第四节　参数估计

参数主要是指：

（1）分布中的未知参数。如正态分布N（μ，σ²）中的μ，σ²或σ；

（2）分布的均值E（X）、方差Var（X）等未知特征数；

（3）其他未知参数，如某事件的概率P（A）等。

一、点估计

1．点估计的概念

设θ是总体的一个未知参数，记与总体对应的随机变量为X，从中抽取样本量为n的一个样本X₁，X₂，…，X_n。根据这个样本，构造一个统计量，用来对θ进行估计，称为θ的点估计量。

2．点估计优良性标准

（1）无偏性

均方误差：

称为偏倚，当时，称估计量是无偏的，否则称为有偏的。只要有可能，应该尽可能选用无偏估计量，或近似无偏估计量。

（2）有效性

均方误差公式中表示的是对其均值差的平方的均值，它是估计量的方差。对于无偏估计量，当然方差愈小愈好。方差愈小，称估计量更有效。有效性是判定估计量优良性的另一个标准。

3．求点估计的方法——矩法估计

均值与方差在统计学中统称为矩，总体均值与总体方差属于总体矩，样本均值与样本方差属于样本矩。

矩法估计的做法：

（1）用样本矩去估计相应的总体矩。

（2）用样本矩的函数去估计相应总体矩的函数。

注意：矩法估计不一定总是最有效的，而且有时估计也不惟一。

4．对几种分布参数矩法估计的例子

（1）指数分布中，E（X）＝1／λ，所以λ＝1／E（X），用样本均值代替E（X），则得λ的矩法估计为。

（2）两点分布b（1，p）的总体均值E（X）＝p，按矩法估计的思想，可得p的矩法估计：，即用频率去估计概率。

（3）设样本x₁，x₂，…，x_n来自参数为λ的泊松分布，由于E（X）＝λ，Var（X）＝λ，因此都可以作为λ的矩法估计，因此λ的估计不惟一。此时，常选用低阶矩作为参数的矩法估计。均值是一阶矩，方差是二阶矩，故在泊松分布场合，选用样本均值作为λ的估计。

（4）设样本x₁，x₂，…，x_n来自均匀分布U（a，b）。其均值为（a+b）／2，方差为（b-a）²／12，由矩法估计的思想可列出如下两个方程：

解之可得a与b的矩法估计：

5．正态总体参数的估计

设x₁，x₂，…，x_n是来自正态总体N（μ，σ²）的一个样本，参数μ、σ²和σ的常用的无偏估计如下。

（1）正态均值μ的无偏估计有两个，一个是样本均值，另一个是样本中位数，即：

对于正态总体来说，样本均值总比样本中位数更有效。

（2）正态方差σ²的无偏估计常用样本方差s²，即：

（3）正态标准差σ的无偏估计有两个，一个是对样本极差R＝x_（n）-x_（1）进行修偏而得，另一个是对样本标准差s进行修偏而得，具体如下：

其中d₂与c₄是只与样本量n有关的常数，其值可从修偏系数d₂和c₄的数值表中查得。

对正态标准差σ来说，总比更有效。

【例题1.4.1】设X₁，X₂，…，X_n是来自正态总体N（μ，σ²）的一个样本，则有（　　）。[2006年真题]

【答案】AC

【解析】正态均值μ的无偏估计有两个，一个是样本均值，另一个是样本中位数

；正态方差σ²的无偏估计常用的只有一个，就是样本方差s²，即：。

二、区间估计

1．区间估计的概念

（1）设θ是总体的一个待估参数，其一切可能取值组成的参数空间为Θ，记从总体中获得样本量为n的样本为x₁，x₂，…，x_n，对给定的α（0＜α＜1），确定两个统计量：

θ_L＝θ_L（x₁，x₂，…，x_n）与θ_U＝θ_U（x₁，x₂，…，x_n）

若对任意θ∈Θ有P（θ_L≤θ≤θ_U）≥1-α，则称随机区间[θ_L，θ_U]是θ的置信水平为1-α的置信区间，简称[θ_L，θ_U]是θ的1-α置信区间，θ_L与θ_U分别称为θ的1-α的置信下限与置信上限。

（2）1-α置信区间的含义

所构造的随机区间[θ_L，θ_U]覆盖（盖住）未知参数θ的概率为1-α。由于这个随机区间随样本观测值的不同而不同，它有时覆盖了参数θ，有时没有覆盖θ，但是用这种方法做区间估计时，100次中大约有100（1-α）个区间能覆盖未知参数θ。

如果P（θ＜θ_L）＝P（θ＞θ_U）＝α／2，则称这种置信区间为等尾置信区间。

【例题1.4.2】设[θ_L，θ_U]是θ的置信水平为1-α的置信区间，则有（　　）。[2006年真题]

A．α愈大，置信区间长度愈短

B．α愈大，置信区间长度愈长

C．α愈小，置信区间包含θ的概率愈大

D．α愈小，置信区间包含θ的概率愈小

E．置信区间长度与α大小无关

【答案】AC

【解析】1-α置信区间的含义是：所构造的随机区间[θ_L，θ_U]覆盖（盖住）未知参数θ的概率为1-α。α愈大，区间[θ_L，θ_U]盖住未知参数θ的概率越小，区间的长度越短；α愈小，区间[θ_L，θ_U]盖住未知参数θ的概率越大，置信区间的长度越长。

2．正态总体参数的置信区间

设总体分布为N（μ，σ²），从中抽取的样本记为x₁，x₂，…，x_n，样本均值为，样本方差为s²，样本标准差为s。

（1）总体均值μ的置信区间的求法

①当总体标准差σ已知时，利用正态分布可得μ的1-α置信区间为：

其中u_1-α/2是标准正态分布的1-α／2分位数。

【例题1.4.3】设x₁，…x₉是从正态总体N（μ，0．6²）中随机抽取的样本，样本均值为,μα是标准正态分布的α分位数，则均值μ的0．90置信区间为（　　）。[2010年真题]

A．±0．2μ_0．95

B．±0．2μ_0．90

C．±0．6μ_0．90

D．±0．6μ_0．95

【答案】A

【解析】当总体标准差σ已知时，利用正态分布可得μ的1-α置信区间为：

则正态分布N（μ,0.62）均值μ的0.90置信区间为：±0.6/·μ_0.95，即：±0.2μ_0.95。

②当总体标准差σ未知时，σ用其估计s代替，利用t分布可以得到μ的1-α置信区间为

表示自由度是n-1的t分布的1-α／2分位数。

【例题1.4.4】在方差未知时，正态均值μ的1－α置信区间长度与（　　）。[2007年真题]

A．样本均值成正比

B．样本量n的平方根成反比

C．总体标准差成正比

D．样本标准差成正比

E．α成正比

【答案】BD

【解析】当总体方差未知时，利用t分布可以得到μ的1－α置信区间为

，所以区间长度与样本量n的平方根成反比，与样本标准差成正比。

（2）总体方差σ²与标准差σ的置信区间的求法

利用分布可以得到σ²的1-α置信区间为：

其中分别是分布的α／2分位数与1-α／2分位数。

将上式两边开平方，可得σ的1-α置信区间为：

总结：

表1-5  正态总体均值、方差、标准差的1-α置信区间

【例题1.4.5】采用包装机包装食盐，要求500g装一袋，已知标准差σ=3g，要使食盐每包平均重量的95%置信区间长度不超过2g，样本量n至少为（　　）。已知u_0．975=1．96，u_0．95=1．64。[2012年真题]

A．10

B．24

C．35

D．70

【答案】C

【解析】在σ已知时，μ的95％的置信区间为：其中u_1-α/2=u_0.975=1.96。置信区间的长度是：为使它不超过2，可解不等式2×1.96×得n≥34.5744。即样本量n至少为35。

3．比例p的置信区间（大样本情况）

设总体X～b（1，p），样本为x₁，x₂，…，x_n，样本之和为k，样本均值为这便是p的点估计，在样本量n较大时，由于的近似分布为N（p，（1-p）/n），因此p的1-α置信区间为：

其中u_1-α/2是标准正态分布的1-α／2分位数。