第一部分　章节习题及详解

第一章　概率统计基础知识

第一节　概率基础知识

一、单项选择题（每题的备选项中，只有1个最符合题意）

1．设X为随机变量，且P（X≤15）=0.3，P（X>20）=0.4,则P（15<X≤20）=（　　）。[2010年真题]

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4

【答案】C

【解析】P（15＜X≤20）=1-[P（X≤15）+P（X＞20）]=1-（0.3+0.4）=0.3。

2．设A、B为两随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，则P（）=（　　）。[2008年真题]

A．0.4

B．0.5

C．0.6

D．0.7

【答案】C

【解析】已知A、B为两随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，所以P（AB）=P（A）-P（A-B）=0.7-0.3=0.4，则P（）=1-P（AB）=1-0.4=0.6。

3．已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.6，P（A∪B）＝0.8，可算得P（AB）＝（　　）。[2007年真题]

A．0.2

B．0.3

C．0.4

D．0.5

【答案】B

【解析】P（A∪B）＝P（A）+P（B）-P（AB），则P（AB）＝P（A）+P（B）-P（A∪B）＝0.5+0.6-0.8＝0.3。

4．已知P（A）=0.3，P（B）=0.7，P（A∪B）=0.9，则事件A与B（　　）。[2006年真题]

A．互不兼容

B．互为对立事件

C．互为独立事件

D．同时发生的概率大于0

【答案】D

【解析】P（AB）＝P（A）+P（B）-P（A∪B）＝0.3+0.7-0.9＝0.1，即A与B同时发生的概率为0.1。

5．某种动物能活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率是0.4，如今已活到20岁的这种动物至少能再活5年的概率是（　　）。[2006年真题]

A．0.3

B．0.4

C．0.5

D．0.6

【答案】C

【解析】记事件Ax=“某种动物能活到x岁”，则根据题意可知P（A₂₀）=0.8，P（A₂₅）=0.4，所求的概率为P（A₂₅/A₂₀），由于该动物活到25岁一定要先活到20岁，所以A₂₅A₂₀，则交事件A₂₅A₂₀=A₂₅，故

P（A₂₅/A₂₀）=

6．设三个事件A、B、C相互独立，发生概率均为1／3，则A、B、C中恰好发生一个的概率为（　　）。[2010年真题]

A．1／9

B．2／9

C．4／9

D．5／9

【答案】C

【解析】依题意，A、B、C三个事件中恰好发生一个的概率为：

P=P=1/3×2/3×2/3+1/3×2/3+2/3×2/3×1=4/9。

7．关于随机事件，下列说法正确的是（　　）。

A．随机事件的发生有偶然性与必然性之分，而没有大小之别

B．随机事件发生的可能性虽有大小之别，但无法度量

C．随机事件发生的可能性的大小与概率没有必然联系

D．概率愈大，事件发生的可能性就愈大，相反也成立

【答案】D

【解析】随机事件发生的可能性的大小就是事件的概率，所以概率越大，事件发生的可能性就愈大，反之也成立。

8．（　　）称为随机现象。

A．在一定条件下，总是出现相同结果的现象

B．出现不同结果的现象

C．一定条件下，并不总是出现相同结果的现象

D．不总是出现相同结果的现象

【答案】C

9．关于样本空间，下列说法不正确的是（　　）。

A．“抛一枚硬币”的样本空间Ω＝｛正面，反面｝

B．“掷一粒骰子的点数”的样本空间Ω＝｛0，1，2，3，4，5，6｝

C．“一顾客在超市中购买商品件数”的样本空间Ω=｛0，1，2，…｝

D．“一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间Ω=｛t：t≥0｝

【答案】B

【解析】“掷一粒骰子的点数”的样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}。

10．某企业总经理办公室由10人组成，现从中选正、副主任各一人（不兼职），将所有可能的选举结果构成样本空间，则其中包含的样本点共有（　　）个。

A．4

B．8

C．16

D．90

【答案】D

【解析】假设给10人编号，现选择1号为正主任，另9人选择为副主任的样本点为9个；选2号为正主任，另9人选为副主任的样本点同样为9个，依此类推，可知包含的样本点的个数为:10×9=90（个）。

11．8件产品中有3件不合格品，每次从中随机抽取一只（取出后不放回），直到把不合格品都取出，将可能抽取的次数构成样本空间，则其中包含的样本点共有（　　）个。

A．4

B．6

C．7

D．10

【答案】B

【解析】可能的抽取次数为：最少时抽取3件全为不合格品，即抽取3次把不合格品全部抽出；最多时抽取8次才全部把不合格品取出，故含的样本点为：3、4、5、6、7、8，共6个样本点。

12．若事件A发生导致事件B发生，则下列结论成立的是（　　）。

A．事件A发生的概率大于事件B发生的概率

B．事件A发生的概率小于事件B发生的概率

C．事件B发生的概率等于事件A发生的概率

D．事件B发生的概率不小于事件A发生的概率

【答案】D

【解析】A发生导致B发生，则A包含于B，记为AB，此时A发生的概率小于或等于B发生的概率。

13．事件“随机抽取5件产品，至少有1件不合格品”与事件“随机抽取5件产品，恰有1件不合格品”的关系是（　　）。

A．包含

B．相互对立

C．互不相容

D．相等

【答案】A

【解析】事件“随机抽取5件产品，至少有1件不合格品”的样本空间为{有一件不合格品，有两件不合格品，…，有五件不合格品}，事件“随机抽取5件产品，恰有1件合格品”的样本空间为{有一件不合格品}，所以前一事件包含后一事件。

14．设事件A=“轴承寿命＜5000小时”，事件B=“轴承寿命＜8000小时”，则A与B之间的关系是（　　）。

A．BA

B．AB

C．A=B

D．互不相容

【答案】A

【解析】由事件A=“轴承寿命＜5000小时”，事件B=“轴承寿命＜8000小时”可知，事件A发生必导致事件B发生，所以BA。

15．在一个随机现象中有两个事件A与B，事件A与B的并是指（　　）。

A．事件A与B至少有一个发生

B．事件A与B同时发生

C．事件A与B都不发生

D．事件A发生且事件B不发生

【答案】A

【解析】由事件A与B中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件称为A与B的并，记为A∪B，并事件A∪B发生意味着“事件A与B中至少一个发生”。

16．掷两粒骰子，记事件A=“点数之和为5”，则P（A）=（　　）。

A．1/9

B．5/36

C．1/3

D．5/12

【答案】A

【解析】掷两粒骰子共有36个样本点，其中和为5的样本点的个数为4个，故其概率为4/36=1/9。

17．抛三枚硬币，记A=“恰有一个正面出现”，则P（A）=（　　）。

A．1/8

B．1/6

C．1/3

D．3/8

【答案】D

【解析】样本点共有23=8，其中恰有一个正面出现的样本点为3个，故P（A）=3/8。

18．10个螺丝钉中有3个不合格品，随机取4个使用，4个全是合格品的概率是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】设事件A=“随机取4个，全是合格品”，从10个螺丝钉中随机抽取4个螺丝钉共有个样本点；要使4个全为合格品，则这4个螺丝钉必须都是从7个合格品中所抽取，而从7个合格品中抽取4个合格品共有个样本点，因此4个全是合格品的概率为：

19．桌子上有10个杯子，其中有2个次品，现从中随机抽取3件，则其中至少有一个次品的概率为（　　）。

A．0.47

B．0.53

C．0.67

D．0.93

【答案】B

【解析】10个杯子随机抽取3个，共有个样本点；则3个中有一个次品的样本点数为，有2个次品的样本点数为，即“3个中至少有1个次品”的样本点数为：，则所求的概率为：

20．标有不同编号的红色球和白色球各四个，任取两个红色球和一个白色球，共有（　　）种不同的取法。

A．10

B．15

C．20

D．24

【答案】D

【解析】第一步选红色球，有=（4×3）／（2×1）=6种取法；第二步选白色球，有4种取法。根据乘法原理，共有：6×4=24种不同的取法。

21．现有三个箱子，第一个箱子放有4本不同的计算机书，第二个箱子放有3本不同的文艺书，第三个箱子放有2本不同的体育书，则从这三个箱子中任取一本书，共有（　　）种不同的取法。

A．6

B．7

C．9

D．24

【答案】C

【解析】从这三个箱子中任取一本书，有3类不同的方法：第1类方法是从第一个箱子取1本计算机书，有4种取法；第2类方法是从第二个箱子取1本文艺书，有3种取法；第3类方法是从第三个箱子取1本体育书，有2种取法。根据加法原理可知，不同取法的种数是4+3+2=9（种）。

22．从甲地到乙地，可以乘轮船，也可以乘汽车。一天中，轮船有5班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有（　　）种不同的走法。

A．2

B．3

C．6

D．7

【答案】D

【解析】一天中乘轮船有5种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，根据加法原理可知，共有5+2=7（种）走法。

23．一盒圆珠笔共有12支，其中11支是合格品；另一盒铅笔也有12支，其中有2支不合格品。现从两盒中各取一支圆珠笔和铅笔，则这两支笔都是合格品的概率是（　　）。

A．1/8

B．55/72

C．5/6

D．11/12

【答案】B

【解析】第一盒圆珠笔取到合格品的概率为11/12，第二盒铅笔取到合格品的概率为10/12，两盒都取到合格品的概率为（11/12）×（10/12）=55/72。

24．10个产品中有3个不合格品，每次从中随机抽取一个（取出后不放回），直到把3个不合格品都取出，至少抽（　　）次才确保抽出所有不合格品。

A．7

B．8

C．9

D．10

【答案】D

【解析】从10个产品中将3个不合格品抽出，最少的次数为3次，最多的次数为10次，所以至少抽10次才确保抽出所有不合格品。

25．100件产品中有5件不合格品，现从中依次抽取2件，则第一次抽到合格品且第二次抽到不合格品的概率可表示为（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】第一次抽取到的合格品是从100件中抽取95件合格品中的1件，第二次抽取到的不合格品是从剩下的99件中抽取5件不合格品中的1件，故第一次抽到合格品且第二次抽到不合格品的概率为。

26．设A、B为两个随机事件，则P（A∪B）可表示为（　　）。

A．P（A）+P（B）

B．P（A）+P（B）-P（AB）

C．P（A）+P（B）-P（A）P（B）

D．

【答案】B

【解析】根据概率的基本性质，事件A与B的并的概率为：

P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）=P（A）+P（B）-P（AB）。

27．设A、B为两个事件，则P（AB）可表示为（　　）。

A．P（A）P（B）

B．P（A）P（A|B），P（B）>0

C．P（B）P（A|B），P（B）＞0

D．

【答案】C

【解析】根据概率的基本性质，对任意两个事件A与B有：P（AB）=P（A|B）P（B）=P（B|A）P（A），P（B）＞0，P（A）＞0。

28．当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是（　　）。

A．P（C）=P（AB）

B．P（C）=P（A∪B）

C．P（C）大于等于P（A）+P（B）-1

D．P（C）小于等于P（A）+P（B）-1

【答案】C

【解析】当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则事件AB包含在事件C中，故P（C）≥P（AB）。而P（A）+P（B）-P（AB）=P（A∪B）≤1，则P（AB）≥P（A）+P（B）-1，所以P（C）≥P（A）+P（B）-1。

29．有A、B两个事件，下列概率表述正确的是（　　）。

A．P（A∪B）=P（A）+P（B），如果A、B相互独立

B．P（A∪B）=P（A）+P（B），如果A、B互不相容

C．P（A∪B）=P（A）×P（B），如果A、B互不相容

D．P（A∪B）=P（A）×P（B），如果A、B相互独立

【答案】B

【解析】如果A、B相互独立，则P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）；如果A、B互不相容，则P（A∪B）=P（A）+P（B）。

30．某试验的结果如表1-1所示，假定事件互不相容。若记事件A=（b，c，d，e），B=（a，d，e），则P（A-B）为（　　）。

表1-1

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.5

【答案】D

【解析】根据题意有：P（A）=0.3+0.2+0.1+0.2=0.8，P（AB）=0.1+0.2=0.3，所以P（A-B）=P（A）-P（AB）=0.8-0.3=0.5。

31．设P（A）=1／2，P（B）=1／3，且A包含B，则P（A-）=（　　）。

A．1／6

B．1／3

C．1／2

D．5／6

【答案】B

【解析】因为A包含B，所以P（A-）=P（AB）=P（B）=1／3。

32．一样本空间Ω含有25个等可能的样本点，而事件A与B各含有13个与7个样本点，其中4个是共有的样本点，则P|B=（　　）。

A．

B．

C．

D．

图1-1

【答案】C

【解析】依题意画出维恩图，如图1-1所示。

由图可知，

33．样本空间共有60个样本点，且每个样本出现的可能性相同，A事件包含9个样本点，B包含10个样本点，A与B有5个样本点是相同的，则P（A｜B）=（　　）。

A．8／20

B．5／20

C．3／20

D．1／2

【答案】D

【解析】由已知条件得：P（A）=9/60，P（B）=10/60，P（AB）=5/60。

解法一：P（A︱B）=P（AB）/P（B）=（5/60）/（10/60）=1/2；

解法二：设Ω=B，AΩ且在其中占了5个样本点，所以P（A︱B）=5/10=1/2。

34．设A、B为两个事件，P（B）>0，且A包含于B，则（　　）一定成立。

A．P（A｜B）≤1

B．P（B｜A）<1

C．P（B｜）=1

D．P（A｜B）=0

【答案】A

【解析】因为A包含于B，即P（AB）=P（A），且P（A）≤P（B），所以P（A︱B）=P（AB）／P（B）=P（A）／P（B）≤1。

35．当两事件A、B之间有包含关系，且P（A）≠0时，则（　　）一定成立。

A．P（B｜A）>P（B）

B．P（B｜A）≥P（B）

C．P（B｜A）=P（B）

D．P（B｜A）<P（B）

【答案】B

【解析】当A包含于B，即A的发生必导致B发生，则P（B︱A）=P（AB）／P（A）=P（A）／P（A）=1，而P（B）≤1，所以P（B︱A）≥P（B）；当A包含B，则P（B︱A）=P（AB）／P（A）=P（B）／P（A）≥P（B）／1=P（B），即P（B︱A）≥P（B）。

36．装配某仪器要用到228个元器件，使用更先进的电子元件后，只要22个就够了。如果每个元器件或电子元件能正常工作1000小时以上的概率为0.998，并且这些元件工作状态是相互独立的，仪表中每个元件都正常工作时，仪表才能正常工作，则两种场合下仪表能正常工作1000小时的概率分别为（　　）。

A．0.595；0.952

B．0.634；0.957

C．0.692；0.848

D．0.599；0.952

【答案】B

【解析】设事件A=“仪表正常工作1000小时”，事件A_i=“第i个元件能正常工作1000小时”，则：①用元器件时有：P（A）=P（A₁）P（A₂）…P（A₂₂₈）=0.998²²⁸=0.634；②用电子元件时有：P（A）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）…P（A₂₂）=0.998²²=0.957。

37．在一批产品中，不合格率为0.1，从该批产品中随机取出5个产品，则全是不合格品的概率为（　　）。

A．0.000001

B．0.00001

C．0.001

D．0.1

【答案】B

【解析】全是不合格品的概率为：P=0.1⁵=0.00001。

38．甲箱中有5个正品，3个次品；乙箱中有4个正品，3个次品。从甲箱中任取3个产品放入乙箱，然后从乙箱中任取1个产品，则这个产品是正品的概率为（　　）。

A．0.176

B．0.2679

C．0.3342

D．0.5875

【答案】D

【解析】设B={从乙箱中取得正品}，A₁={从甲箱中取出3个正品}，A₂={从甲箱中取出2个正品1个次品}，A₃={从甲箱中取出1个正品2个次品}，A₄={从甲箱中取出3个次品}，显然A₁、A₂、A₃、A₄都是互斥的，所以B=B（A₁+A₂+A₃+A₄）。

P（B︱A1）=7/10，P（B︱A₂）=6/10，P（B︱A₃）=5/10，P（B︱A₄）=4/10;

故P（B）=P（BA₁+BA₂+BA₃+BA₄）=P（A₁）P（B︱A₁）+P（A₂）P（B︱A₂）+P（A₃）P（B︱A₃）+P（A₄）P（B︱A₄）=（10/56）×（7/10）+（30/56）×（6/10）+（15/56）×（5/10）+（1/56）×（4/10）=0．5875。

39．从甲地到乙地必须经过4座桥。若其中两座桥正常通行的概率为0.90，另两座桥正常通行的概率为0.95，则从甲地到乙地无法正常通行的概率为（　　）。

A．0.139

B．0.269

C．0.731

D．0.861

【答案】B

【解析】设A_i表示“第i座桥通行”，则有P（A₁）=P（A₂）=0.90；P（A₃）=P（A₄）=0.95。只有所有桥都正常通行，甲地和乙地才可以正常来往，故从甲地到乙地正常通行的概率为：P（A）=P（A₁A₂A₃A₄）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）P（A₄）=0.90×0.90×0.95×0.95≈0.731，所以其对立事件“从甲地到乙地无法正常通行”的概率为：1-0.731=0.269。

二、多项选择题（每题的备选项中，有2个或2个以上符合题意，至少有1个错项）

1．设A与B为两个随机事件，则A-B=（　　）。[2008年真题]

A．A-AB

B．B-AB

C．

D．

E．AB

【答案】AC

【解析】A项，A-B=A-（A∩B）=A-AB；C项，=A（1-B）=A-AB=A-B。

2．设事件A与B互不相容，则下列说法中，正确的有（　　）。[2010年真题]

A．A与B没有相同的样本点

B．A∪B=Ω

C．AB=

D．A与B相互独立

E．A与B不能同时发生

【答案】AE

【解析】在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容。则A与B的交集为，A与B不能同时发生。

3．对任意两个事件A与B，有（　　）。[2007年真题]

A．P（AB）＝P（A）+P（B）-P（A∪B）

B．P（AB）＝P（A）P（B）

C．P（A-B）＝P（A）-P（AB）

D．P（A）P（B｜A）＝P（B）P（A｜B）

E．P（A∪B）＝P（A）+P（B）

【答案】ACD

【解析】B项，当事件A与B相互独立时，有P（AB）＝P（A）P（B）；E项，当事件A与B互不相容时，有P（A∪B）＝P（A）+P（B）。

4．两台机床相互独立工作，需要维修的概率分别是0.3与0.2，下列结果中正确的有（　　）。[2008年真题]

A．两台机床都不需要维修的概率是0.56

B．至少有一台机床不需要维修的概率是0.06

C．至多有一台机床需要维修的概率是0.94

D．两台机床都需要维修的概率是0.06

E．只有一台机床需要维修的概率是0.14

【答案】AD

【解析】设两台机床需要维修的概率分别为P（A）、P（B），则P（A）=0.3，P（B）=0.2。

A项，两台机床都不需要维修的概率为：

P（）=P（）1-P（A∪B）=1-[P（A）+P（B）-P（AB）]=1-（0.3+0.2-0.3×0.2）=0.56

B项，至少有一台机床不需要维修的概率为：

P（）=0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8=0.94。

C项，至多有一台机床需要维修的概率为：

P（）=0.7×0.2+0.3×0.8+0.3×0.2=0.44。

D项，两台机床都需要维修的概率为：P（AB）=0.3×0.2=0.06。

E项，只有一台机床需要维修的概率是：P（）=0.7×0.2+0.3×0.8=0.38。

5．设事件A与B相互独立，则下列结论中，正确的有（　　）。[2010年真题]

A．事件A发生不影响事件B发生的概率

B．P（AB）=P（A）P（B）

C．P（A）+P（B）=P（AB）

D．P（B）=P（）P（B）

E．A与B不可能同时发生

【答案】ABD

【解析】事件A与B，假如其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生与否，则称事件A与B相互独立。若事件A与B相互独立，则事件A发生不影响事件B发生的概率；事件A与B同时发生的概率为：P（AB）=P（A）P（B）；事件与B也相互独立，即P（B）=P（）P（B）。

6．随机现象的特点有（　　）。

A．随机现象的结果至少有两个

B．随机现象的结果可确定

C．随机现象的结果有序出现

D．随机现象的出现我们可事先预测

E．随机现象中哪一个出现，事先并不知道

【答案】AE

7．下列各项属于随机现象的有（　　）。

A．一天内进入超市的顾客数

B．一天之内的小时数

C．顾客在商场购买的商品数

D．一棵树上出现的害虫数

E．加工某机械轴的误差

【答案】ACD

【解析】在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。随机现象有两个特点：①随机现象的结果至少有两个；②至于哪一个出现，事先并不知道。

8．随机事件的基本特征为（　　）。

A．任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集

B．事件A发生当且仅当A中某一样本点发生

C．事件的表示可用集合，也可用语言，但所用语言应是明白无误的

D．任一样本空间Ω都可能存在一个最大子集

E．任一样本空间Ω都有一个最小子集，这最小子集就是空集

【答案】ABCE

【解析】随机事件的基本特征有：①任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集；②事件A发生当且仅当A中某一样本点发生；③事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用语言应是明白无误的；④任一样本空间Ω都有一个最大子集，这个最大子集就是Ω，它对应的事件称为必然事件；⑤任一样本空间Ω都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件。

9．用概率的古典定义确定概率方法的要点为（　　）。

A．所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点

B．每个样本点出现的可能性相同

C．随机现象的样本空间中有无数个样本点

D．若被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概率为P（A）＝k/n

E．每个样本点出现的可能性不同

【答案】ABD

【解析】用概率的古典定义确定概率方法的要点有：①所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；②每个样本点出现的可能性相同（等可能性）；③若被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概率为

10．概率的统计定义的要点为（　　）。

A．与事件A有关的随机现象是可以大量重复试验的

B．若在n次重复试验中，事件A发生k次，则事件A发生的频率为f_n（A）＝k_n/n，频率f_n（A）能反映事件A发生的可能性的大小

C．频率f_n（A）将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率

D．实际中人们无法把一个试验无限次的重复下去，只能用重复试验次数n较大时的频率去近似概率

E．只要概率统计工作做的精确，统计结果可以和事实完全相符

【答案】ABCD

【解析】概率的统计定义的要点为：

①与事件A有关的随机现象是可以大量重复试验的。

②若在n次重复试验中，事件A发生k次，则事件A发生的频率为：

频率f_n（A）能反映事件A发生的可能性大小。

③频率f_n（A）将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，频率的稳定值就是事件A的概率。在实际中人们无法把一个试验无限次地重复下去，只能用重复试验次数n较大时的频率去近似概率。

E项，概率统计只是表示对客观事实的接近程度，它永远不可能与事实相符。

11．概率的基本性质有（　　）。

A．概率是非负的，其数值介于0与1之间，即对任意事件A有0≤P（A）≤1

B．P（）＋P（A）＝1

C．P（A-B）＝P（A）-P（B）

D．P（A∪B）＝P（A）＋P（B）-P（AB）

E．对于多个事件A₁、A₂、A₃…有P（A₁∪A₂∪A₃∪…）＝P（A₁）＋P（A₂）＋P（A₃）＋…

【答案】ABD

【解析】C项，P（A-B）＝P（A）-P（AB），当B⊂A时，才有P（A-B）＝P（A）-P（B）；E项，当多个事件A₁、A₂、A₃…若A_i互不相容时，才有P（A₁∪A₂∪A₃∪…）＝P（A₁）＋P（A₂）＋P（A₃）＋…。

12．概率的运算性质中，下列结论成立的有（　　）。

A．P（）=1－P（A）

B．P（A∪B）=P（A）+P（B）

C．若A⊃B，则P（A-B）=P（A）-P（B）

D．若P（A）≠0，则P（AB）=P（A）P（B|A）

E．若A、B相互独立，则P（B|A）＝P（B）

【答案】ACDE

【解析】概率的性质包括：

②　 率的数值介于0与1之间，即对任意事件A有：0≤P（A）≤1；

②若是A的对立事件，则P（A）+P（）=1或P（）=1-P（A）；

③若A⊃B,则P（A-B）=P（A）-P（B）；

④事件A与B的并的概率为：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）；

⑤若A、B互不相容，则P（A∪B）=P（A）+P（B），对于多个互不相容事件A₁，A₂，A₃，…，P（A₁∪A₂∪A₃∪…）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）+…；

⑥对任意事件A、B，有：P（AB）=P（A|B）P（B）=P（B|A）P（A），P（B）>0，P（A）>0；

⑦若A、B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）；

⑧若A、B相互独立，

13．对任意两个事件A与B，有（　　）。

A．P（AB）=P（A）P（B︱A），P（A）＞0

B．P（AB）=1－P（A）

C．P（AB）=P（A）＋P（B）－P（A∪B）

D．P（AB）=P（A）P（B）

E．P（AB）=P（B）P（B︱A），P（A）＞0

【答案】AC

【解析】B项，P（AB）=1－P（）；D项，当A、B相互独立时，有P（AB）=P（A）P（B）；E项，（AB）=P（A|B）P（B）=P（B|A）P（A），式中第一个等式要求P（B）>0，第二个等式要求P（A）>0。

14．设A、B为两个事件，则下列表述正确的有（　　）。

A．若A、B相互独立，则P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

B．若A、B互不相容，则P（A∪B）=P（A）+P（B）

C．若A、B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）

D．若A、B互不相容，则P（AB）=P（A）P（B）

E．P（B|A）=P（AB）/P（A），P（A）>0

【答案】ABCE

【解析】若A、B互不相容，P（AB）=0，此时有P（A∪B）=P（A）+P（B）。

15．下列可表明事件A、B相互独立的有（　　）。

A．P（AB）＝P（A）P（B）

B．P（A|B）＝P（A）

C．P（A|B）P（B）＝P（AB）

D．P（A∪B）＝P（A）＋P（B）-P（A）P（B）

E．P（A∩B）＝

【答案】ABD

【解析】事件A、B相互独立的定义为：P（AB）＝P（A）P（B）；由P（A|B）＝P（AB）/P（B）＝P（A）P（B）/P（B）＝P（A），可知A、B独立；由P（A∪B）＝P（A）＋P（B）-P（AB）＝P（A）＋P（B）-P（A）P（B），则P（AB）＝P（A）P（B），表明A、B相互独立。

16．两随机事件A、B相互独立，且P（A）>0，P（B）>0，则下列表达式正确的有（　　）。

A．P（A）=P（B︱A）

B．P（A）=P（A︱B）

C．P（B）=P（B︱A）

D．P（AB）=P（A）P（B）

E．P（B）=P（A︱B）

【答案】BCD

【解析】随机事件A、B相互独立，有P（AB）=P（A）P（B）；P（A|B）＝P（AB）/P（B）＝P（A）；P（B︱A）=P（AB）/P（A）=P（B）。

三、综合分析题（由单项选择题和多项选择题组成）

（一）2012年3月15日，某儿童玩具生产厂在对儿童玩具车的36件产品进行检验时，发现有4件次品，今从这36件产品中任取3件。

1．没有次品的概率为（　　）。

A．0.0001

B．0.0269

C．0.2778

D．0.6947

【答案】D

【解析】P（A）==0.947。

2．没有正品的概率为（　　）。

A．0.0006

B．0.0007

C．0.0008

D．0.0009

【答案】A

【解析】P（A）==0.0006。

（二）已知某五金公司生产的100件螺丝中有95件合格品，5件不合格品，现从中任意抽取5件进行检查。

1．抽出的5件都是合格品的抽法有（　　）种。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】抽出的5件都是合格品，只能从95件合格品中抽取，故有种抽法。

2．抽出的5件恰好有2件是不合格品的抽法有（　　）种。

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】先从5件不合格品中抽2件，再从95件合格品中抽3件，即。

3．抽出的5件至多有2件是不合格品的抽法有（　　）种。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】至多有2件不合格品，可分解为有2件不合格品、1件不合格品或没有不合格品三种情况，即：

。

4．抽出的5件全是不合格品的抽法有（　　）种。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】抽出的5件全是不合格品，只能从5件不合格品中抽取，故有种抽法。

（三）据统计，2012年某市场供应的电磁炉中，甲厂产品占60％，乙厂产品占30％，丙厂产品占10％。据资料显示甲厂产品合格率为95％，乙厂产品合格率为90％，丙厂产品合格率为80％。

1．买到的电磁炉是甲厂生产的合格品的概率为（　　）。

A．0.08

B．0.27

C．0.57

D．0.92

【答案】C

【解析】设A₁={甲厂产品}，A₂={乙厂产品}，A₃={丙厂产品}；B={正品}，由已知条件有：P（A₁）=0.6，P（A₂）=0.3，P（A₃）=0.1；P（B︱A₁）=0.95，P（B︱A₂）=0.9，P（B︱A₃）=0.8，所以P（BA₁）=P（A₁）P（B︱A₁）=0.57。

2．买到的电磁炉是乙厂生产的合格品的概率为（　　）。

A．0.08

B．0.27

C．0.57

D．0.92

【答案】B

【解析】由题1得，P（BA₂）=P（A₂）P（B︱A₂）=0.27。

3．买到的电磁炉是丙厂生产的合格品的概率为（　　）。

A．0.08

B．0.27

C．0.57

D．0.92

【答案】A

【解析】由题1得，P（BA₃）=P（A₃）P（B︱A₃）=0．08。

4．买到的电磁炉是合格品的概率为（　　）。

A．0.08

B．0.27

C．0.57

D．0.92

【答案】D

【解析】由题1、2、3得，P（B）=P（BA₁）+P（BA₂）+P（BA₃）=0．92。

（四）某车间的一条生产线，正常运转的概率为90％，不正常运转的概率为10％。正常运转时，生产95％的合格品和5％的不合格品；不正常运转时，生产10％的合格品和90％的不合格品。从产品中任取一件检查，则:

1．此产品是合格品的概率为（　　）。

A．0.3333

B．0.8550

C．0.8650

D．0.9884

【答案】C

【解析】设事件A={生产线正常运转}，则P（A）=90％，P（）=10％；设事件B={产品是合格品}，则

P（B）=P（AB+B）=P（AB）+P（B）=P（A）P（B︱A）+P（）P（B︱）=0.90×0.95+0.10×0.10=0.8550+0.010=0.8650。

2．若发现此产品是合格品，则这条生产线正常运转的概率是（　　）。

A．0.3333

B．0.8550

C．0.8650

D．0.9884

【答案】D

【解析】由公式P（AB）=P（A）P（B︱A）=P（B）P（A︱B）可得，

P（A︱B）=[P（A）P（B︱A）]／P（B）=（0.90×0.95）／0.8650=0.9884。

3．若发现此产品是不合格品，则这条生产线正常运转的概率是（　　）。

A．0.333

B．0.8550

C．0.8650

D．0.9884

【答案】A

【解析】由于P（）=1-P（B）=1-0.8650=0.1350，则：

P（A︱）=[P（A）P（︱A）]／P（）=（0.90×0.05）／0.1350=0.3333。

（五）两台设备加工同样的零件，第一台出不合格品的概率是2％，第二台出不合格品的概率是3%，若将两台设备加工出来的零件放在一起，且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多1倍，则：

1．任取一个零件是合格品的概率是（　　）。

A．0.435

B．0.25

C．0.977

D．0.980

【答案】C

【解析】设A₁={第一台机床加工}，A₂={第二台机床加工}，B={合格品}，则

P（B）=P（A₁）P（B︱A₁）+P（A₂）P（B︱A₂）=（2/3）×（98/100）+（1/3）×（97/100）=0.977。

2．如果任取一个零件是不合格品，则它是第二台机床加工的概率为（　　）。

A．0.435

B．0.825

C．0.977

D．0.980

【答案】A

【解析】P（A₂︱）=（P（A₂）P（︱A₂）／P（）=（（1/3）×0.03）/（1-0.977）=0.435。