第2章　稳态导热

一、选择题

试将圆筒壁的热阻与同材料、同厚度的平壁的热阻进行比较，如果温度条件相同，而平面的面积等于圆筒壁的内表面，则（　　）是正确的。[湖南大学2006研]

A．平壁的热阻较小

B．平壁的热阻较大

C．二者的热阻相等

D．缺少条件，不好比较

【答案】B

【解析】设该材料的导热系数为，平壁的面积为A，圆筒的长度为l，圆筒内壁的直径为，圆筒和平壁的厚度为，则圆筒外壁的直径为。因为平面的面积等于圆筒壁的内表面，则。

平壁的导热热阻为：

圆筒壁的导热热阻为：

圆筒壁的导热热阻与平壁的导热热阻之比为：

数学分析：令，。时，。且时，。所以当时，，即。

所以，。

由此可见，平壁的热阻较大。

二、填空题

1．影响物体导热系数的因素是______、______。[浙江大学2012研]

【答案】物质的种类；温度

【解析】金属的导热系数很高，气体的导热系数很小，液体的数值介于金属和气体之间；大多数材料的导热系数都容许采用线性近似关系，即。

2．导热微分方程的第三类边界条件为______。[浙江大学2012研]

【答案】规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的温度

3．描述导热物体内部温度扯平能力的物性量叫______，其定义式为______，一般用于______导热过程中。[重庆大学2014研]

【答案】热扩散率；；非稳态

【解析】热扩散率反映了导热过程中材料的导热能力与沿途物质储热能力之间的关系，是导热过程的动态特征量，故热扩散率一般用于非稳态导热过程中。

4．推导导热微分方程的依据是______和______。[重庆大学2014研]

【答案】能量守恒定律；傅里叶定律

【解析】为了获得导热物体温度场的数学表达式，必须根据能量守恒定律和傅里叶定律来建立物体中的温度场应当满足的变化关系式。

5．如图2-1所示的双层平壁中的温度分布判断两种材料的导热系数相对大小为______。[浙江大学2010研]

图2-1

【答案】

【解析】由傅里叶定律可知，根据题意，而通过整个平面的热流密度不变，故。

6．肋片效率的定义为______；用套管式温度计测量管道中流体的温度时，为减小测温误差，可选择导热系数______（填“大”或“小”）的材料来做套管，同时还要求套管外表面与流体之间对流传热表面传热系数要______（填“大”或“小”）。[重庆大学2014研]

【答案】肋表面的实际散热量与假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量的比值；小；大

【解析】温度计套管产生误差的主要原因是由于沿肋高（即套管长度方向）有热量导出和套管表面与流体之间存在换热热阻，故选择导热系数小的材料可以增加导热热阻。

7．肋壁总效率的数学表达式为_____________。[浙江大学2006研]

【答案】，其中，为两个肋片之间的根部表面积，为肋片的表面积，为肋效率。

8．肋效率的定义是____________，当肋片高度为________时肋效率达到。[浙江大学2005研]

【答案】实际散热量与假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量的比值；零

9．导热微分方程的推导依据是_________和________。直角坐标下一维，非稳态、无内热源导热问题的导热微分方程可以表示成_____________。[浙江大学2004研]

【答案】傅里叶定律；能量守恒定律；

10．如果测的通过一块厚50mm的大木板的热流密度为40W/m2，木板两侧的表面温度分别为和，则该木板的导热系数为________；若将加热热流密度提高到80W/m2，该木板的一侧表面温度为，则另外一侧的表面温度应为_________。[浙江大学2004研]

【答案】；

【解析】根据傅里叶定律可知，把、、q＝40W/m2代入，计算可得木板导热系数为：。

当时，木板两侧温度差为：。

因为木板一侧的表面温度为，因而另外一侧的表面温度为。

11．描述导热物体内部温度扯平能力的物性量叫_________，它由_______物性量决定，其定义式为_________。[浙江大学2001研]

【答案】热扩散率；物体的导热系数、密度、比热容；

12．确定导热微分方程的定解条件中有边界条件，常用的有三种：

第一类边界条件为______；

第二类边界条件为______；

第三类边界条件为______。[浙江大学2001研]

【答案】规定了边界上的温度值；规定了边界上的热流密度值；规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数以及周围流体的温度

三、名词解释

1．傅利叶定律[武汉科技大学2016研]

答：单位时间通过单位截面积所传导的热量，正比于当地垂直于截面方向上的温度变化率，，其中x为截面的法线方向。该定律称为傅利叶定律。

2．热扩散率[重庆大学2013研]

答：热扩散率又称导温系数，是物性参数，表征物体内部各部分温度趋于均匀一致的能力（或材料传递温度变化的能力）。热扩散率，其单位为m2/s。

3．接触热阻[东南大学2013研]

答：两个名义上相接触的固体表面，实际上接触仅发生在一些离散的面积元上，而未接触的界面之间的间隙充满着空气，热量以导热的方式穿过这种空气层。这种情况与两固体表面真正完全接触相比，增加了附加的传递阻力，称为接触热阻。

4．肋片[重庆大学2013研]

答：肋片又称翅片，是指依附于基础表面上的扩展表面。采用肋片可有效的增加换热面积。

5．肋片效率和肋壁总效率。[重庆大学2005研]

答：肋片效率表征单个肋片散热的有效程度，它的物理意义是实际散热量与假设整个肋片表面处于肋基温度下的散热量之比。

肋壁总效率是表征整个肋壁散热的有效程度，它的物理意义是整个肋壁的实际散热量与假设整个肋壁均处于肋基温度下的散热量之比。

四、简答题

1．写出导热系数和热扩散系数的定义式，并说明两者的物理意义和单位。[华中科技大学2013研]

答：（1）根据傅里叶导热定律，导热系数的定义式为：，它表征物质传导热量的能力，在数值上等于单位温度梯度时的热流密度的模（大小），单位是。

（2）热扩散系数的定义式为：，它表征物质扩散热量的能力，反映导热过程中材料的导热能力与沿途物质储热能力之间的关系，单位为。

2．无内热源的大平壁稳态导热的温度场如图2-2所示，试分析它的导热系数l是随温度增加而增加还是随温度增加而减小？[武汉科技大学2016研]

图2-2

答：大平壁稳态导热时，各截面热流密度都相等，即

图中随x增加而增加，因而λ随x增加而减小，而温度t随x增加而增加，所以导热系数l随温度增加而减小。

3．如图2-3所示，圆台上、下表面分别维持在定常温度t_l和t₂，且t₁＞t₂。材料导热系数与温度的关系为λ＝λ₀（1＋βt），其中β＜0。圆台侧面绝热。设温度仅沿x方向发生变化，试分析热流密度q、导热系数λ和温度变化率dt/dx随x增大是增加、还是减小，或是不变？[重庆大学2012研]

图2-3

答：由题意可知上述问题为稳态导热问题，由可知，温度t随x的增大而减小。（1）根据传热量表达式，沿x方向面积A逐渐增大，而稳态导热时Φ为定值，故可知热流密度q随x的增大而减小。（2）由λ＝λ₀(1＋βt），β＜0可知，导热系数λ随温度t的增大而减小，而温度t随x的增大而减小，故导热系数λ随x的增大而增大。（3）根据稳态热导有

沿x方向面积A逐渐增大，且由（2）可知导热系数λ也随x的增大而增大，而稳态导热时Φ为定值，故温度变化率随x的增大而减小。

4．试用所学的传热学知识说明用套管温度计测量流体温度时如何提高测温精度。[华中科技大学2013研]

答：（1）温度计套管可以看作是一根吸热的管状肋（等截面直肋），利用等截面直肋计算肋端温度的结果，可得测量误差为

其中。

（2）用套管温度计测量流体温度时为了提高测温精度，可使测量误差下降，故采用以下几种措施：

①增加H，延长温度计套管的长度；

②减小λ，采用导热系数小的材料做温度计套管；

③降低，减小温度计套管的壁厚，采用薄壁管；

④提高h，增强温度计套管与流体之间的热交换。

5．某航天器上伸出一高温的金属细长杆，以辐射方式向外部空间放热。已知杆的长度为L，横截面积为A，杆的横截面圆周长为P，导热系数为λ，表面黑度为ε，杆基部温度为t₀，外部空间可视为绝对零度的黑体，试导出描述杆内温度分布的导热微分方程，并给出相应的边界条件。[重庆大学2013研]

答：对于金属细长杆，假设温度只在长杆长方向发生变化，则为一个一维稳态导热问题。分析长度为dx的微元段的导热量

微元段净导热量

微元段散热量

由能量守恒，联立上述各式可得杆内温度分布的导热微分方程为

边界条件为x＝0，，x＝L，。

6．有一均匀内热源的无限大平板，其常物性下稳态导热的边界条件及温度分布如图2-4所示，试完成以下各项：

（1）画出平板两侧热流密度q₁和q₂的方向；

（2）比较平板两侧热流密度q₁和q₂的大小；

（3）比较平板两侧对流传热表面传热系数h₁和h₂的大小。[重庆大学2014研]

图2-4

答：（1）如图2-4所示，无限大平板中内部温度高，外缘温度低，所以热量方向是向两侧的，如图2-5所示。

图2-5

（2）根据傅里叶定律可知，如果认为无限大平板的导热系数是常数，那么越大，则该处的热流密度越大。由图可知：。

（3）分析边界处对流传热，根据对流传热基本计算式，可知：。

因为、、，由此可得：。

7．试说明推导导热微分方程所依据的基本定律。[华中科技大学2005研]

答：能量守恒定律和傅里叶定律。

8．请写出直角坐标系中，非稳态，有内热源，常导热系数的导热微分方程表达式，并说明表达式中各项的物理意义。[北京科技大学2007研]

答：（1）导热微分方程表达式

（2）各项的物理意义

其中，方程左边的项以及方程右边的第一项表示微元体热力学能的增量，方程右边的第二项表示微元体内热源的生产热。

9．简述影响导热系数的因素。[东南大学2002研]

答：导热系数的影响因素很多，主要取决于物质的种类、物质结构与物理状态，此外温度、密度、湿度等因素对导热系数也有较大的影响。其中温度对导热系数的影响尤为重要。

10．试解释材料的导热系数和导温系数之间有什么区别和联系。[浙江大学2004研]

答：（1）导热系数

导热系数的定义式由傅里叶定律的数学表达式给出：。它在数值上等于单位温度梯度作用下物体的热流密度矢量的模。导热系数是物质的一个重要热物性参数，表征物质导热能力的大小。

（2）导温系数

导温系数又称热扩散率，定义式为：。它是衡量材料温度变化能力大小的指标。

（3）导热系数和导温系数之间的区别和联系

①导热系数与导温系数都是材料的物性参数，而且导温系数的大小与导热系数相关。

②导热系数表征物质导热能力的大小；而导温系数是衡量材料温度变化能力大小的指标。

11．写出肋效率的定义。对于等截面直肋，肋效率受哪些因素影响？[华中科技大学2006研]

答：（1）肋效率的定义

肋效率是指肋表面的实际散热量与假设整个肋表面处于肋基温度时的散热量的比值。

（2）影响肋效率的因素

对于等截面直肋，，其中，影响因素：材料的导热系数λ，肋表面的换热系数h，肋片高度等尺寸。

12．在圆管外表加装肋片，就一定能够增强传热吗？为什么？[华中科技大学2004研]

答：不一定。

因为在圆管外加装肋片同时具有减小表面对流传热热阻及增加导热热阻两种相反的作用，所以并不能说一定增强传热。

13．常物性、无内热源的稳态导热方程中不包含任何物性量，这是否说明导热物体中的温度分布与导热物体的物性无关，为什么？[西安交通大学2005研]

答：常物性、无内热源的导热微分方程公式是导热微分方程的一般形式的简化结果，公式中只有在物体的导热率为常数时，才能简化为。若导热系数不为常数，则上式便不成立。故上式不能说明物体中的温度分布与物性无关。

14．定性绘出在稳态导热条件如图2-6所示物体内的温度分布并说明理由。设物体导热系数为常数。[西安交通大学2004研]

图2-6

答：图略。稳态导热有，沿x方向面积A逐渐增大，而稳态导热时为定值，可知逐渐减小。即沿方向温度梯度逐渐减小，温度变化趋于平缓。

15．用套管式温度计测量管道中流体的温度，为减小测温误差。

（1）若有铜和不锈钢两种材料，用哪一种做套管较好？为什么？

（2）将套管温度计安装在图2-7中①、②、③哪个位置较好？为什么？[西安交通大学2003研]

图2-7

答：（1）用不锈钢材料做套管较好。

温度计套管产生误差的主要原因是由于沿肋高（即套管长度方向）有热量导出。因而要减小温度计套管的测温误差，可以选择导热系数小的材料，增加导热热阻，故选不锈钢。

（2）套管温度计安装在②处比较好。

因为流体在流过②处时，由于离心力的作用，在横截面上产生了二次环流，增加了扰动，从而强化了换热，对应的h增加，从而使测温误差减小。

16．何为肋片有效度？热水流过一根管子将热能传至流过管子外表面的空气，为增强换热，应将肋片装在管子的内表面还是外表面上？请给出理由。[中国科学院2009研]

答：肋片有效度是指肋片散热量与没有肋片时肋基处的散热量之比，其表达式为

由于管外侧的对流换热系数较小，由上式可知，从强化换热角度考虑，应在管外侧表面上添加肋片。

17．描述物体内部导热机理的物理模型有哪些？它们分别描述哪些物质内部的导热过程？[浙江大学2005研]

答：导热是由于微观粒子的扩散作用形成的。迄今为止，有三种描述物质内部导热机理的物理模型。

（1）分子的热运动：描述气体和液体内部的导热过程。

（2）晶格振动形成的声子运动（声波辐射）：描述非导电固体和液体内部的导热过程。

（3）自由电子的运动：描述导电固体内部的导热过程。

五、计算题

1．在外径为38mm的钢制换热管外呈放射状安装了高18mm、厚3mm的直肋12片，已知该直肋的导热系数为35W/(m·K），直肋与气体间的表面传热系数为30W/(m2·K），试求：

（1）该直肋的肋效率是多少?

（2）此换热管的肋面总效率又是多少?

（3）提高肋效率的方法有哪些?

（4）从提高肋片换热量的角度分析肋效率是否越高越好?

己知：；；[浙江大学2012研]

解：（1）由题意可知

，，，n＝12，，。可得在直肋中

则该直肋的肋效率为

（2）设管道的长度为L，且忽略肋片两端的面积

换热管的肋面总效率为

（3）提高肋效率的方法

①增大肋片材料的导热系数

②减小肋片高度

③增加肋片厚度

④减小表面传热系数

（4）不一定。在基础表面上增加肋片一方面是在一定的材料消耗下极大限度地增加了传热面积；另一方面，采用肋片后增加了通过固体的导热热阻，此时总传热系数可能会受到影响。因此，从提高肋片换热量的角度分析，肋效率不一定越高越好。

2．一长为L的长圆柱内热源为Φ，常物性，左端面和侧面都绝热，右端面和温度为t_f的流体接触，表面传热系数为h，求：

（1）写出微分方程和边界条件；

（2）温度分布；

（3）圆柱内最大温度t_max。[东南大学2013研]

解：（1）已知长圆柱的左端面和侧面都绝热，可将其看成是一维稳态导热问题，则

微分方程为

边界条件为x＝0，，x＝L，

（2）将微分方程进行两次积分，并将边界条件代入，解得温度分布为

（3）由温度分布可知，当x＝0时，t最大。即圆柱内最大温度t_max为

3．无限大平壁的壁厚及两侧表面的温度t₁，t₂均已知，材料的导热系数对温度的依变关系为，式中k₀和均为常数值。请导出平壁导热热流密度的计算式。[国防科技大学2004研]

解：根据傅里叶定律，热流密度的表达式为

等式两边同乘，并且积分可得

把代入上式，可得

计算整理可得平壁导热热流密度的计算式为

4．试在t-x坐标图上画出厚为的无限大平板一维稳态导热温度分布曲线并简扼解释之。已知x＝0，；x＝δ，。平板材料导热系数为，式中b＞0。[上海交通大学2002研]

解：根据材料导热系数与温度的关系式：，可知，材料导热系数λ随着温度的降低而降低。

对于无限大平板一维稳定导热问题，对于大平板任意截面的热流密度是相等的。所以根据傅里叶定律可知：随着温度的降低而增大。

因而，对于无限大平板的一维稳定导热的温度分布曲线如图2-8所示。

图2-8

5．一个厚度7cm的平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，内热源。对流换热表面传热系数为，平壁的导热系数为。试确定平壁内温度分布、最高温度及其位置。 [东南大学2002研]

解：本问题的模型示意图如图2-9所示。

图2-9

本问题可以看成是常物性、稳态、具有内热源的一维稳态导热问题，因而导热微分方程为

解该方程可得

　①

边界条件，在处：。

由此可以确定：。

在处，根据热平衡关系

把该式代入导热微分方程可得

把、、、、代入上式，可得。

显然，根据①式，或者模型示意图可知，当x＝0处，。

综上，平壁上最高温度在处，为117.5℃。

6．如图2-10所示，长30cm的铜杆，两端分别坚固地连接在平壁上，一端壁温保持200℃，另一端壁温保持90℃。空气横向掠过铜杆，表面传热系数维持，杆的直径12mm，空气温度38℃，铜杆的导热系数。求铜杆散给空气的净热损失是多少？[华北电力大学2005研]

图2-10

解：本问题的模型示意图如图2-11所示。

图2-11

导热微分方程为

因此有

解得

所以

7．一无限大平壁厚δ，导热系数λ＝常量，内热源产热率Φ均匀，且为常数，已知两壁面温度分别保持、。求（1）出现在平壁内部的最高温度；（2）从两壁面传出的热流密度值（或热流量）。[中国科学技术大学2000研]

解：（1）本问题属于具有内热源、一维稳态导热问题，因而导热微分方程为

解该微分方程，可得

边界条件为：x＝0，；，。

把边界条件代入上式，可得积分常数为，。

当时，平壁内部的最高温度为

（2）根据傅里叶定律可知：

因而，从两壁面传出的热流密度值分别为

①当x＝0时，

②当时，

8．一个半径为R的实心球，初始温度为t₀，突然将其放入液体温度为t_f的恒温槽内冷却。已知球的导热系数λ、密度ρ和比热容c、球壁表面与液体的表面传热系数h，试写出球体冷却过程的数学描述。[国防科技大学2005研]

解：首先分析半径为r，厚度为dr的微元球壳的导热。根据球壳导热计算公式，有

因为，则上式可化简为

从而可得微元球壳的净导热为（忽略二阶小量）

又微元球壳内热源的内能增量为，再根据能量守恒，可得导热微分方程为，。

边界条件为

9．如图2-12所示，一厚度为10mm，导热系数为50W/（m·K）的不锈钢板，两维持固定温度50℃，已知钢板两端之间的距离为20cm，在垂直纸面方向很长。钢板上表面绝热，下表面有20℃的空气缓慢流动，对流表面传热系数为32W/(m2·K），试导出此钢板的导热微分方程，求解所导出的方程得出温度分布，并求出钢板中心的温度值。双曲函数的相关数值见表2-1。[华中科技大学2004研]

图2-12

解：由于对称性，此问题等效为原厚度两倍，长度一半的肋片问题。

有能量守恒

，式中，为截面积。

则有

令，为过余温度

得微分方程为

边界条件为：；。

微分方程通解为

确定常数：

得：

温度分布为

处：

钢板中心温度为