第2篇　生产者、消费者与竞争性市场

第3章　消费者行为

一、单项选择题

1．一个物品是越多越好，另一物品是越多越糟，那么（　　）。

A．无差异曲线一定是凸向原点的

B．无差异曲线一定是向右上方倾斜的

C．无差异曲线可能呈椭圆形

D．无差异曲线凹向原点

【答案】B

【解析】由题意可知其中一种物品是厌恶品。厌恶品越多并非越好，因此无差异曲线向右上方倾斜。

2．如果无差异曲线相交，那么（　　）。

A．边际替代率递减的假设不成立   

B．偏好一定违反完备性假设

C．偏好一定违反传递性假设　  　 

D．以上说法都正确

【答案】C

【解析】如图3-1所示，如果曲线和相交了，那么消费者理论中的传递性假定便会遭到破坏。消费者应该同样偏好市场篮子、和，然而因为拥有的两种商品更多，所以比更受到偏好。

图3-1  无差异曲线不能相交

3．商品和的价格按相同比率上升，收入不变，则预算线（　　）。

A．向左下方平行移动  　

B．向右上方平行移动

C．不变动　  　

D．向左下方或右上方平行移动

【答案】A

【解析】价格同比率上升，说明预算线的斜率不变，是平行移动。而在收入不变的情况下，价格上升，能够购买的两种商品的数量都减少了，说明实际收入是减少了。实际收入减少，截距减少，预算线向左下方平行移动。

4．对于同一个消费者来说，同样数量的商品总是提供同量效用，这种说法（　　）。

A．正确

B．错误

C．可能正确也可能错误

D．无法回答

【答案】B

【解析】对于同一个消费者来说，在一定时间内，在其他商品消费数量保持不变的条件下，连续增加对某种产品的消费，消费者从对连续增加的产品的消费中获得的满足程度即边际效用是递减的，这就是边际效用递减规律。

5．如果消费者的偏好序如下：A组合比B组合好，C组合比A组合好，B组合和C组合一样好，这个消费者的偏好序（　　）。

A．违反了完备性公理

B．违反了反身性公理

C．违反了传递性公理

D．没有违反任何公理

【答案】C

【解析】偏好的传递性指对于商品空间上任意三个向量，和，如果，且，则必有。本题中，，，根据偏好的传递性，应该有。

6．当两种商品和的效用函数为时，下列效用函数中，（　　）描述了相同的偏好次序。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】效用函数经过正单调变换以后也是一个效用函数，且二者描述了相同的偏好次序。B项，新的效用函数，且是原效用函数的严格单增函数。其他选项的效用函数则不具备这样的变换关系。

7．有四个商品束，分别为、、、，如果有，，，按照偏好的传递性假设，下列选项中，（　　）一定是不正确的。

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由于偏好于，偏好于，因此不应有偏好于。A项，为偏好的自反性；B项，根据，和偏好的传递性可得；D项，根据，和偏好的传递性可得。

8．当偏好关系是商品空间上的一个等价关系且连续时，则效用函数（　　）。

A．存在

B．不一定存在

C．存在且唯一

D．存在但不唯一

【答案】D

【解析】根据偏好表示定理，在商品空间上满足完备性、自反性、传递性且连续的偏好关系必存在连续效用函数。当效用函数存在时，任何一个单调变换仍然是同一偏好的效用函数。因此，效用函数存在但不唯一。

9．边际效用递减规律意味着（　　）。

A．同样多的商品一定带来同样多的效用

B．同样多的商品一定带来不同的效用

C．数量多的商品一定带来较多的效用

D．数量较少的商品可能带来较多的效用

【答案】D

【解析】边际效用递减规律的内容是：在一定时间内，在其他商品的消费数量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费量的增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量即边际效用是递减的。因此数量较少的商品可能带来较多的效用。

10．无差异曲线描述的是（　　）。

A．花费同样数额的两种物品的组合

B．在每一价格水平下一种物品的需求量

C．优于其他组合的两种物品的组合

D．给消费者带来相同效用的商品组合的集合

【答案】D

【解析】无差异曲线表示能给消费者带来相同效用水平或满足程度的两种商品不同数量的各种组合。

11．无差异曲线凸向原点是因为（　　）。

A．边际成本递增

B．机会成本递增

C．边际替代率递减

D．边际技术替代率递减

【答案】C

【解析】商品的边际替代率递减决定了无差异曲线的斜率的绝对值是递减的，进而决定了无差异曲线凸向原点。

12．无差异曲线上某一点切线的斜率的绝对值表示（　　）。

A．商品价格的比率

B．要素价格的比率

C．边际替代率

D．收入水平

【答案】C

【解析】在由两种商品组成的二维商品空间中，等式恒成立。其中是无差异曲线斜率的绝对值。只有当消费者均衡时，才成立。

13．无差异曲线上任一点的斜率为-1/4，这意味着消费者愿意放弃（　　）单位的而获得1单位的。

A．5　 

B．1　 

C．1/4　 

D．4

【答案】D

【解析】，意即消费者愿意放弃4单位的而获得1单位的。

14．无差异曲线上任一点商品和边际替代率等于它们的（　　）。

A．价格之比

B．数量之比

C．边际效用之比

D．边际成本之比

【答案】C

【解析】商品的边际替代率递减规律表明，在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品消费量的连续增加，消费者为得到一单位的这种商品所需放弃的另一种商品的消费量是递减的。由效用函数可得：

，即。

15．假定商品和的价格、已定，当时，消费者为达到最大的满足将（　　）。

A．增加减少 

B．减少增加 

C．同时增加， 

D．同时减少，

【答案】A

【解析】由可得，这意味着每花费1元钱从商品的消费中所获得的满足程度大于从的消费中所获得的满足程度，因此消费者应该增加减少的消费。

16．在达到消费者均衡时，消费者（　　）。

A．从各种商品中得到相同的效用

B．在各种商品上的支出相同

C．从各种商品中获得的效用相同

D．花在每种商品上的每元钱都具有相同的边际效用

【答案】D

【解析】根据基数效用论，消费者均衡条件，其中、、分别表示消费商品的边际效用、消费者消费该数量商品的保留价格以及货币的边际效用。

17．垂直的无差异曲线意味着（　　）。

A．当消费者增加横轴上商品的消费时，他的满足不会增加

B．当消费者增加纵轴上商品的消费时，他的满足不会增加

C．当两种商品的消费量都增加时，消费者的满足程度会增加

D．以上说法都不正确

【答案】B

【解析】当消费者增加横轴上商品的消费时，无差异曲线向右移动，离原点的位置更远，可见此时消费者的满足程度是增加的。同时垂直的无差异曲线表明，消费者的效用与纵轴上商品的消费量无关，因此当消费者增加纵轴上商品的消费时，他的满足程度不会增加。

18．假设消费者的效用函数为，同时消费者面临的商品空间由商品和商品构成。在二维的商品空间中，如果以的数量为纵轴，以的数量为横轴，那么消费者在此商品空间中的无差异曲线的斜率为（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】无差异曲线的斜率为两商品的边际效用比值的负数，即：

19．某消费者对商品1和商品2的效用函数为，则在该消费者看来，两种商品属于（　　）。

A．不完全替代

B．完全互补品

C．替代比例为1：3

D．替代比例为3：1

【答案】B

【解析】该消费者的效用函数如图3-2所示。对于此效用函数，最佳的消费组合为，即两种商品必须按照固定的比例（1，3）同时被消费，所以应该属于完全互补品。

图3-2  消费者的效用函数

20．边际效用递减规律陈述的是（　　）。

A．随着消费某商品的数量增加，该商品的总效用递减

B．随着消费某商品的数量减少，该商品的总效用递减

C．随着收入的增加，边际效用递减

D．随着消费某商品的数量增加，该商品的边际效用递减

【答案】D

【解析】在一定时间内，在其他商品的消费量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费量的增加，消费者从该商品连续增加的每一单位消费中得到的效用增量即边际效用是递减的。

21．如果一个商品的边际效用为0，则（　　）。

A．该商品没有效用，所以没人会消费它

B．它的总效用达到最大

C．消费者对该商品的购买是均衡购买量

D．它的总效用也等于0

【答案】B

【解析】从极值的必要条件可知总效用是最大的。A项，边际效用为零表示增加该单位商品的消费与上一单位商品的消费带来的效用是一样的，不是没有效用；C项，根据，由于、为正，所以时不满足均衡条件；D项，边际效用是总效用的增加量，增量为零不代表总量也为零。

22．某种商品的边际效用是指（　　）。

A．对该商品最后一次的消费

B．等于商品的价格

C．消费该商品获得的效用与消费其他商品所获得的效用的比

D．新增一单位商品的消费所获得的新增的效用

【答案】D

【解析】边际效用指消费者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量。

23．假定商品的价格为3/2，商品的价格为1。一个消费者在某一消费组合达到均衡，如果他的两种商品消费量都严格为正，且商品带给他的边际效用为30，那么商品的边际效用是（　　）。

A．15　 

B．20　

C．30　 

D．45

【答案】D

【解析】根据消费者效用最大化的条件：，将、和代入该式，解得。

24．如果消费者的收入和他所面临的所有商品的价格都增加了1倍，那么效用最大化的消费者将会（　　）。

A．将他现在消费的每种商品的数量增加1倍

B．依旧消费同样的商品组合

C．减少他所消费的各种商品的数量

D．增加一些商品的消费数量，同时减少另外一些商品的消费数量

【答案】B

【解析】消费者选择问题是在一个给定的消费可行集内寻找最大化个人效用的组合。当价格和收入都增加一倍时，消费者面临的可行集合并没有改变，因此他的消费组合也不会发生变化。

25．无差异曲线是一条具有负斜率的直线，则说明（　　）。

A．商品是完全替代的

B．边际效用不再递减

C．偏好是非凸的

D．偏好不具有单调性

【答案】A

【解析】在这样的无差异曲线上，边际替代率是一个常数。一定数量的一种商品始终与一定数量的另一种商品具有相同的效用。因此，它们是可以完全替代的商品。

26．如果两个商品束（）和（）满足偏好关系，则下列选项一定正确的是（　　）。

A．

B．

C．

D．以上都有可能

【答案】D

【解析】商品束间的偏好关系除了受到数量的影响外，商品间的相对价格也会对偏好产生影响。因此，ABC三项所描述的数量关系在不同的比价结构下都有可能出现。

27．在两种商品情况下，有两个商品束（，）和（，），如果有成立，则一定有（　　）。

A．且

B．且

C．

D．以上都不正确

【答案】D

【解析】边际效用的比值不能提供商品束绝对数量的信息，因此，ABC三种情况都有可能发生。

28．如果某一偏好的无差异曲线凹向原点，则可能是因为（　　）。

A．边际替代率递增

B．边际效用不变

C．某商品是吉芬商品

D．某商品是劣质品

【答案】A

【解析】边际替代率递增也就是无差异曲线的斜率的绝对值递增，因此，可以使无差异曲线凹向原点。

29．如果两商品是互补商品，那么消费者的无差异曲线的斜率可以是（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】A

【解析】两商品为互补品时，无差异曲线的水平部分具有零斜率。无穷大和零之外的斜率不存在。

30．下列说法正确的是（　　）。

A．消费者均衡点一定要在预算集的边界上

B．消费者均衡点可以在预算集的边界上，也可以在预算集的内部，视无差异曲线的具体形状而定

C．消费者均衡点应该位于预算集的内部，因为保留一部分货币也可以带来效用

D．只有在商品完全替代时，消费者均衡点才可能位于角点上

【答案】A

【解析】当偏好满足局部非饱和性的假设时，消费者均衡点一定位于预算线上。

31．消费者均衡的一阶条件是消费者取得均衡的（　　）。

A．充分条件

B．必要条件

C．充分必要条件

D．既非充分也非必要条件

【答案】Ｄ

【解析】当消费者在角点获得均衡时，题中所给一阶条件不被满足。只有在消费者对每种商品都有严格正的消费量时，这个一阶条件才可以作为必要条件来使用。

二、简答题

1．钻石对人的用途很有限而价格昂贵，生命必不可少的水却很便宜。请运用所学经济学原理解释这一价值悖论。

答：商品的价格是由其边际效用决定的。这一悖论可以从需求和供给两方面来说明，因为价格是由需求和供给决定的。

从需求方面看，价格取决于商品的边际效用，而不是总效用。虽然人们从水的消费中所得的总效用很大，但由于世界上水资源数量很大，因此，其边际效用很小，人们愿意支付的价格非常低。相反，钻石的用途虽远不及水大，但世界上钻石数量很少，因此，其边际效用很大，其价格也就相应地昂贵。

从供给方面看，由于水资源数量很大，生产人类用水的成本很低，因而其价格也低。相反，钻石是非常稀缺的资源，生产钻石的成本也很大，因而钻石价格就昂贵。综合需求和供给两方面的理论，关于水和钻石的“价格悖论”也就不难理解了。

2．如果你有一辆需要四个轮子才能开动的车子，现有了三个轮子，那么当你有第四个轮子时，这第四个轮子的边际效用似乎超过第三个轮子的边际效用，这是不是违反了边际效用递减规律。

答：不违背边际效用递减规律。

因为边际效用指物品的消费量每增加（或减少）一个单位所增加（或减少）的总效用的量。这里的“单位”指一完整的商品单位，这种完整的商品单位，是边际效用递减规律有效性的前提。比如，这个定律适用于一双鞋子，但不适用于单只鞋子。对于四轮车而言，必须是有四个轮子的车才成为一单位。三个轮子不能构成一辆四轮车，因而每个轮子都不是一个有效用的物品，增加一个轮子才能使车子有用。因此，不能说第四个轮子的边际效用超过第三个轮子。

3．当消费者的收入或商品的价格发生变化时，无差异曲线本身是否会发生变化？

答：无差异曲线是用来表示消费偏好相同的两种商品的所有组合的轨迹，或者说它是表示能给消费者带来相同效用水平或满足程度的两种商品的不同数量的各种组合的轨迹。相对应的效用函数为：，其中和分别是商品1和商品2的数量。

当消费者的收入或商品的价格发生变化时，无差异曲线本身是不会变化的。因为收入或商品的价格发生变化时，给消费者带来相同效用水平的各种组合并未发生改变，也就是说，相同效用水平的各种组合中包含的商品1和商品2的数量没有变化，所以无差异曲线不会变化。

4．说明在同一条无差异曲线上，为什么？说明该等式与边际替代率之间的关系。

答：（1）无差异曲线表示能给消费者带来相同效用水平或满足程度的两种商品的不同数量的各种组合。在无差异曲线每一点上，两种物品结合带来的满足相同，即消费者增加一单位某种商品的消费量所带来的效用的增加量和相应地减少另一种商品的消费量所带来的效用的减少量是相等的。因此存在。

（2）与边际替代率之间的关系

①消费者均衡是研究单个消费者在既定收入约束下实现效用最大化的均衡条件。基数效用论支持者认为，消费者实现效用最大化的均衡条件为：在消费者的货币收入和商品价格不变的情况下，消费者应该使自己所购买的各种商品的边际效用与价格之比相等，且都等于货币的边际效用。

边际替代率指在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需放弃的另一种商品的消费数量。以代表商品的边际替代率，和分别是商品1和商品2的消费变化量。则商品1对商品2的边际替代率的公式为。当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为

。

②如果假定商品的效用可以用基数来衡量，则商品的边际替代率可以表示为两商品的边际效用和之比。由于在保持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费量所带来的效用的增加量和相应减少另一种商品的消费量所带来的效用的减少量必定是相等的。即有：。

所以，商品的边际替代率可以表示为：。

与上式对应，可以有：。

根据上面两式，可得出关于消费者最优选择条件为：，所以边际替代率等于价格的比率是消费者最优选择的条件。

5．试比较基数效用论与序数效用论两派观点的异同。

答：效用是商品和劳务给消费者带来的满足程度，对于效用是否可加的争论产生了两种既相互区别又紧密联系的理论：基数效用论和序数效用论。对这两种理论的比较如下：

（1）基数效用论和序数效用论的联系

①都是从市场的需求一方着手，通过推导需求曲线，说明需求曲线上的任一点都表示消费者获得了效用最大化。

②二者都建立在一些相同的假设基础之上，如假设消费者都有一定的收入，其行为都是理性的，都把消费者的行为看作是在既定的收入限制条件下追求最大化效用的过程。

③基数效用论建立在边际效用递减的假设之上，序数效用论也得出了边际替代率递减的结论。它们都以边际效用理论为基础，认为商品的价值或价格是由商品带给消费者的边际效用的大小来决定的。

④它们推导的曲线具有相同的趋势，都符合需求规律，即都得到了一条向右下方倾斜的需求曲线。

⑤效用函数的形式基本相同，消费两种商品时的效用函数都可以写作。并且二者得到的消费者效用最大化的均衡条件有联系，经过适当的数学变换可以得到一样的形式，基数分析与序数分析具有一致性。

（2）基数效用论与序数效用论的区别

①假设不同。基数效用论假设消费者消费商品所获得的效用是可以度量的，可以用基数（1，2，3，…）表示。每个消费者都可以准确地说出自己所获得的效用值，这样任意两个消费者的消费函数可以比较和加总，边际效用具有递减规律；序数效用论则认为消费所获得的效用只可以进行排序，只可以用序数（第一，第二，第三…）来表示，效用的大小及特征无法表现在无差异曲线中。

②效用函数形式虽然相同，但含义不同。基数效用论的效用函数指的是可以以基数计量的效用；序数效用论的效用函数则指的是效用指数。

③使用的分析方法不同。基数效用论使用即在预算约束下求效用值的最大化作为工具。而序数效用论则使用无差异曲线、预算线作为分析工具。

④均衡条件的表达不同。基数效用论使用表达式为，即每一单位货币所购买到的任何商品的边际效用相等。序数效用论则表达为，即两种商品的边际替代率等于两种商品的价格之比。

6．两种商品的边际替代率（）的含义是什么？为什么它是递减的？

答：（1）边际替代率是指在维持效用水平不变的条件下，消费者每增加一个单位某种商品的消费数量所必须放弃的另一种商品的消费数量。商品对商品的边际替代率为：

在保持效用水平不变的条件下，消费者增加一个单位某种商品的消费所带来的效用增加量和相应的另一种商品消费数量减少所带来的效用减少量必定是相等的，即：，亦即，可见两种商品的边际替代率等于两种商品的边际效用之比。

（3）边际替代率递减的原因在于，随着商品消费数量的增加，其所带来的边际效用是递减的，同时，随着的消费数量的减少，其所带来的边际效用是递增的。因此，随着消费数量的增加，其所能够替代的的比例也会越来越少。所以说商品的边际替代率递减是由于消费商品的边际效用递减所造成的。

7．证明无差异曲线互不相交。

证明：用反证法。在图3-3中，假设消费者具有满足一般公理（完备性、反身性和传递性）的偏好，且其无差异曲线和无差异曲线相交于一点。其中和代表不同效用水平下的无差异商品束集合。

不妨设代表的效用高于代表的效用，则对于上一点和上一点必有偏好于；又因为与同在无差异曲线上，可知无差异于，依照传递性假设，必有偏好于，但与又同在无差异曲线上，必有无差异于。引出矛盾，因此，满足一般公理的偏好不会有相交的无差异曲线。

图3-3

8．为什么消费者的需求曲线向右下方倾斜？试利用基数效用论加以说明。

答：（1）基数效用论假定效用大小可以用基数加以衡量，并且边际效用是递减的。

（2）消费者在选择商品时，会以货币的边际效用为标准来衡量增加商品消费的边际效用，以便获得最大满足。若，消费者就选择消费商品；若，消费者则选择消费货币。因此，消费者效用最大化的条件是。它表示，为了获得最大效用，消费者购买任意一种商品时，每单位货币购买该商品所带来的边际效用都相同，恰好等于一单位货币的边际效用。

（3）上式意味着，如果商品的价格发生变动（比如提高），那么购买最后一单位商品的边际效用也要发生变动（提高），由于边际效用递减规律，那么消费者选择的该商品的消费数量也会随之变动（减少）。这说明，价格与消费者的需求量之间呈反方向变动，即消费者的需求曲线向右下方倾斜。

9．对于常替代弹性效用函数：，证明：

（1）当时，该效用函数趋近于。

（2）当时，该效用函数趋近于。

证明：（1）当时，此时对效用函数两边变换求极限有：

（2）当时，对效用函数两边变换求极限有：

最后一个等号用到洛必达法则，下面分情况讨论：

①当时：

上式中倒数第二个等号成立是因为当时，。

②当时：

当时，有。

综上可知：

三、计算题

1．效用函数为。

（1）当为何值的时候，唯一的最优解是？

（2）当为何值的时候，唯一的最优解是？

解：令横轴代表的消费数量，纵轴代表的消费数量。

当，即时，；

同理，当，即时，。

令，可得：，，此时无差异曲线斜率为-2；

令，可得：，，此时无差异曲线斜率为。

根据已知条件，预算线的斜率为。

（1）如果预算线陡于2，则。所以条件为。

（2）同理，如果预算线比1/2更平坦，将等于0。所以条件是。

2．某消费者具有效用函数，和的单位价格均为4元，该消费者的收入为144元。试问：

（1）为使消费者的效用最大化，消费者对和的需求应该各为多少单位？（要求写出最优化问题，然后求解。）

（2）消费者的总效用是多少？每单位货币的边际效用是多少？

（3）若的单位价格上升为9元，对两种商品的需求有何变化？此时总效用为多少？

（4）的单位价格上升为9元后，若要维持当初的效用水平，消费者的收入最少应该达到多少？（要求写出最优化问题，然后求解。）

解：（1）根据题意，预算方程为，消费者面临的最优化问题为：

构造拉格朗日函数，效用最大化的一阶必要条件为：

解得：。

（2）总效用，每单位货币的边际效用为：

（3）若的单位价格上升为9元，预算方程变为。

构造拉格朗日函数，效用最大化的一阶必要条件为：

解得：，。

总效用。

可见，的单位价格上升为9元后，的需求量下降了，总效用也下降了。

（4）消费者面临的最优化问题为：

构造拉格朗日函数为：

收入最小化的一阶必要条件为：

解得：，。

将，代入预算方程，可得（元）。

3．消费者的效用函数为，则他在商品上的支出占总支出的比例是多少？的需求与的价格有什么关系？

解：假设总支出为，总支出的分配为：。

根据消费者最优选择条件，可得，所以，代入

中，得，所以此消费者在商品上的支出占总支出的比例是，并且，即对的需求与价格无关。

4．一退休老人有一份固定收入，他现在需在北京、上海与广州三地之间选择一城市去居住。假设他只按消费的效用来选择，不考虑地理、气候与文化因素。他的效用函数是，其中。已知北京的物价是，上海的物价是。广州的物价是，，已知。问：他会选择哪个城市去居住？

解：设该退休老人的收入为，则他的效用最大化问题可以表述为：

由均衡条件可得。

代入预算约束条件可得该老人对两种商品的需求函数为，。

代入效用函数可以得到老人的总效用为：。

再将各个城市的物价水平代入老人的总效用函数可得：

在北京的效用为：；

在上海的效用为：；

在广州的效用为：。

由于，从而，因此他可能会选择去北京或上海，但不会选择去广州，除非，。

5．假使某消费者具有效用函数，当消费者拥有100元人民币，且的价格为每个5元，价格为每个7元时，为了最大化个人效用：

（1）消费者会选择购买多少数量的和？

（2）此时对的边际替代率是多少？

（3）如果让他减少1单位的消费，必须给他多少数量的才能使他的效用不会降低？

（4）既然两个组合带给他的效用是一样的，消费者为什么没有选择第二个消费组合？

解：（1）由效用函数的形式可知商品和是完全替代品，且无差异曲线的斜率为。消费者预算线的斜率为。，因此，消费者将会把所有预算用于的购买，对的购买量为0。这可以从图3-4中直观看出：消费者均衡点为点，购买的商品组合为（20，0）。

图3-4  消费者均衡

（2）由于无差异曲线是一条直线，斜率为常数，因此，对的边际替代率也是一个常数，其值等于无差异曲线斜率的绝对值2。

（3）由可知，减少一单位的的消费，为了保持消费者效用不变，需要给他2单位的，也就是从点沿无差异曲线向上移动到点。

（4）虽然点和点带给消费者的效用是一样的，但显然点位于消费者预算集之外，因此，消费者不可能在点取得均衡。

6．消费者具有效用函数时，要求：

（1）画出消费者的无差异曲线。

（2）如果商品的价格高于商品的价格，那么用于购买商品的货币占这两种商品总支出的比例是多少？

解：（1）题中所给的效用函数其实是的一个单调变换（因为和都是大于或等于0的），因此，这两个效用函数具有相同形状的无差异曲线图。单调变换后的效用函数无差异曲线的斜率为-1，因此，原效用函数的无差异曲线如图3-5所示；原有效用函数的无差异曲线的斜率用隐函数求导法则也可以方便地得出：

。

图3-5  消费者的无差异曲线

（2）当价格高于时，，消费者对的购买量为0，因此，其支出比例也为0。

7．某消费者具有效用函数，请推导出他的无差异曲线。如果他现在拥有元人民币，商品的价格为元，商品的价格等于1，则他最多能够获得多少效用？

解：（1）把效用值固定为，即可得出无差异曲线的隐函数形式：

解此隐函数可得，此即是该效用函数对应的无差异曲线。

（2）消费者的效用最大化问题为：

建立拉格朗日函数：

效用最大化的一阶条件为：

  ①

　 ②

　 ③

联立三个方程，解得：，。

因此，消费者可获得的最大效用为。

8．如果消费者具有效用函数，请描述消费者均衡的情况，消费者能够同时消费两种商品吗？

解：消费者的效用函数等价于：。

当大于时，效用等于的消费量；当小于时，效用等于的消费量。因此，由图3-6可知，当两商品相对价格不等于1时，消费者会将所有收入购买价格相对便宜的那种商品。当两商品相对价格等于1时，消费者会选择任意一种商品来用完预算。这种效用函数具有数量至上的特点，完全替代性也可能导致只消费一种商品，但两者有很大不同。

图3-6  完全替代商品无差异曲线

9．某人对于商品和有如下偏好：在组合一（，）和组合二（，）中，如果、中的最大值大于、中的最大值，则此人偏好组合一（，），反之偏好组合二。如果两个组合的最大值相同，则某人在这两个组合间无差异。要求：

（1）写出代表此人偏好的效用函数。

（2）某人是否具有凸的偏好？

解：（1）代表该偏好的一个效用函数是：

它的任何一个单调变换也是该偏好的效用函数。

（2）该偏好不能满足凸性的要求，例如：，

但对于（3，1）和（1，3）的任何凸组合，当时，都有：

10．有三个消费者A、B、C，他们的效用函数分别为：

A：；

B：；

C：。

（1）如果消费者A对两个商品组合（，）和（，）是无差异的，你认为消费者对这两个商品组合的偏好是怎样的呢？消费者又如何呢？给出你的理由。

（2）分别计算消费者A、B、C在商品组合（5，8）上的边际替代率，它们间有什么联系吗？这说明了什么问题？

解：（1）消费者B的效用函数可以表示为，消费者C的效用函数可以表示为。

可见，他们对商品空间所有商品束的偏好排序是相同的，区别只在于他们赋予商品束的效用值有所不同。因此，如果A在商品组合（，）和（，）之间无差异的话，B和C在这两个组合间也是无差异的。

（2）消费者无差异曲线的斜率均为：。

将（5，8）代入式，结果均为-8/5，因此，A、B、C三者在（5，8）上的边际替代率均为8/5。边际替代率相同说明三人的偏好序是完全相同的。

11．某人有柯布—道格拉斯效用函数：，要求：

（1）分别求出他对商品和的边际效用函数。

（2）当逐渐增大时，他的是如何变化的？

解：（1）求消费者对商品的边际效用就是固定效用函数中的值，对求导数。此时被视为常量。因此，消费者对的边际效用函数为：

同理可以求出消费者对商品的边际效用函数为：

（2）边际替代率为：，因此，当逐渐增大时，边际替代率递减。

12．设张三仅消费和两种商品，他的效用函数为，其中是张三每周的闲暇小时数。试求他最大化其效用函数时：

（1）他将选择每周工作多少小时？

（2）他将把收入的多大比例用于购买？

（3）他消费的需求价格弹性。

（4）如果他的收入下降30%，的价格下降50%，他将过得更好还是更坏？

解：（1）闲暇的价格可以被认为是工资率，则每周的总收入为。假设商品和的价格分别为和。

因此，张三的效用最大化问题为：

拉格朗日函数为：

一阶条件为：

①

②

③

　 ④

由①②可得： ⑤

由①③可得： ⑥

将⑤⑥代入④中，化简得，解得。从而，。

因此，该工人每周工作的时间为：（小时）。

（2）该工人每周的总收入为：

所以，该消费者用于的商品的支出比例为：。

（3）由可得，消费的需求价格弹性为：。

（4）原先消费者的效用为：

由（1）可知，收入增加、商品的价格变化不会改变张三的工作与休闲的时间。收入下降30%主要表现为工资率减少30%。

因此，当收入下降30%，的价格下降50%时，张三的效用为：

因为，所以，，因而消费者将过得更好。

13．假设一个消费者的效用函数为：，为食品的消费量，为所有其他商品的消费量。假设食品的价格为，所有其他商品的价格为，收入为元。

（1）求最优的食品需求量。食品对该消费者来说是低档品吗？食品对该消费者来说是吉芬商品吗？

（2）在许多国家，穷人的食品消费得到政府的补贴。常见的补贴办法是，政府向穷人出售食品券，当然，食品券的价格低于食品的市场价格。假如我们这里考虑的消费者是一个受补贴的穷人。而且食品券的价格为，食品的市场价格为。所有其他商品的价格被标准化为。消费者的收入为。问得到补贴后，消费者的消费行为会发生怎样的变化？

解：（1）由消费者均衡条件可以得到：，即。

将该式代入预算约束方程，

可得最优消费数量，。

由于，所以食品属于正常商品。

由于，价格与需求量反向变动，符合需求法则，所以食品不是吉芬商品。

（2）当，发放补贴时，，，此时：

，

而不发补贴时，，，此时：

，

可见，发放补贴的结果是使得食品的消费增加了一倍，而其他商品的消费支出并不会发生变化。

14．假设存在一个社会，这个社会由三个消费者组成，分别是1、2、3。同时该社会存在着两种商品，分别为和。经济学家Debreu对这三个消费者的消费行为进行分析，他认为1、2、3的偏好可以分别用如下的效应函数来表示：

1：；

2：；

3：。

（1）请画出消费者1的无差异曲线以及偏好的上等值集。

（2）假如商品和商品的价格分别是2单位货币和3单位货币，同时消费者1拥有120单位货币，试计算他对和的最优消费数量。

（3）证明：消费者2和消费者3的偏好是一致的。

（4）现在假设商品和的价格分别为，，消费者2拥有1单位货币，请计算他的消费选择。

（5）用公式和图像给出消费者3对于商品的收入消费路径。

解：（1）令效用函数等于一个固定的效用常数，可得消费者1的无差异曲线为：。这样消费者1的无差异曲线以及上等值集就可以画成如图3-7的形式。

图3-7  无差异曲线和偏好的上等值集

（2）消费者1的效用最大化问题可以表述成：

构造拉格朗日函数：

一阶条件为：

解得：，。

（3）证明：对效用函数进行线性变换的结果依然是同一偏好的效用函数。对消费者2的效用函数取自然对数可以得到：

再令，，就可以得到消费者3的效用函数为：

可见，这两个函数是同一偏好的效用函数，两个消费者的偏好关系是一致的。

（4）消费者2的效用最大化问题可以表述成：

构造拉格朗日函数：

上式分别对和求偏导就可以得到效用最大化的一阶条件，最终求解出：

（5）由于偏好一致，所以消费者3和消费者2的收入消费路径是一样的。设消费者2的收入为，同（4），可求得。当的价格不变时，与之间的数量关系就是商品的收入消费路径，二者是完全的线性关系，如图3-8所示。

图3-8  收入消费路径

15．若无差异曲线是一条斜率为的直线，且已知消费者的收入为，两种商品和的价格分别为，。求解消费者均衡时的最优商品组合。

解：消费者均衡的必要条件为：。由于无差异曲线为斜率是的直线，所以可见：

当时，预算线与无差异曲线重合，此时预算线上的任何点都是最优的商品组合；

当时，预算线斜率大于无差异曲线的斜率，此时最优的商品组合是预算线与纵轴的交点，最优的商品组合为；

当时，预算线斜率小于无差异曲线的斜率，此时最优的商品组合是预算线与横轴的交点，最优的商品组合为。

16．某人的收入为10000元，全部用于购买商品和，其中，，效用函数为。假设个人收入税率为10%，商品的消费税率为20%。为实现效用最大化，该人对商品、的需求量分别为多少？

解：该消费者可用于消费支出的收入为（元）。

商品的实际价格为，故预算约束为，即。

代入效用函数得：

效用极大化的条件为：

解得或。

当时，，不符合题意，故舍去。

故商品和的最优消费数量分别为，。

17．政府考虑以两种方式补贴低收入家庭。一种是实物性补贴（如食品补贴），另一种是现金补贴。请画图回答以下问题：

（1）请表明如果两种方式耗费相同的财政收入，被补贴人一般喜欢第二种方式的补贴。

（2）假设两种方式都耗费相同的财政收入，请解释在什么情况下，被补贴的人会感到这两种方式无差异。

解：（1）发放现金能够使得消费者根据自己的偏好任意选择自己最需要的商品来消费，这时的效用是最大的。如果发放实物的话，这些指定分配的物品可能并不是消费者最需要的，这时效用难以达到最大程度的满足。

图3-9  两种补贴方式对消费者效用的影响

如图3-9所示，在二维平面坐标图中，以纵轴（轴）表示食品，横轴（轴）表示消费者可任意选购的其他商品。这样，直线就是在所有商品价格一定时发放现金所形成的预算约束线，此时消费者的无差异曲线为。而折线则是发放实物所形成的预算约束线，在消费者偏好关系一致的前提下，无差异曲线为。可以看出。这就是说，发放现金能够给消费者带来更大的满足程度。

（2）消费者之所以存在以上偏好上的差异，原因就在于两种补助方式形成的预算约束是不一样的，发放实物时消费者无法根据自己的个人偏好自由选择想要购买的物品以使自己的效用最大化，如图3-10所示。只有当消费者对食品的偏好非常大的时候（无差异曲线移动至）。无论是发放实物还是发放现金，消费者都选择消费大量的食品以使自己的效用最大化。这时无论哪一种补贴方式都不会改变无差异曲线与预算线的切点，均衡消费数量不发生变化，两种补贴方式对消费者来说是无差异的。

图3-10  补贴方式无差异