方程式为

由于物体的内部热阻可以忽略，温度与空间坐标无关，所以式中温度的二阶导数项为零。于是上式简化为

其中，是广义热源。由于发生热交换的边界不是计算边界，因而界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源

引入过余温度，则上两式变成

以过余温度表示的初始条件为。

对上式进行分离变量，并对τ从0到τ积分，可得

故平板温度的变化的表达式为

4．将直径为D，初始温度为T_i的金属圆球悬挂在四周壁温为T_w，空气温度为T_∞的大房间内。已知圆球表面发射率为ε，圆球表面与空气对流传热的表面传热系数为h，试在忽略圆球内部热阻情况下导出圆球温度随时间τ变化的导热微分方程并给出定解条件（圆球物性已知）。[重庆大学2014研]

答：由题意可知，球体内部热阻可忽略，即可采用集总参数法如下

界面上交换的热量折算成整个球体的体积热源，即

由以上两式得

由于，，可得圆球温度随时间τ变化的导热微分方程

定解条件为，

5．写出Bi和Fo的组成式，简述其物理意义。[上海交通大学2002研]

答：（1），物理意义：表示固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。

（2），物理意义：表示非稳态过程进行深度的无量纲时间。

6．什么是时间常数？试说明时间常数对动态温度测量精确度的影响。[华中科技大学2006研]

答：时间常数，表示物体反映外界温度变化快慢的能力。

常数对动态温度测量精确度的影响：时间常数越小，动态温度测量越精确。

7．非周期性的加热或冷却过程可以分为哪两个阶段，他们各自有什么特征？[华中科技大学2005研]

答：非周期性的加热或冷却过程可以分为初始状况阶段和正规状况阶段。

（1）初始状况阶段的温度分布依然受着初始温度分布的影响，也就是说热扰动还没有扩散到整个系统，系统中仍然存在着初始状态，此时的温度场必须用无穷级数加以描述。

（2）正规状况阶段时热扰动已经扩散到了整个系统，系统中各个地方的温度随时间变化，此时温度分布可以用初等函数加以描述（实际为无穷级数的第一项）。

8．在用裸露热电偶测定气流的非稳定温度场时，怎样可以改善热电偶的温度响应特性？[北京科技大学2007研]

答：热电偶的时间常数是说明热电偶对流体温度变化响应快慢的指标。时间常数越小，热电偶越能迅速反映出流体温度的变动。从物理意义上说，热电偶对流体温度变化反应的快慢取决于自身的热容量及表面换热条件hA。所以要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数，可采取以下措施：

（1）在形状上要降低体面比；

（2）选择热容小的材料；

（3）强化热电偶表面的对流换热。

9．采用集总参数法求解物体非稳态导热时，需满足什么条件？说明为什么要满足此条件。[北京科技大学2007研]

答：采用集总参数法求解物体非稳态导热时需满足：。

因为只有当固体内部的导热热阻远远小于表面对流换热热阻时，即毕渥数Bi很小时，才能认为任何时刻固体内部的温度趋于一致，才能用集总参数法。

10．写出Bi数的定义式并解释其意义。在Bi→0的情况，一初始温度为t₀的平面突然置于温度为的流体中冷却，如图3-2所示。粗略画出和时平板附近的流体和平板的温度分布。[华中科技大学2005研]

图3-2

答：（1）Bi数的定义式及其意义

，表征固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位面积上的换热热阻（即外部热阻）之比。

（2）平板附近的流体和平板的温度分布如图3-3所示。

图3-3

11．为什么玻璃体温计测体温必须在测温点放置一定的时间，如果你来设计体温计，有哪些方法可以缩短测温的放置时间？[浙江大学2006研]

答：（1）对于玻璃体温计的分析可以简化为分析玻璃体中水银的非稳态导热问题。

由于玻璃体中水银较少，所以可以用集中参数法。根据集中参数法的分析解可知，时间常数为。由此可知，玻璃体中的物质热容量越小、玻璃体的表面换热条件越好，那么温度变化越快。由于水银的热容量比较大，那么在表面换热条件一定的条件下，温度变化较慢，时间常数较大。所以，玻璃体温测温计测体温必须在测温点放置一定的时间。

（2）根据时间参数的定义式可知，要缩短测温的放置时间必须从减小物质的热容量、增大表面换热条件(hA)，以缩短测温的放置时间。

五、计算题

1．将初始温度300℃、直径10mm的小球放入温度20℃的气流中冷却，小球材料导热系数λ＝45W/(m·℃)，比热c＝465J/(kg·℃)，密度ρ＝7790kg/m3。已知小球在气流中冷却2分钟后温度降为200℃，求小球表面传热系数；如果想让小球温度继续降到100℃，还需要多少时间？假设小球表面传热系数保持不变。[武汉科技大学2016研]

解：假设小球换热可以使用集中总参数法

由得小球表面总传热系数为

故前面假设合理。

继续降到100℃所需时间

2．有一球状铝滴，其直径为d＝0.5mm，在某时刻的温度T₁＝1700K，下落速度u＝1m/s，铝滴可看成是灰体，其表面发射率（黑度），，比热，铝滴所处的环境空气温度T_∞＝300K，空气外掠球体的对流换热规律为，定性温度取铝滴与空气温度的算数平均值。试用集中参数法计算此时刻下落铝滴的冷却速率。[重庆大学2012研]

解：对于可以忽略内阻，温度与空间坐标无关的物体，利用集总参数法可得导热微分方程式

考虑铝滴表面换热与表面辐射换热，可得如下热平衡方程式

由此可得下落铝滴的冷却速率为

通过查表可知空气的物性参数

可知空气外掠球体的雷诺数为

根据空气外掠球体的对流换热规律可知

根据努塞尔数的定义式可知，铝滴的表面换热系数为

把、、、、、、、代入铝滴冷却速率表达式，可得下落铝滴的初始速率为

3．一种火焰报警器采用低熔点的金属丝作为传感元件。当金属丝受火焰或高温烟气的作用而熔断时，报警系统即被触发。已知报警系统导线的熔点为500°C，λ＝210W/（m·K），ρ＝7200kg/m3，c＝420J/(kg·K），初始温度为25°C。问：当它突然受到650°C的烟气加热后，为在1分钟内发出报警信号，求金属丝直径应小于何值？假设对流和辐射的总换热系数为12W/(m2·K）[华中科技大学2013研]

解：假设可以用集总参数法，则温度分布为

将已知数据代入上式可得

由上式解得r≈0.33mm，d≈0.66mm。

验证毕渥数

故假设成立。

4．将一初始温度为的固体，突然置于壁面和空气温度均为的大房间里。空气和固体间的对流表面传热系数为h，固体体积为V，表面积为A，密度为ρ，比热容为c，可认为是黑体，若假设固体内部温度分布均匀（集总参数），考虑辐射、对流和非稳态导热，写出固体温度T随时间τ变化的微分方程。[华中科技大学2006研]

解：设α为辐射和对流的复合表面换热系数，则τ时刻有

固体温度T随时间τ变化的微分方程为

5．有一直径为3mm的钢球，其密度为7701kg/m3，比热容460J/(kg·℃)，导热系数23W/(m·℃)。今钢球在炉内加热至t₁＝500℃后，突然放置在＝20℃的环境中冷却，测得钢球与环境间的换热系数为78W/(m2·℃)，试计算钢球冷却到100℃所需要的时间。[华中科技大学2005研]

解：先检验是否可用集中参数法。

故可以采用集中参数法。

根据集中参数法温度场的分析解，可得

钢球冷却到100℃所需要的时间为

6．一金属圆柱体直径为d＝100mm，长度为l＝50mm，密度为7800kg/m3，比热为460J/(kg·℃)。柱体初始温度为700℃。若τ≥0s时其下底面与温度为100℃的油一直保持接触，对流表面传热系数为h₁＝200W/(m2·K)，其余表面绝热；τ≥120s时，上表面再同时与温度为20℃的空气保持接触，对流表面传热系数为h₂＝40W/(m2·K)，而侧面仍维持绝热。假定圆柱体的导热热阻很小，同一瞬间圆柱体温度均匀一致，求：

（1）τ＝120s时圆柱体的温度。

（2）τ＝600s时圆柱体的温度。

（3）热平衡时圆柱体的温度。[华中科技大学2004研]

解：（1）当只有下底面与油接触时，有能量守恒关系式

引入，则。

初始条件为

积分得

当时

因此，当时圆柱体的温度为

（2）当上下底面都传热时，有能量守恒关系式

令

则

当时，，则有

因此有：

可求得此时圆柱体的温度为

（3）热平衡时，，故，因此有

7．有一体积为V，表面积为的物体。假设物体内部导热热阻很小，可以忽略，则物体在同一时刻各点的温度相同。物体与温度为的环境发生对流换热，换热系数为α，若物体热导率λ、密度ρ和比热容C均为已知常数，且物体初始温度为。请推导物体温度随时间的变化函数。[北京科技大学2008研]

解：非稳态、有内热源的导热微分方程适用于本问题，即

由于物体内部热阻可以忽略，温度与空间坐标无关，所以上式简化为

假设物体被冷却，，则为负值，界面上交换的热量应为整个物体的体积热源，即

由以上两式可得

引入过余温度，则上式变为

初始条件，分离变量后得到

解得

即

8．一直径10cm，初温100℃的铜球放入20℃的水中自然冷却，铜的密度为8000kg/m3，比热为380J/kg，导热系数为400W/（m·K），水与铜球的自然对流换热系数为240W/（m2·K），试计算：

（1）时间常数；

（2）球的温度降到30℃所需要的时间；

（3）此时所释放的总热量。[上海交通大学2001研]

解：（1）根据集中参数法的分析解和时间常数的定义可知①

对于球体，特征长度为

把、、、代入①式，可得时间常数为。

（2）根据集中参数法的分析解可知

把、、代入，可得球的温度降到30℃所需要的时间为。

（3）根据题意可知，当温度降到30℃时，释放的总热量为

9．一金属杆内的温度分布为，式中时间τ的单位为小时，x＝0为杆的始端，x＝L为杆的终端。已知，L＝1m，λ＝45W/（m·℃），问：

（1）τ＝10min时通过杆中间x＝0.5L截面的热流密度为q多少？

（2）出现最高杆温的位置。[上海交通大学2000研]

解：（1）根据傅里叶定律，可知热流密度为

把、、、代入上式，计算可得杆中间截面的热流密度为。

（2）令，可得

解得：。

所以出现最高杆温的位置为处。

10．用热电偶测量气流温度时，通常热电偶接点可近似看成一个圆球体。已知气流与热电偶接点的h＝400W/(m2·℃），热电偶材料物性数据为C＝400J/（kg·℃），ρ＝8500kg/m3，热电偶接点的时间常数为，试确定：

（1）热电偶接点的直径d；

（2）如果把初温为的热电偶放在温度气流中，问：当热电偶显示温度为时，其需要经历多长时间τ。[上海交通大学2000研]

解：（1）根据集中参数法的分析解以及时间常数的定义可知，有下式成立

把、、、代入上式，计算可得

（2）根据集中参数法的分析解可知

把、、、代入上式，计算可得。

11．设1kg的牛排与2kg的牛排均为扁平的长方体，且几何相似。如果烤熟1kg的牛排要，试用集总参数法估算2kg的牛排需要的时间。[湖南大学2006研]

解：根据集中参数法温度场的分析解可知

由此可见，对于不同质量但几何相似的牛排来说，在都烤熟的前提下，满足如下关系式

把、、代入上式，可得。

12．某建筑物外墙（墙体材料散热率）夏季在室外日空气温度变化及阳光照射下，外表面产生温度波动。若墙内某处温度波动振幅衰减度v＝2，试求：该处距墙外表面有多厚？温度波在该处达到最高温度的延迟时间ξ为多少？已知半无限大均质物体周期性边界条件下的温度场为： 。[重庆大学2006研]

解：根据温度波动的振幅衰减度的定义可知

（1）可得距墙外表面的厚度为

（2）由题意可知，当时，，此时该处达到最高温度。

整理后可得到最高温度的延迟时间为

13．通过观测紫铜球的温度随时间的变化关系可确定空气流过球体的换热系数。球的直径为12.7mm，在插入温度为27℃的空气流之前处于66℃。在插入空气流后69s时球体外表面上热电偶的读数为55℃。假定并证明球体是一个空间上等温的物体，计算换热系数。

已知：纯铜（333K）：ρ＝8933kg/m3，J/(kg·K），k＝398W/(m·K）。[中国科学院2009研]

解：首先假定本题可以采用集中参数法。设铜球与周围空气的换热系数为h，则根据集中参数法的分析解可知

把，，，，，，代入上式，可得

验证假设

由此可以说明上述假定是正确的。

14．随着永久性太空站尺寸的增大，它们的电功耗的量也相应增加。为使太空站的舱内温度不超过给定的极限，必须把热耗传给太空。为此，有人提出一种称为液滴辐射器（LDR）的新型散热方案，如图3-4所示。首先把热量传给一种高真空油，然后把油以小滴流的形式排入外部空间。油滴流的穿行距离为L，在这个距离上它通过向处于绝对零度的外部空间辐射能量而冷却，随后把油滴收集并送回太空站。

考虑以下情形：发射率和直径分别为ε＝0.95和D＝0.55mm的油滴排出时的温度和速度分别为T₁＝500K和v＝0.1m/s。油的性质为ρ＝885kg/m3，c＝1900J/(kg·K）和k＝0.145W/(m·K）。假定每个油滴均向处于K的深空发射能量，确定这些油滴在以最终温度K撞击收集器之前需要穿行的距离L。每个油滴排放的热能是多少？[中国科学院2007研]

图3-4

解：先检验是否可以采用集中参数法。

根据热平衡可知，油滴与外界的对流换热量等于油滴与外界的辐射传热量，由此可得

　①

通过计算可得，在油滴排出时和油滴撞击收集器时的对流换热系数分别为

根据毕渥数的定义可知

所以可以采用集中参数法。

根据集中参数法温度场的分析解，可得微分方程为

把①代入上式，可得

求解该微分方程，可得

油滴穿行的长度为

每个油滴的放热量为

综上，这些油滴以最终温度撞在收集器之前需要穿行的距离为2.52m，每个油滴排放的热能为0.022J。

15．将具有相同温度的两块相同材料的平板A和B放入冷流体中冷却。已知A的厚度是B的厚度的两倍，流体与各表面间的表面传热系数均可视为无限大。已知板B中心点的过余温度下降到初始值的一般需要20min，问板A下降到同样温度的工况需要多少时间？[国防科技大学2005研]

解：由于流体与各表面传热系数，所以，则有

由于A、B板下降到同样温度，并且初始温度相同，所以，即

因为扩散率，，则可求得板A下降到同样温度的工况所需时间为