第三节 试验设计
一、试验设计的基本概念与正交表
（一）试验设计
产品质量的好坏很大程度上是由设计所决定的，因此在新产品的开发设计阶段就要十分重视，当然设计的好产品要成为真正的高质量的产品，在生产过程中还得有好的工艺参数，为此经常需要进行试验，从影响产品质量的一些因素中去寻找好的原料搭配，好的工艺参数搭配等，这便是多因素（因子）的试验设计问题。
（二）正交表
1．正交表的概念
表2-2是一张典型的正交表L9（34），“L”是正交表的代号，“9”表示表的行数，在试验中表示用这张表安排试验的话，要做9个不同条件的试验，“4”表示表的列数，在试验中表示用这张表安排试验的话，最多可以安排4个因子，“3”表示表的主体只有3个不同的数字：1，2，3，在试验中它代表因子水平的编号，即用这张表安排试验时每个因子应取3个不同水平。
表2-2 L9（34）
【例题2.3.1】用正交表L8（27）安排试验时需要做（ ）个不同条件的试验。[2007年真题]
A．2
B．7
C．8
D．10
【答案】C
【解析】一张典型的正交表Ln（qp）中，L是正交表代号；n是表的行数，在试验中表示用这张表安排试验的话，要做n个不同条件的试验；p表示表的列数，在试验中表示用这张表安排试验的话，最多可以安排p个因子；q表示因子水平的编号，表示表的主体只有q个不同的数字，用这张表安排试验时每个因子应取q个不同水平。所以用正交表L8（27）安排试验时需要做8个不同条件的试验。
2．正交表的特点（正交性）
（1）每列中每个数字重复次数相同；
（2）将任意两列的同行数字看成一个数对，那么一切可能数对重复次数相同。
3．正交表的类型
（1）正交表的行数n，列数p，水平数q间有如下关系：
n＝qk，k＝2，3，4，…，p＝（n-1）/（q-1）
（2）正交表的行数，列数，水平数之间不满足上式中的两个关系，往往只能考察各因子的影响，不能用这些正交表来考察因子间的交互作用。
【例题2.3.2】正交表的正交性反映为（ ）。[2007年真题]
A．每列中每个数字重复次数不相同
B．每列中每个数字重复次数相同
C．将任意两列的同行数字看成一个数对，一部分可能数对重复次数相同
D．将任意两列的同行数字看成一个数对，一切可能数对重复次数相同
E．将任意两列的同行数字看成数对，一切可能数对重复次数不相同
【答案】BD
【解析】正交表具有正交性，反映为：①每列中每个数字重复次数相同；②将任意两列的同行数字看成一个数对，那么一切可能数对重复次数相同。
二、无交互作用的正交设计与数据分析
1．试验的设计
（1）明确试验目的。
（2）明确试验指标。
试验指标用来判断试验条件的好坏。
（3）确定因子与水平。
在试验前分析影响指标的因子是什么，每个因子在实验中有哪些水平。
（4）选用合适的正交表，进行表头设计，列出试验计划。
①首先根据在试验中所考察的因子水平数选择具有该水平数的一类正交表，再根据因子的个数具体选定一张表；
②选定正交表后把因子放到正交表的列上，称为表头设计。在不考虑交互作用的场合，可以把因子放在任意的列上，一个因子占一列。
③完成表头设计后便可写出试验计划，只要将置因子的列中的数字换成因子的相应水平即可，不放因子的列（称为空白列）不予考虑。
2．进行试验和记录试验结果
试验中应注意的问题：
（1）为了避免事先某些考虑不周而产生系统误差，试验的次序最好要随机化，可以用抽签的方式决定；
（2）在试验中还应尽量避免因操作人员的不同，仪器设备的不同等引起的系统误差；
（3）试验时常常还需要在同一条件下进行重复，这样可以看出试验的稳定性，还可以对试验误差的方差进行估计。
3．数据分析
（1）数据的直观分析
①寻找最好的试验条件
【例题2.3.4】为提高某产品的质量指标，需考虑3个三水平因子：A、B、C，把这3个因子依次安排在正交表L9（34）的前三列上，通过试验和计算获得各列各水平的平均值如表2-3所示：
表2-3
在质量指标愈大愈好的场合，利用直观分析应选取的较好因子水平组合是（ ）。[2006年真题]
A．A1B3C3
B．A2B2C1
C．A1B1C3
D．A3B3C3
【答案】A
【解析】由于要求质量指标愈大愈好，因此在每一因子各平均值中找一个最大值对应的水平，将它们组合起来便可以得到，故应取为A1B3C3。
②各因子对指标影响程度大小的分析
一个因子的极差是该因子不同水平对应的试验结果均值的最大值与最小值的差，该值大的话，则改变这一因子的水平会对指标造成较大的变化，所以该因子对指标的影响大，反之，影响就小。
③各因子不同水平对指标的影响图
为直观起见，可以将每个因子不同水平下试验结果的均值画成一张图。
（2）数据的方差分析
方差分析中，假定每一试验是独立进行的，每一试验条件下的试验指标服从正态分布，这些分布的均值与试验条件有关，可能不等，但它们的方差是相等的。
①平方和分解
用总（离差）平方和ST描述数据的总波动：
其中n是试验次数，
是试验结果的总平均。
造成数据波动的原因可能是因子水平的不同，也可能是试验误差，因此要把由各原因造成的波动分别用数量来表示。
②F比
称（离差）平方和与自由度的比为均方，用因子的均方与误差的均方进行比较，当F因＝MS因／MSe＞F1-α（f因，fe）时，认为在显著性水平α上因子是显著的，其中MS因，f因分别是因子的均方与自由度，MSe，fe分别是误差的均方与自由度。
正交表列的自由度为其水平数-1，即q-1，因子的自由度与所在列的自由度相等。而误差平方和为正交表上空白列的平方和相加而得，其自由度为正交表上空白列的自由度相加。总平方和的自由度是试验次数-1，即n-1。当正交表中行数n、列数p与水平数q满足n＝qk，k＝2，3，4，…，p＝（n-1）/（q-1）时，对平方和有关系式
，同样对自由度也有相应关系式：
fT＝f 1＋f2＋…＋fp
其中，fT＝n-1，又称其为正交表的自由度，fj是第j列的自由度。
③计算
④最佳条件的选择
对显著因子应该选择其最好的水平，因为其水平变化会造成指标的显著不同，而对不显著因子可以任意选择水平，实际中常可根据降低成本、操作方便等来考虑其水平的选择。
（3）因子的贡献率分析
S因中除了因子的效应外，还包含误差，从而称S因-f因MSe为因子的纯（离差）平方和，称因子的纯平方和与ST的比为因子的贡献率。而称fTMSe／ST为误差的贡献率。
4．验证试验
【例题2.3.5】为提高某化工产品的性能指标，选择三个因子A，B，C，每个因子各取3个水平，并用正交表L9（34）安排试验（表头如表2-4所示），根据9个试验结果可算得各水平对应的试验结果之和如下：[2007年真题]
表2-4
（1）用极差对因子主次排序，结果是（ ）。
A．A，B，C
B．A，C，B
C．C，A，B
D．C，B，A
【答案】B
【解析】因子A，B，C的极差分别为ＲA＝63－3＝60，ＲB＝39－24＝15，ＲC＝57－9＝48，则排序结果为A，C，B。
（2）用直观分析法，使性能指标愈大愈好的最佳水平条件是（ ）。
A．A3B1C1
B．A3B2C1
C．A3B2C2
D．A3B2C3
【答案】C
【解析】根据题意可知，对于因子A有
，则因子A的三水平好；同理可得因子B的二水平好，因子C的二水平好，所以使性能指标愈大愈好的最佳水平条件是A3B2C2。
（3）已算得L9（34）表中各列的平方和为S1＝618，S2＝42，S3＝402，S4＝18。则各因子及误差的均方分别是（ ）。
A．MSA＝309
B．MSB＝57
C．MSC＝201
D．MSe＝9
【答案】ACD
【解析】因为因子A，B，C分别置于第一列、第二列和第三列，所以SA＝S1，SB＝S2，SC＝S3，Se＝S4，而因子A、B、C的自由度均为2，则MSA＝SA／fA＝618／2＝309，同理可得MSB＝21，MSC＝201；而误差的自由度为正交表上空白列的自由度相加，所以fe＝2，MSe＝9。
（4）若取α＝0.05，查表得F0.95（2，2）＝19.0，则显著因子有（ ）。
A．A，B，C
B．A，B
C．A，C
D．B，C
【答案】C
【解析】根据题意可得：
三、有交互作用的正交试验设计与数据分析
在多因子试验中，除了单个因子对指标有影响外，有时两个因子不同水平的搭配对指标也会产生影响，这种影响如果存在就称为因子A与B的交互作用。因子A与B的交互作用如图2-6所示。
图2-6 因子A与B的交互作用示意图
如图2.3-2（a）表示因子A与B不存在交互作用，这时不管因子B取什么水平，因子A的二水平的指标的均值总比一水平的均值高h。
在图2.3-2（b）中，当因子B取不同水平时，虽然因子A的二水平的指标均值总比一水平的高，但高的程度有所不同。
在图2.3-2（c）中，当因子B取水平1时，因子A的水平2的指标均值比水平1的高，但是当因子B取水平2时，因子A的水平2的指标均值却比水平1的低。
如图2.3-2（b）与（c）所显示的，一个因子的水平好坏或好坏的程度受另一因子水平制约的情况，称为因子A与B的交互作用，用A×B表示。
1．试验的设计
（1）明确试验目的。
（2）明确试验指标。
（3）确定试验中所考虑的因子与水平，并确定可能存在并要考察的交互作用。
（4）选用合适的正交表，进行表头设计，列出试验计划。
2．数据分析
（1）方差分析
为进行方差分析，需先进行平方和分解。
（2）最佳条件的选择
当两因子的交互作用显著时，不考虑每一因子是否显著。先计算两个因子水平的不同搭配下数据的均值，再通过比较得出哪种水平组合为好。
3．避免混杂——表头设计的一个原则
在进行表头设计时，若一列上出现两个因子，或两个交互作用，或一个因子与一个交互作用时，称为混杂现象，简称混杂。当混杂所在列显著时，很难识别是哪个因子（或交互作用）是显著的。
在用正交表安排试验时，因子的自由度应与所在列的自由度相同，而交互作用所占列的自由度之和应与交互作用的自由度相同。
根据表头设计应避免混杂的原则，选择正交表时必须满足的条件是：
所考察的因子与交互作用自由度之和≤n-1，其中n是正交表的行数。
【例题2.3.6】有3个二水平因子A、B、C及其交互作用A×C需要考察。用L8（27）安排试验，表头设计与各列平方和如下：
表2-5
则检验交互作用A×C是否显著的统计量F的值为（ ）。[2008年真题]
A．9.01
B．16.22
C．57.52
D．20.58
【答案】D
【解析】根据题意知，SA=S1=53.7，SB=S2=78.2，SC=S4=703.1，第5列的表头为A×C，所以交互作用平方和也为其所在列的平方和，记为SA×C=S5=253.1，SA×C的自由度fA×C为两因子自由度的乘积，即为1。由于第3、6、7列为空白列，所以误差平方和可以用这三列平方和之和来表示，即：Se=S3+S6+S7=5.7+3.1+28.1=36.9，其自由度为三列自由度的和，即fe=3。所以MSA×C=SA×C／fA×C=253.1/1=253.1，MSe=Se/fe=36.9/3=12.3，则检验交互作用A×C是否显著的统计量F的值为：F=MSA×C／MSe=253.1/12.3≈20.58。
【例题2.3.7】将2个四水平因子A与B使用正交表L16（45）进行表头设计，则下列说法中，正确的有（ ）。[2010年真题]
A．因子A的自由度fA=3
B．交互作用A×B的自由度fA×B=6
C．交互作用A×B的自由度fA×B=9
D．交互作用A×B在L16（45）占两列
E．交互作用A×B在L16（45）占三列
【答案】ACE
【解析】因子A、B均为4水平，则因子A、B的自由度均为3，其交互作用的自由度=3×3=9，因4水平正交表每列的自由度为3，根据交互作用自由度应与所占列的自由度之和相等，所以交互作用应占3列。
【例题2.3.8】考察4个三水平因子A、B、C、D及交互作用B×C（BC）和C×D（CD），用L27（313）作表头设计如下：
表2-6
记Sj为第j列的的平方和，j=1，2，…，13，则下列表述中正确的有（ ）。[2008年真题]
A．因子A的平方和SA=S1
B．交互作用B×C的平方和SB×C=S2+S5+S8+S11
C．误差平方和Se=S4+S6+S7+S10+S12
D．误差平方和的自由度fe=5
E．交互作用C×D的平方和SC×D=S3+S9
【答案】ACDE
【解析】交互作用B×C的平方和SB×C=S8+S11。
【例题2.3.9】用正交表安排试验时，下列叙述正确的有（ ）。[2008年真题]
A．因子（平方和）的自由度与所在列的自由度相同
B．所有因子（平方和）的自由度之和等于正交表的总自由度
C．交互作用的自由度等于所在列的自由度之和
D．安排因子时不应与需考察的交互作用相混杂
E．误差平方和等于所有空白列平方和之和
【答案】ACDE
【例题2.3.10】正交试验设计数据分析的结果表明，因子A与因子B的交互作用对某零件耐压性有显著的影响，这意味着（ ）。[2008年真题]
A．因子A或因子B对耐压性有显著的影响
B．因子A和因子B都是影响零件耐压性的显著因素
C．因子A与B的不同水平组合对耐压性有显著影响
D．当因子A、B均处于最优水平时，耐压性一定达到最优
E．单独来看，因子A和B可能对耐压性都没有显著影响
【答案】CE
【解析】在多因子试验中，除了单个因子对指标有影响外，有时两个因子不同水平的搭配对指标也会产生影响，这种影响如果存在就称为因子A与B的交互作用。一个因子的水平好坏或好坏的程度受另一因子水平制约的情况，称为因子A与B的交互作用，用A×B表示。单独来看，因子A和B可能对耐压性都没有显著影响，但是相互作用就会对耐压性有显著影响。
【例题2.3.11】用正交表安排试验时，应满足的条件是（ ）。[2007年真题]
A．因子的自由度与列的自由度相等
B．所有因子及其要考察的交互作用的自由度之和等于总试验次数
C．交互作用的自由度等于所在列自由度的乘积
D．交互作用的自由度等于所在列自由度的和
E．尽量避免因子与所考察的交互作用混杂
【答案】ADE
【解析】在表头设计时要尽量避免混杂的出现，这是表头设计的一个重要原则。在用正交表安排试验时，因子的自由度应与所在列的自由度相同，而交互作用所占列的自由度之和应与交互作用的自由度相同。所考察的因子与交互作用自由度之和≤n－1。