第二节　随机变量及其分布

一、单项选择题（每题的备选项中，只有1个最符合题意）

1．一次电话通话时间X是一个随机变量（单位：分），X的分布函数为：，当你走进公用电话亭时，恰好有一个人在你前面开始打电话，你的等待时间不超过3分钟的概率是（　　）。[2008年真题]

A．e^-1

B．1-e^-1

C．3e^-1/3

D．1-e^-1/3

【答案】B

【解析】等待时间不超过3分钟的概率P（0＜X＜3）=F（3）-F（0）=-0=1-e^-1。

2．设随机变量X的分布列为，下列有关均值的计算中，正确的是（　　）。[2008年真题]

A．E（X）=-0.1

B．E（2X）=-0.2

C．E（3X+1）=0.4

D．E（4X-2）=1.2

【答案】C

【解析】离散型随机变量的均值为：E（X）==（-2）×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2。又根据随机变量（或其分布）的均值运算的性质可得：

E（2X）=2E（X）=-0.4；E（3X+1）=3E（X）+1=0.4；E（4X-2）=4E（X）-2=-2.8。

3．设X与Y为相互独立的随机变量，且Var（X）=4，Var（Y）=9，则随机变量Z=2X-Y的标准差为（　　）。[2006年真题]

A．1

B．

C．

D．5

【答案】D

【解析】Var（Z）=Var（2X－Y）=4Var（X）+Var（Y）=4×4+9=25，则随机变量Z=2X-Y的标准差为：

σ（Z）= =5。

4．等式Var（X＋Y）＝Var（X）＋Var（Y）成立的条件是（　　）。[2010年真题]

A．X与Y相互独立

B．X与Y同方差

C．X与Y同分布

D．X与Y同均值

【答案】A

【解析】随机变量X与Y独立时，X取什么值不影响另一个随机变量Y的取值，有：

Var（X+Y）=Var（X）+Var（Y）。这个性质也可推广到三个或更多个相互独立随即变量场合。

5．设某二项分布的均值等于3，方差等于2.7，则二项分布参数p=（　　）。[2006年真题]

A．0.1

B．0.3

C．0.7

D．0.9

【答案】A

【解析】此二项分布记为b（n，p），则E（X）=np，Var（X）=np（1-p），根据题意，代入数据可得，np=3,np（1-p）=2.7，所以p=0.1。

6．下列分布中，最适合描述光盘表面缺陷数的是（　　）。[2008年真题]

A．正态分布

B．二项分布

C．泊松分布

D．指数分布

【答案】C

【解析】泊松分布可用来描述不少随机变量的概率分布，如：①在一定时间内，电话总站接错电话的次数；②在一定时间内，某操作系统发生的故障数；③一个铸件上的缺陷数；④一平方米玻璃上气泡的个数；⑤一件产品因擦伤留下的痕迹个数；⑥一页书上的错字个数。

7．设随机变量X服从λ=2的泊松分布，则P（X≤2）=（　　）。[2006年真题]

A．e^-2

B．3e^-2

C．5e^-2

D．7e^-2

【答案】C

【解析】泊松分布的概率函数为x=0,1,2,…，则：

8．标准正态随机变量X取一点a的概率P（X＝a）为（　　）。[2007年真题]

A．1

B．0

C．Φ（a）

D．Φ（-a）

【答案】B

【解析】对于标准正态随机变量有P（U≤a）=P（U<a）=Φ（a），则P（X＝a）＝0。

9．已知X～N（1，2²），Y～N（3，4²），则P₁=P（0＜X≤2）和P₂=P（3＜Y≤5）的关系是（　　）。[2012年真题]

A．P₁＜P₂

B．P₁＞P₂

C．P₁=4P₂

D．P₁=P₂

【答案】B

【解析】根据正态分布的重要性质，X～N（μ,σ²）,则U=～N（0,1）。

因为X～N（1，2²），Y～N（3，4²），所以P₁＞P₂。

10.u_α是标准正态分布N（0，1）的α分位数，则有（　　）。[2010年真题]

A．u_α+u_1-α=1

B．u_α-u_1-α=1

C．u_α+u_1-α

D．u_α-u_1-α=0

【答案】C

【解析】根据正态分布的对称性，知μ_1-α=-μ_α，则μ_α+μ_1-α=μ_α+（-μ_α）=0。

11．正态分布N（10，2²）的中位数是（　　）。[2008年真题]

A．2

B．4

C．5

D．10

【答案】D

【解析】正态分布含有两个参数μ与σ，常记为N（μ，σ²）。其中，μ为正态分布的均值，它是正态分布的中心，也是其中位数。

12．设X₁，X₂，…，X₂₇是来自均匀分布U（0，3）的一个样本，则样本均值的近似分布为（　　）。[2007年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根据中心极限定理可知样本均值近似服从N（μ，），其中μ和σ²分别为总体的均值和方差。

均匀分布U（0，3）的均值和方差分别为E（X）＝＝1．5，Var（X）=，所以

。

13．设备的维修时间X服从指数分布，则随机变量X可能取值的范围为（　　）。[2007年真题]

A．（-∞，+∞）

B．[0，+∞）

C．（-∞，0]

D．[0，1]

【答案】B

【解析】服从指数分布的随机变量X仅取非负实数，即仅在[0，∞）上取值。

14．某种型号的电阻服从均值为1000欧姆，标准差为50欧姆的正态分布，现随机抽取一个样本量为100的样本，则样本均值的标准差为（　　）欧姆。[2006年真题]

A．5

B．10

C．50

D．100

【答案】A

【解析】根据中心极限定理可知正态分布N（μ，σ²）的样本均值服从正态分布N（μ，），所以样本均值的标准差为=5（欧姆）。

15．离散随机变量X取x_i的概率为p_i（i=1，2，…，n）,则p_i应满足的条件为（　　）。

A．p_i≥0

B．p₁+p₂+…+p_n＝1

C．p_i≤0

D．p_i≥0且p₁+p₂+…+p_n＝1

【答案】D

【解析】离散随机变量分布的概率满足以下两个条件：p_i≥0，p₁+p₂+…+p_n＝1。

16．下列概率分布为离散分布的是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根据离散随机变量的分布应满足的条件为：P（X_i）≥0（i=1，2，3，4，5）且P（X₁）+P（X₂）+P（X₃）+P（X₄）+P（X₅）=1。

17．两个相互独立的随机变量X与Y的标准差分别为σ（X）=2和σ（Y）=1，则其差的标准差σX－Y=（　　）。

A．1

B．

C．

D．3

【答案】C

【解析】标准差σ（X－Y）=

18．随机变量X与Y相互独立，X的均值为5，标准差也为5，Y的均值为9，方差为16，则V＝2X+3Y的均值与方差分别为（　　）。

A．22；164

B．22；244

C．37；164

D．37；244

【答案】D

【解析】由题意，E（X）=5，Var（X）=25，E（Y）=9，Var（Y）=16；

则E（V）=E（2X+3Y）=2E（X）+3E（Y）=2×5+3×9=37，

Var（2X+3Y）=4Var（X）+9Var（Y）=4×25+9×16=100+144=244。

19．下列不属于离散分布的是（　　）。

A．二项分布

B．泊松分布

C．正态分布

D．超几何分布

【答案】C

【解析】正态分布是连续型分布。

20．某打字员一分钟内打错字的个数X是一个随机变量，服从λ=0．5的泊松分布，该打字员一分钟内未打错一个字的概率是（　　）。

A．0.2231

B．0.3679

C．0.4493

D．0.6065

【答案】D

【解析】由题可知，X～P（0.5）即P（X=k）=，因此打字员一分钟内未打错一个字的概率为：

PX=0=e^－0．5=0.6065。

21．（　　）情况下会遇到超几何分布。

A．在一定时间内或一定区域内或一特定单位内的前提下进行计点

B．从一个有限总体中进行不放回抽样

C．在重复进行某一个试验

D．进行次数无限大的不放回抽样试验

【答案】B

【解析】从一个有限总体中进行不放回抽样常会遇到超几何分布；A项，在一定时间内或一定区域内或一特定单位内的前提下进行计点会遇到泊松分布；C项，重复进行某一个试验会遇到二项分布；D项，进行次数无限大的不放回抽样试验会遇到正态分布。

22．设X～N（1，4），则P（0≤X＜2）可表示为（　　）。

A．2Φ（0.5）-1

B．1-2Φ（0.5）

C．2u_0．5-1

D．1-2u_0．5

【答案】A

【解析】由于X～N（1，4）正态分布，则U=（X-1）/2～N（0，1），所以：

P（0≤X＜2）=Φ[（2-1）/2]-Φ（0-1/2）=Φ（0.5）-Φ（-0.5）=Φ（0.5）-[1-Φ（0.5）]=2Φ（0.5）-1。

23．设X～N（80，2²），则P（|X-80|≥3）为（　　）。

A．2Φ（1.5）-1

B．1-2Φ（3）

C．2-2Φ（1.5）

D．2-2Φ（3）

【答案】C

【解析】由X～N（80，2²）得，～N（0，1²），又对于标准正态分布U有：P（|U|≤a）=2Φ（a）-1，所以P（|X-80|＜3）=P=2Φ（1.5）-1，则P（|X-80|≥3）=1-P（|X-80|＜3）=2-2Φ（1.5）。

24．对于产品的某个质量特性X的不合格品率，在计算之前需要知道的条件有（　　）。

A．产品质量特性X的分布，在过程受控情况下，X的分布常为正态分布（μ，σ²），这是稳定过程的概括

B．某个公认标准对产品特性的要求

C．企业对产品下达的任务书

D．X低于下规范限的概率和X高于上规范限的概率

【答案】A

【解析】产品某个质量特性X的不合格品率的计算要知道两件事：①质量特性X的分布，在过程受控情况下，X的分布常为正态分布N（μ，σ²），这是稳定过程的概括；②产品的规格限，包括上规格限T_U和下规格限T_L。

25．设电阻规范下限为95Ω，规范上限为105Ω，一批电阻阻值取自正态总体N（100，2²），记Φ（x）为标准正态分布的累积分布函数，则合格品率为（　　）。

A．Φ（2.5）＋Φ（-2.5）

B．Φ（2.5）＋Φ（2.5）

C．2Φ（2.5）

D．2Φ（2.5）-1

【答案】D

【解析】X～N（100，2²），则（X-100）/2～N（0，1²），合格品率为：

26．某产品尺寸规范要求为70±6mm，从现场得知该加工尺寸服从正态分布，且均值为μ=70mm，σ=1.5mm，则该加工过程的不合格品率为（　　）。

A．2-2Φ（4）

B．1-Φ（4）

C．2Φ（4）

D．2Φ（4）-1

【答案】A

【解析】不合格产品的尺寸范围是（－∞，64）∪（76，+∞）。因此，不合格品率为：

+Φ－4=2－2Φ4。

27．随机变量X～N（20，σ²），若要求P（16<X<24）≥0．9，则σ最大值应为（　　）。

A．u_0．95／4

B．u_0．90／4

C．4／u_0．95

D．4／u_0．90

【答案】C

【解析】已知X～N（20，σ²），所以～N（0，1），故：

由题意，2Φ-1≥0.9，解得Φ≥0.95，则≥u_0．95，即σ≤4/u_0．95。

28．已知X服从均匀分布[-4，4]，那么P（0<X<10）=（　　）。

A．0.1

B．0.3

C．0.5

D．0.7

【答案】C

【解析】区间（a，b）上的均匀分布的概率密度函数为：则：

P（0<X<10）=P（0<X≤4）=

29．对数正态分布所描述的随机变量有许多共同点，其中最重要的特征是（　　）。

A．这些随机变量都在正半轴上取值

B．这些变量的大量取值在左边，少量取值在右边，并且很分散

C．服从对数正态分布的随机变量经对数变换后服从正态分布

D．为求对数正态变量事件的概率，可经对数变换后求相应正态事件的概率

【答案】C

【解析】对数正态分布的随机变量具有的共同特点包括：①随机变量都在正半轴上取值；②大量取值在左边，少量取值在右边，并且很分散，这样的分布又称“右偏分布”；③最重要的特征是：这些随机变量经对数变换后服从正态分布；④若记正态分布的均值为μ_Y，方差为，相应的对数正态分布的均值μ_X与方差分别为：μ_X＝E（X）＝exp（μ_Y＋/2）和＝Var（X）＝｛exp（）-1｝；⑤为求对数正态变量X有关事件的概率，可经对数变换后求相应正态事件的概率。

30．设随机变量X服从对数正态分布，E（lnX）=5，Var（lnX）=4，则P（X<460）=（　　），已知ln460=6.1312。

A．0.6380

B．0.7140

C．0.7863

D．0.8032

【答案】B

【解析】由已知条件得：lnX～N（5，2²），所以（lnX-5）/2～N（0，1），故:

P（X<460）=P（lnX<ln460）=P=Φ[（6.1312-5）/2]=Φ（0.565）=0.7140。

31．从参数λ=0.4的指数分布中随机抽取样本量为25的一个样本，则该样本均值的标准差为（　　）。

A．0.4

B．0.5

C．1.4

D．1.5

【答案】B

【解析】参数λ=0.4的指数分布X的均值为:E（X）=1／λ=1／0.4=2.5，方差为:Var（X）=1／λ²=1／0.4²=6.25，则样本均值的方差为：

故样本均值的标准差为：

32．已知X服从指数分布Exp（λ），其概率密度函数为：p（x）=λe^－λx，x≥0，在λ=0.1的情况下，P（5≤X≤20）=（　　）。

A．0.1353

B．0.4712

C．0.6065

D．0.7418

【答案】B

【解析】P（5≤X≤20）=≈0．4712。

33．一种电子元件的正常寿命服从λ=0．1的指数分布，则这个电子元件可用时间在100小时之内的概率为（　　）。

A．99.05%

B．99.85%

C．99.95%

D．99.99%

【答案】D

【解析】电子元件正常寿命的概率密度函数为：p（x）=0.1e^－0．1x，x≥0，可用时间在100小时之内的概率

P＝P（X<100）==99.99%。

34．对下列常见密度函数所对应的方差的形式正确的一项是（　　）。

A．两点分布b（1，p）的方差：np（1-p）

B．超几何分布h（n，N，M）的方差：n（N-n）/（N-1）·（M/N）（1-（M/N））

C．均匀分布U（a，b）的方差：（b+a）²/12

D．对数正态分布LN（μ，σ²）的方差：

【答案】B

【解析】A项,两点分布的方差为p（1-p）；C项,均匀分布的方差为（b-a）²/12；D项,对数正态分布的方差为

35．从正态总体N（10，2²）中随机抽出样本量为4的样本，则样本均值的标准差为（　　）。

A．0.5

B．1

C．2

D．4

【答案】B

【解析】总体标准差为σ=2，则样本量为4的样本均值的标准差为:

36．设X_i（i=1，2，…，n）为n个相互独立的随机变量，则下列结论成立的是（　　）。

A．若X_i（i=1，2，…，n）服从正态分布，且分布参数相同，则服从正态分布

B．若X_i（i=1，2，…，n）服从指数分布，且λ相同，则服从正态分布

C．若X_i（i=1，2，…，n）服从[a，b]上的均匀分布，则服从正态分布

D．无论X_i（i=1，2，…，n）服从何种分布，其均值都服从正态分布

【答案】A

【解析】若总体服从正态分布，无论样本量大小，其样本均值都服从正态分布。

37．设X～N（1，4），为样本容量n=16的样本均值，则P（0＜≤2）为（　　）。

A．2Φ（0.5）-1

B．2Φ（2）-1

C．1-2Φ（0.5）

D．1-2Φ（2）

【答案】B

【解析】对于X～N（1，4）分布，知～N（1，0.5²），可转化为U=（-1）/0.5～N（0，1），则可得P（0＜≤2）=Φ[（2-1）/0.5]-Φ（-1/0.5）=2Φ（2）-1。

38．关于中心极限定理，下列说法正确的是（　　）。

A．多个随机变量的平均值（仍然是一个随机变量）服从或近似服从正态分布

B．n个相互独立同分布随机变量，其共同分布不为正态分布或未知，但其均值μ和方差σ²都存在，则在n相当大的情况下，样本均值近似服从正态分布N（μ，σ²/n）

C．无论什么分布（离散分布或连续分布，正态分布或非正态分布），其样本均值的分布总近似于正态分布

D．设n个分布一样的随机变量，假如其共同分布为正态分布N（μ，σ²），则样本均值仍为正态分布，其均值不变仍为μ，方差为σ²/n

【答案】B

【解析】AC两项成立的前提条件是多个随机变量必须相互独立且同分布；D项要求这些随机变量相互独立。

二、多项选择题（每题的备选项中，有2个或2个以上符合题意，至少有1个错项）

1．对随机变量的分布列、密度函数与分布函数，下列表述中正确的有（　　）。[2008年真题]

A．用分布列和密度函数描述离散随机变量的分布

B．用分布列和分布函数描述离散随机变量的分布

C．用分布列和分布函数描述连续随机变量的分布

D．用密度函数和分布函数描述连续随机变量的分布

E．用密度函数和分布函数描述离散随机变量的分布

【答案】BD

【解析】离散随机变量的分布可用分布列表示。作为一个分布，满足以下两个条件：p_i≥0，p₁+p₂+…+p_n=1，满足这两个条件的分布称为离散分布，这一组pi又称为分布的概率函数。即用分布列和分布函数来描述离散随机变量分布。连续随机变量X的分布可用概率密度函数p（x）表示，连续随机变量X的分布函数F（x）可用其密度函数算得。反之，概率密度函数p（x）也可从分布函数F（x）求出。即用密度函数和分布函数来描述连续随机变量的分布。

2．一个U形装配件由A、B、C三部分组成，如图1-2所示。其中A的长度X_A服从均值为10，标准差为0.1的正态分布，B与C的长度X_B与X_C均服从均值为2，标准差为0.05的正态分布（单位均为毫米），若X_A、X_B、X_C相互独立，则长度X_D的均值与标准差分别为（　　）。［2006年真题］

图1-2

A．E（X_D）=6

B．E（X_D）=8

C．σ（X_D）=0.1225

D．σ（X_D）=0.1414

E．σ（X_D）=0.324

【答案】AC

【解析】根据题意，X_D=X_A-X_B-X_C，因为X_A、X_B、X_C相互独立，则E（X_D）=E（X_A-X_B-X_C）=E（X_A）-E（X_B）-E（X_C）=10-2-2=6；

σ（X_D）=σ（X_A-X_B-X_C）=≈0．1225。

3．下列关于两个相互独立的随机变量X₁和X₂的标准差和方差表达式，正确的是（　　）。[2007年真题]

A．σ（X₁+X₂）=

B．σ（X₁+X₂）=

C．σ（X₁-X₂）=σ（X₁）+σ（X₂）

D．Var（X₁-X₂）=Var（X₁）+Var（X₂）

E．Var（X₁+X₂）=

【答案】BD

【解析】X₁和X₂相互独立时，有:

Var（X₁-X₂）=Var（X₁）+Var（X₂）。

4．下列随机变量中，服从二项分布的有（　　）。[2012年真题]

A．一批铸件中某个铸件上的缺陷数

B．某顾客的等待时间

C．一本书中某页上的错别字数

D．某成绩稳定的选手，50次射击中命中靶心的次数

E．随机抽取的10件产品中不合格品数

【答案】DE

【解析】二项分布应满足的条件有：①重复进行n次随机试验。如把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量等。②n次试验间相互独立，即一次试验结果不对其他次试验结果产生影响。③每次试验仅有两个可能结果，如正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有该特性。④每次试验成功的概率均为p，失败的概率均为1-p。AC两项服从泊松分布；B项服从指数分布。

5．下述各项随机变量中，服从泊松分布的是（　　）。[2007年真题]

A．一批铸件中每个铸件上的缺陷数

B．一台机器的维修时间

C．一本书中一页上的错别字数

D．某个城市每天因交通事故死亡的人数

E．在一定时间内，其操作系统发生的故障数

【答案】CDE

【解析】泊松分布总与计点过程相关联，并且计点是在一定时间内、或一定区域内、或一特定单位内的前提下进行的。

6.u_α是标准正态分布N（0，1）的α分位数，则有（　　）。［2007年真题］

A．u_0．25>0

B．u_0．35<u_0．36

C．u_0．45+u_0．55＝0

D．u_0．5＝0

E．u_0．45+u_0．55＝1

【答案】BCD

【解析】由标准正态分布的对称性：u_1－α=－u_α，有u_0．5=-u_0．5，u_0．5=0；u_0．45+u_0．55＝0。u_α又是关于α的一个单调递增函数，因此u_0．35<u_0．36。

7．质量特性A和B都服从正态分布，均值均为100，特性A的标准差是15，特性B的标准差是5，则下列结论中，正确的有（　　）。[2010年真题]

A．特性A的观测值比特性B的观测值更趋近平均值

B．特性B的观测值比特性A的观测值的分布更集中

C．特性A的观测值落入区间[95，105]的概率是特性B的观测值落入该区间的概率的1／3

D．特性B的观测值落入区间[85，115]概率为99.73％

E．特性A和特性B具有相同的概率分布函数

【答案】BD

【解析】B项，方差用来表示分布的散布大小，方差大意味着分布的散布程度较大，也即分布较分散；方差小意味着分布的散布程度小，也即分布较集中。标准差为方差的平方根，因为特性B的标准差小于特性A的标准差，则特性B的观测值比特性A的观测值的分布更集中。

D项，特性B满足正态分布，所以满足标准正态分布，

P（85≤B≤115）==Φ（3）-Φ（-3）=2Φ（3）-1=99．73%。

8．设随机变量X～N（μ，σ²），下列关系式中正确的有（　　）。［2006年真题］

A．P（X>μ+σ）=P（X≤μ－σ）

B．P（X≥μ+2σ）>P（X<μ+2σ）

C．P（X<μ－2σ）>P（X>μ+3σ）

D．P（X>μ－σ）<P（X<μ+σ）

E．P（X>μ+σ）+P（X≤μ－σ）=1

【答案】AC

【解析】因为X～N（μ，σ²），所以～N（0，1），则P（X>μ+σ）=P（>1）=1-Φ（1），而P（X≤μ－σ）=P（≤－1）=Φ（-1）=1-Φ（1），即P（X>μ+σ）=P（X≤μ－σ）；同理可得P（X≥μ+2σ）＝1-Φ（2），P（X<μ+2σ）=Φ（2）；P（X<μ－2σ）＝Φ（-2）＝1-Φ（2），P（X>μ+3σ）＝1-Φ（3），而Φ（2）<Φ（3），所以P（X<μ－2σ）>P（X>μ+3σ）。

9．设X～N（3，32），则P（2X²>18）=（　　）。[2008年真题]

A．2Φ（3）-1

B．1-[Φ（0）-Φ（-2）]

C．0．5+Φ（-2）

D．1．5-Φ（2）

E．2Φ（3）

【答案】BCD

【解析】因为X～N（3，32），所以~N（0,1）。

P（2X²>18）=P（|X|>3）=P（X>3）+P（X<-3）==1-Φ（0）+Φ（-2）=1-0.5+Φ（-2）=0.5+Φ（-2）=0.5+1-Φ（2）=1.5-Φ（2）。

10．随机变量的分布所包含的内容有（　　）。

A．随机变量可能取哪些值，或在哪个区间上取值

B．随机变量取这些值的概率是多少，或在任一区间上取值的概率是多少

C．随机变量的取值频率是多少

D．随机变量在任一区间的取值频率是多少

E．随机变量在某一确定区间上取值的概率是多少

【答案】AB

【解析】随机变量的取值是随机的，但内在是有规律性的，这个规律性可以用分布来描述。随机变量的分布包含两方面内容：①X可能取哪些值，或在哪个区间上取值；②X取这些值的概率各是多少,或X在任一区间上取值的概率是多少。

11．下列随机事件中，随机变量为连续型随机变量的有（　　）。

A．新产品在未来市场的占有率

B．电灯的使用寿命

C．某页书上的印刷错误

D．一批产品中不合格品的个数

E．一台车床在一天内发生的故障数

【答案】AB

【解析】连续型随机变量的所有可能取值充满数轴上某一区间（a，b）。

12．下列随机事件中，随机变量为离散型随机变量的有（　　）。

A．一顾客在超市等候付款的时间

B．一天内进入某超市的顾客数

C．一批产品中合格品的个数

D．某公司客服中心一天接到的电话数

E．某台机床的使用寿命

【答案】BCD

【解析】离散型随机变量的取值是数轴上有限个点或可列个点。

13.X的分布列如表1-2所示,则概率P（2≤X＜5）=（　　）。

表1-2

A．p₂＋p₃＋p₄＋p₅

B．p₂＋p₃＋p₄

C．P（X＜5）－P（X＜2）

D．1－P（X＜2）－P（X＞4）

E．P（X≤4）－P（X＜2）

【答案】BCDE

【解析】对于离散型随机变量，当2≤X＜5时，X的取值为2，3，4。

则P（2≤X＜5）=p₂＋p₃＋p₄=P（X＜5）－P（X＜2）=P（X≤4）－P（X＜2）=1－P（X＞4）－P（X＜2）。

14．下列关于随机变量特征数的描述有误的有（　　）。

A．均值用来表示分布的中心位置用E（X）表示

B．方差用来表示分布的散布大小，用Var（X）表示

C．标准差是方差的平方，实际中更常用标准差来表示分布的散布的大小

D．离均值越近的值发生的可能性越大

E．对于独立的随机变量，其方差和标准差具有可加性

【答案】CDE

【解析】C项，方差是标准差的平方；D项，事件发生的可能性大小需要根据具体的分布来确定；E项，在条件成立时只有方差具有可加性，而标准差不具有可加性。

15．设X₁和X₂分别表示掷两颗骰子各出现的点数，则有（　　）。

A．X₁+X₂=2X₂

B．E（X₁）+E（X₂）=2E（X₁）

C．Var（X₁）+Var（X₂）=4Var（X₁）

D．Var（X₁X₂）=4Var（X₁）

E．E（X₁）+E（X₂）=3E（X₁）

【答案】BC

【解析】由于点数分布的一致性，每一颗骰子的均值和标准差相等，所以：

E（X₁）+E（X₂）=2E（X₁），Var（X₁）+Var（X₂）=Var（2X₁）=4Var（X₁）。

16．甲乙两种牌子的手表，它们的日走时差分别为X与Y（单位：秒），已知X与Y分别有如表1-3和表1-4所示的分布列（概率函数），则下列结论正确的有（　　）。

表1-3

表1-4

A．E（X）=E（Y）

B．E（X）≠E（Y）

C．Var（X）＞Var（Y）

D．Var（X）＜Var（Y）

E．Var（X）＝Var（Y）

【答案】AD

【解析】E（X）=－1×0.1+0×0.8+1×0.1=0；

E（Y）=－2×0.1+－1×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0；

Var（X）=（-1-0）²×0.1＋（0-0）²×0.8＋（1-0）²×0.1=0.2；

Var（Y）=（-2-0）²×0.1＋（-1-0）²×0.2＋（0-0）²×0.4＋（1-0）²×0.2＋（2-0）²×0.1=1.2。

17．设X～U（0，1），从中取到一个样本量为12的随机样本X₁，X₂，…，X₁₂，令Y=X₁＋X₂+…＋X₁₂－6，则下列结论正确的有（　　）。

A．E（Y）=0

B．E（Y）=6

C．Var（Y）=

D．Var（Y）=1

E．Var（Y）=6

【答案】AD

【解析】因为X～U（0，1），故有E（X）==0．5，Var（X）=，从而：

18．设随机变量X₁与X₂相互独立，它们的均值分别为3与4，方差分别为1与2，则Y=4X₁-2X₂的均值与方差分别为（　　）。

A．E（Y）=4

B．E（Y）=20

C．Var（Y）=8

D．Var（Y）=14

E．Var（Y）=24

【答案】AE

【解析】E（Y）=E（4X₁-2X₂）=4E（X₁）-2E（X₂）=4×3－2×4=4；

Var（Y）=Var（4X₁-2X₂）=4²Var（X₁）+（－2）²Var（X₂）=16×1+4×2=24。

19．服从二项分布的随机现象满足的条件包括（　　）。

A．重复进行n次随机试验

B．n次试验间相互独立

C．每次试验仅有两个可能结果，且成功的概率为p，失败的概率为1-p

D．每次试验前的结果是已知的

E．每次试验结果不定，但有三个可能结果

【答案】ABC

【解析】二项分布的随机现象满足的条件包括：①重复进行n次随机试验；②n次试验间相互独立，即一次试验结果不对其他次试验结果产生影响；③每次试验仅有两个可能结果；④每次试验成功的概率均为p，失败的概率均为1-p。

20．设随机变量x服从b（n，p），则（　　）。

A．分布列：P（X=x）= p^x（1-p）^n-x（x=0，1，2，…，n）

B．E（X）=np

C．Var（X）=np（1-p）

D．Var（X）=np（1-p）²

E．Var（X）=p（1-p）

【答案】ABC

21．下列关于正态分布的论述正确的有（　　）。

A．固定标准差，不同的均值对应的正态曲线的位置不相同，但形状相同

B．固定均值，不同的标准差对应的正态曲线的位置相同，但形状不同

C．正态分布的标准差愈大，分布愈分散；愈小，分布愈集中

D．正态分布的标准差愈大，分布愈集中；愈小，分布愈分散

E．正态曲线是一个倒置的钟形曲线

【答案】ABCE

【解析】正态曲线是一个倒置的钟形曲线，正态分布的均值决定正态曲线的位置，标准差决定其形状；正态分布的标准差越大，分布越分散；反之亦然。

22．下列关于正态分布的描述正确的是（　　）。

A．正态分布是质量管理中最重要也是最常用的分布

B．正态分布有两个参数μ与σ²，其中μ为均值，σ²是正态分布的方差

C．σ是正态分布的标准差，σ愈大，分布愈分散，σ愈小，分布愈集中

D．标准差σ不变时，不同的均值对应的正态曲线的形状完全相同

E．均值μ不变时，不同的标准差对应的正态曲线的位置不同

【答案】AC

【解析】B项，正态分布的两个参数应分别是μ和σ，但表示时用σ²表示，记为N（μ，σ²）；E项，均值μ不变时，相同的标准差对应的正态曲线的位置相同，形状相同，当标准差不同时，形状也不同。

23．正态分布计算所依据的重要性质为（　　）。

A．设X～N（μ，σ²），则u＝（X-μ）/σ～N（0，1）

B．设X～N（μ，σ²），则对任意实数a、b有P（X＜b）＝Φ[（b-μ）/σ]

C．设X～N（μ，σ²），则对任意实数a、b有P（X＞a）＝1-Φ[（a-μ）/σ]

D．设X～N（μ，σ²），则对任意实数a、b有P（a＜X＜b）＝Φ[（b-μ）/σ]-Φ[（a-μ）/σ]

E．设X～N（μ₁，），Y～N（μ₂，），则X＋Y～N（μ₁＋μ₂，（σ₁＋σ₂）²）

【答案】ABCD

【解析】若X～N（μ₁，），Y～N（μ₂，），X与Y相互独立，则

（X＋Y）～N（μ₁＋μ₂，＋）。

24．关于标准正态分布的计算公式，下列表示正确的有（　　）。

A．Φ（a）=P（U≤a）

B．P（U>a）=1-Φ（a）

C．Φ（-a）=1-Φ（a）

D．P（0≤U≤a）=-Φ（a）

E．P（-a≤U≤a）=2Φ（a）-1

【答案】ABCE

【解析】P（0≤U≤a）=Φ（a）-Φ（0）=Φ（a）－0．5。

25．设X～N（0，1），则下列各式成立的有（　　）。

A．P（X>a）=P（X≥a）=1-Φ（a）

B．P（a≤X≤b）=Φ（b）-Φ（a）

C．P（｜X｜≤a）=2Φ（a）-1

D．Φ（-a）=-Φ（a）

E．P（X<a）=P（X≥a）=1-Φ（a）

【答案】ABC

【解析】对于标准正态分布有Φ（-a）=1-Φ（a），P（X<a）=Φ（a），P（X≥a）=1-Φ（a）。

26．在正态分布的分位数概念中，当α<0．5时，下列结论成立的有（　　）。

A．u_1－α=－u_α

B．

C．

D．|u_1－α|=u_α

E．

【答案】ABCE

【解析】据正态分布的对称性知，u_1－α=－u_α、且当α<0．5时，<u_α<0。

27．设U～N（0，1），且P（U≤1.645）=0.95，则下列说法正确的有（　　）。

A．1.645是N（0，1）分布的0.95分位数

B．0.95是随机变量U超过1.645的概率

C．0.95是随机变量U不超过1.645的概率

D．Φ（1.645）=0．95

E．u_0．95=1.645

【答案】ACDE

28．设某质量特性X～N（μ，σ²），USL与LSL为它的上、下规格限，不合格品率p=p_L+p_U，其中（　　）。

【答案】

【解析】USL与LSL为X的上、下规格限，LSL≤X≤USL。则当X＞USL或X＜LSL时，X为不合格品。则p_L=P（X<LSL）=，pU=P（X>USL）=1－P（X≤USL）=1－Φ。

【答案】AD

29．设X～N（μ，σ²），当分布中心与产品规范中心重合时，下列结论成立的有（　　）。

A．X落在（μ-σ，μ+σ）内的概率为68.27％

B．X落在（μ-2σ，σ+2σ）内的概率为95.45％

C．X落在（μ-3σ，μ+3σ）内的概率为99.73％

D．X落在（μ-4σ，μ＋4σ）外的概率为0.002ppm

E．X落在（μ-6σ，μ+6σ）外的概率为0.002ppm

【答案】ABCE

【解析】在正态分布X～N（μ，σ²）中，正态分布的中心μ与规范中心M=（T_L+T_U）／2重合时，若规范限取为μ±kσ，其中k为某个实数，则有：①合格品率=P（︱X-μ︱≤kσ）=2Φ（k）-1；②不合格品率=P（︱X-μ︱>kσ）=2[1-Φ（k）]；对k=1，2，3，4，5，6，具体计算结果如图1-3所示，其中不合格品率用ppm（10^－6）单位表示。

图1-3在正态分布中心与规范中心重合时，

X超出规格限μ±kσ（k=1，2，…，6）的不合格品率

30．下列常用分布与其均值、方差对应正确的有（　　）。

A．二项分布b（n，p），均值为np，方差为np（1-p）

B．泊松分布P（λ），均值为λ，方差为λ

C．超几何分布h（n，N，M），均值为（nM/N），方差为n（N-n）/（N-1）·（M/N）

D．正态分布N（μ，σ²），均值μ，方差为σ

E．指数分布Exp（λ），均值为（1/λ），方差为（1/λ²）

【答案】ABE

【解析】C项，超几何分布的方差为n（N-n）/（N-1）·M/N·（N-M）/N；D项，正态分布的方差为σ²。

31．设Xi=（i=1，2，…，16）为正态总体N（0，4）的样本，为样本均值，则的分布可以表示为（　　）。

A．N（0，1/2）

B．N（0，4）

C．N（0，1/4）

D．概率密度为

E．N（0，1/8）

【答案】CD

【解析】因X_i=（i=1，2，…，16）为正态总体N（0，4）的样本，所以其均值也服从正态分布，且均值为0，标准差为=1/2；将μ＝0，σ＝1/2代入正态分布的概率密度函数p（x）= -∞<x<∞，可得的概率密度为．

三、综合分析题（由单项选择题和多项选择题组成）

（一）某电视台在体育节目中插播的广告时间有三种方案（5秒、10秒和20秒）供厂商选择，据一段时间内的统计，这三种方案被选择的比例分别是20%、50%和30%。[2008年真题]

1．设X为厂商选择的广告时间长度，则E（X）为（　　）秒。

A．10.5

B．11

C．11．5

D．12

【答案】D

【解析】题中随机变量为离散型，均值用来表示分布的中心位置，用E（X）表示，离散型随机变量的均值为：E（X）=x_ip_i=5×20%+10×50%+20×30%=12（秒）。

2.X的方差Var（X）为（　　）。

A．27.25

B．29

C．31

D．31.25

【答案】C

【解析】离散型随机变量的方差为：

Var（X）=[x_i-E（X）]²p_i=（5-12）²×20%+（10-12）²×50%+（20-12）²×30%=31。

3.Var（X）的单位是（　　）。

A．秒

B．秒2

C．秒

D．无量纲

【答案】B

【解析】方差的量纲是X的量纲的平方，为使表示分布散布大小的量纲与X的量纲相同，常对方差开平方，记它的正平方根为σ或σ（X），并称它为X的标准差。

4．若每次5秒的广告价格是4000元，每次10秒的广告价格是6500元，每次20秒的广告价格是8000元，令Y表示一次广告价格，则E（Y）为（　　）元。

A．6050

B．6250

C．6450

D．6650

【答案】C

【解析】E（Y）=y_ip_i=4000×20%+6500×50%+8000×30%=6450（元）。

（二）对某公司生产的产品进行检查，假设某一铸件上的缺陷数X服从泊松分布，每个铸件上的平均缺陷数是0.5，则：

1．一个铸件上无缺陷的概率为（　　）。

A．0.607

B．0.670

C．0.706

D．0.760

【答案】A

【解析】铸件上的缺陷数X服从泊松分布，即，又泊松分布的均值等于λ,因此λ=0.5，P（X=0）==0．607。

2．一个铸件上仅有一个缺陷的概率为（　　）。

A．0.303

B．0.335

C．0.380

D．0.535

【答案】A

【解析】铸件上仅有一个缺陷的概率为:P（X=1）==0.303。

3．一个铸件上有多于一个缺陷的概率为（　　）。

A．0.080

B．0.085

C．0.090

D．0.095

【答案】C

【解析】铸件上有多于一个缺陷的概率为：P（X>1）=1－P（X=0）－P（X=1）=1－0.607－0.303=0.090。

（三）某种茶叶用机械装袋，每袋净重为随机变量，且服从正态分布，均值为100g，标准差为5g。已知一大箱内装20袋茶叶，则：

1．一大箱内茶叶净重服从的分布为（　　）。

A．N（2000，10）

B．N（2000，500）

C．t（19）

D．χ²（20）

【答案】B

【解析】设第i袋茶叶的净重为Xi，一大箱茶叶的净重为X，则X=X₁+X₂+X₃+…+X₂₀且X服从正态分布。E（X）=E（X₁+X₂+X₃+．．．+X₂₀）=E（X₁）+E（X₂）+…+E（X₂₀）=2000；Var（X）=Var（X₁+X₂+X₃+…+X₂₀）=Var（X₁）+Var（X₂）+…+Var（X₂₀）=500，所以X～N（2000，500）。

2．一大箱茶叶净重小于1960g的概率约为（　　）。

（附：Φ（1.79）=0.9633，Φ（0.08）=0.5319）

A．0.0367

B．0.4681

C．0.5319

D．0.9633

【答案】A

【解析】由第1题可知X～N（2000，500），（X-2000）/10～N（0，1），则：

P（X<1960）=P［（X-2000）/10<（1960-2000）/10］

=Φ［（1960-2000）/10］=Φ（-1.79）=1-Φ（1.79）=1-0.9633=0.0367。