第五节　假设检验

一、基本思想与基本步骤

1．假设检验问题

几点评论：

（1）这不是一个参数估计问题；

（2）这里要求对命题“μ＝1.40”做出回答：是与否；

（3）这一类问题称为假设检验问题；

（4）这类问题在质量管理中普遍存在。

2．假设检验的基本步骤

假设检验的基本思想是：根据所获样本，运用统计分析方法，对总体X的某种假设H₀做出接受或拒绝的判断。

（1）建立假设

原假设H₀：μ＝1.40

备择假设H₁：μ≠1.40（双侧假设检验）

或者H₁₂：μ＜1.40（单侧假设检验）

或者H₁₃：μ＞1.40（单侧假设检验）

（2）选择检验统计量，给出拒绝域的形式

（3）给出显著性水平α

假设检验中的两类错误（如图1.5-1）：

第一类错误（拒真错误）：原假设H₀为真，但由于抽样的随机性，样本落在拒绝域W内，从而导致拒绝H₀，其发生概率记为α，又称为显著性水平；

第二类错误（取伪错误）：原假设H₀不真，但由于抽样的随机性，样本落在内，从而导致接受H₀，其发生概率为β。

图1-29  统计判断所犯的两类错误

理论研究表明：

（1）在相同样本量下，要使α小，必导致β大；

（2）在相同样本量下，要使β小，必导致α大；

（3）要使α、β皆小，只有增大样本量n才可达到，这在实际中有时并不可行。

折中方案：控制α，但不使α过小，在适当控制α中制约β，常选α＝0.05，有时也用α＝0.10或0.01。

把第一类错误发生概率控制在α的意思是：在H₀为真（即X～N（μ₀，σ₀²））的情况下，样本点落在拒绝域W的概率为α，即：

P（W）＝α或P（︱u︱＞c）＝α

由此概率等式可确定c。

（4）确定临界值c，给出拒绝域W

（5）判断

当根据样本计算的检验统计量落入拒绝域W内，则拒绝H₀，即接受H₁。

当根据样本计算的检验统计量未落入拒绝域W内，则接受H₀。

【例题1.5.1】对生产的导线阻值是否等于设计值进行假设检验，则下列说法正确的有（　　）。[2012年真题]

A．该问题的原假设为生产的导线的阻值等于设计值

B．该问题应使用双侧假设检验

C．该问题属于比例P的假设检验

D．该问题应使用卡方检验统计量

E．该问题的第一类错误是指实际生产中导线阻值等于设计值时，却判断为阻值不等于设计值

【答案】AE

【解析】A项，建立假设时，一般与题目的问法相一致，是我们所期望得到的试验结果。E项，根据犯第一类错误的定义，拒真错误：原假设H₀为真，但由于抽样的随机性，样本落在拒绝域W内，从而导致拒绝H₀。

二、正态总体参数的假设检验

1．正态均值μ的假设检验（σ已知情形）

（1）关于正态均值μ常用的三对假设为

（2）检验统计量都用u统计量，在μ＝μ₀时

（3）～（4）给出显著水平性α，确定拒绝域W（见图1-30）

图1-30  u检验的拒绝域的确定

[图中曲线为N（0，1）的密度函数曲线]

（5）判断

注：此检验法称为u检验。

【例题1.5.2】某电工器材厂生产一种云母带，其厚度在正常生产下服从N（0.13，0.015²）。某日生产的产品中抽查了10次，发现平均厚度为0.136，如果标准差不变，试问生产是否正常？（取α＝0.05）

解：①立假设：

H₀：μ＝0.13，H₁：μ≠0.13

②由于σ已知，故选用u检验。

③～④根据显著性水平α＝0.05及备择假设可确定拒绝域为

﹛︱u︱＞u_1-α/2﹜＝﹛︱u︱＞1.96﹜

⑤由样本观测值，求得检验统计量：

由于u未落在拒绝域中，所以不能拒绝原假设，可以认为该天生产正常。

2．正态均值μ的假设检验（σ未知情形）

（1）关于正态均值μ常用的三对假设

（2）检验统计量为t统计量，当μ＝μ₀时

其中是样本方差，n-1为自由度。

（3）～（4）给出显著性水平α，确定拒绝域W（见图1-31）

图1-31  t检验的拒绝域的确定

[图中曲线为t（n-1）的密度函数曲线]

（5）判断

注：这个检验法称为t检验。

【例题1.5.3】在正态方差未知时，对正态均值μ的检验问题H₀：μ＝μ₀，H₁：μ≠μ₀的拒绝域W＝（　　）。[2007年真题]

A．{｜t｜＞t_1－α（n－1）}

B．{｜t｜＞t_α（n－1）}

C．{｜t｜＞t_1－α／2（n－1）}

D．{｜t｜＞－t_α／2（n－1）}

E．{｜U｜＞u_1－α／2}

【答案】CD

【解析】正态方差未知时，对正态均值μ的检验问题H₀：μ＝μ₀，H₁：μ≠μ₀的拒绝域W＝{｜t｜＞t_1－α／2（n－1）}，而t_1－α／2（n－1）＝－t_α／2（n－1），所以拒绝域也可以表示为W＝{｜t｜＞－t_α／2（n－1）}。

3．正态方差σ²的假设检验

（1）关于正态方差σ²常用的三对假设为

（2）检验统计量为统计量。当σ²＝σ²₀时

其中s²为样本方差，n-1为自由度。

（3）～（4）给出显著性水平α，确定拒绝域W（见图1-32）

图1-32  检验的拒绝域的确定

[图中曲线为的密度函数曲线]

（5）判断

注：这个检验法称为检验。

【例题1.5.4】某种导线的电阻服从N（μ，σ²），μ未知，其中一个质量指标为电阻标准差不得超过0.005Ω。现从一批导线中随机抽取了9根，测得样本的标准差为s＝0.0066，试问在α＝0.05水平上能否认为该批导线电阻波动合格？

解：①立假设：

H₀：σ²≤0.005，H₁：σ²＞0.005

②选用检验。

③～④根据显著性水平α＝0.05及备择假设可确定拒绝域为：

⑤由样本观测值，求得：

由于值未落在拒绝域中，所以不能拒绝原假设，可以认为该批导线电阻波动合格。

4．小结

表1-6  单个正态总体均值μ，方差σ²的检验

三、有关比例p的假设检验

设x₁，x₂，…，x_n是来自二点分布b（1，p）的一个样本，根据中心极限定理，在样本量n较大时，样本均值（成功出现的频率）近似服从正态分布，其均值为p，方差为p（1-p）／n，即x近似服从N（p，（1-p）/n），再经标准化变换，可得：

p＝p₀的假设下，将上式中p用p₀代，所得的u就是检验统计量，根据不同的备择假设可用标准正态分布的分位数确定适当的拒绝域，其体见表1.5-2。

表1-7  p的显著性水平为σ的检验

【例题1.5.5】某厂规定产品必须经过检验合格后才能出厂，其不合格品率p₀不得超过5％。现从一批产品中随机抽取50个进行检验，发现有4个不合格品，问该批产品能否出厂？（取α＝0.05）

解：①立假设

H₀：p≤0.05，H₁：p＞0.05

②因为样本量n＝50，较大，故可选用近似u检验

③～④根据显著性水平α＝0.05及备择假设可确定拒绝域为

{u＞u_1-α}＝{u＞1.645}

⑤由样本观测值，求得：

由于u未落在拒绝域中，所以不能拒绝原假设，应允许这批产品出厂。