第二章　导数与微分

第一节　可导与可微

一、基本概念　 

1．导数　 

（1）导数

设函数y＝f（x）在点x₀的某个邻域内有定义，当自变量x在x₀处取得增量△x（点x₀＋△x仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量△y＝f（x₀＋△x）－f（x₀）；如果△y与△x之比当△x→0时的极限存在，则称函数y＝f（x）在点x₀处可导，并称这个极限为函数y＝f（x）在点x₀处的导数，记为ｆ＇（x₀），即

也可记作、或。

函数f（x）在点x₀处可导有时也说成f（x）在点x₀处具有导数或导数存在。

导数的常见形式有

和

其中的h即自变量的增量△x。

（2）单侧导数

根据函数f（x）在点x₀处的导数的定义，导数是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即f（x）在点x₀处可导的充分必要条件是左、右极限及都存在且相等。这两个极限分别称为函数f（x）在点x₀处的左导数和右导数，记作及，即

左导数和右导数统称为单侧导数。

2．微分

设函数y＝f（x）在某区间内有定义，x₀及x₀＋△x在这区间内，如果增量

可表示为

其中A是不依赖于△x的常数，那么称函数y＝f（x）在点x₀是可微的，而A△x称作函数y＝f（x）在点x₀相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即x。

二、基本性质

1．左右导数与导数

函数f（x）在x₀点处的导数存在的充要条件是该点的左右导数存在且相等。左右导数实际上是指在导数的定义式中将极限过程改成左右极限，故该定理本质上阐述的是函数极限与左右极限的关系。

2．可导与连续的关系

由函数导数和函数连续性的定义可知，若函数y＝f（x）在点x₀处可导，则函数在该点必连续。另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。

3．可导与可微的关系

设函数f（x）在x₀的邻域内有定义，那么函数f（x）在x₀处可微与函数f（x）在x₀处可导是等价的，也就是说：可微必可导，可导必可微。进一步地，我们还可以得f（x）在x₀处的微分dy=f^′（x₀）Δx。